非平衡态电磁场体系的超越完备量子化处理方案

1、非平衡态电磁场体系的超越完备量子化处理方案李宗诚苏州大学交叉科学研究室(筹) 215000lzc5851521cn. com摘 要 本文用泛正则方法对非平衡态电磁场体系作超越完备量子化处理。这种量 子化应当在保持超越完备协变性的前提下进行。关键词 电磁场，超越完备量子化，非平衡态，交叉分析物理1引 言在文1 10 建立全拓展的非线性非平衡态量子力学原理基础上，文11 15 已探讨建立全拓展狭义相对论性的非线性非平衡态量子场分析基础。现考虑按照文1 5 建立的泛正则方法对非平衡态电磁场体系作超越完备量子化处理。这种量子化应当在保持超越完备协变性的前提下进行。超越完备量子化的困难在于采用比独立自由

2、度数目更多的变量。这里将通过多分量的超越完备矢势A,来描写非平衡态电磁场体系。由 F,=A,xA,xA,A,AA, F=, F,= ( 1 ) ss所分别定义的类运动场强、类发展场强和类完备场强具有丰富的物理意义，超越完备势A,自然地出现在相互作用项和跃迁振幅中，A,的四个分量不能都当作独立变量。因此，在构造非平衡态电磁场体系的“经典”泛正则表述时，我们会遇到某些困难。2. 非平衡态电磁场体系的超越完备量子化初步表示，其类完备电磁场强E和B的分量构成一个反对称的二阶类完备张量，用F分量为E,xE,yB,z0B,z0B,yB,x F0E=,xE,yE,ZE,zB,y。 (2 ) B,x0由 (1

3、 ) 给出的F()与类完备势A()=(,A)的关系为 E=A， B=×A。 (3 )它们给出两个类完备电磁场基本方程×E=B， B=0， (4 ) 其它两个类完备电磁场基本方程在没有荷和流的源时可表示为&F=0，或E=0， ×B=E， (5 ) 而且，所有类完备场分量满足如下类完备波动方程F()=0。 (6 )对任一给定的类完备场强F()存在着许多势，它们相互间差一个类完备规范变换 A,()=A,()+&()， (7 ) 其中()可以是和t的任意函数。方程 (7 ) 表明了类完备矢势选择中的规范自由度；如果满足 (1 )，则亦然。在此暂不考虑类完备

4、规范的选取。为了用非平衡系统交叉分析物理的类完备作用原理（文16 19）由交叉分析物理的基本动力学量导出 (5 )，让我们对F乘以在t 1 和t 2 处为零的无穷小交叉变分A,()，并对时间间隔(t1,t2)内的所有类完备时空进行积分0=t2t1F1t24()()d4A=dF,F。 (8 ) ,4t1于是自由的类完备电磁场中一个适当的交叉分析物理基本动力学量的密度为AAA11122,=(EB)。 (9 ) =F,F=422方程 (8 ) 表明，如果用这个将A()的四个分量中的每一个都处理成独立的动力学自由度，则交叉分析物理的类完备作用原理就给出类完备场方程 (5 )。现在由推出类完备共轭动量

5、A&,00= ， =0A=E。 (10 ) A,A,0这给出类完备动力学能量密度3&A h=,=k=11+E, (11 ) 2(E2+B2)类完备动力学能量为1H=d3h=d3(E2+B2), (12 ) 2其中去掉最后一项用了分部交叉积分，还用到了类完备电磁场基本方程E=0。类完备电磁场的超越完备量子化可通过把A()处理成超越完备算符并且加上A和之间的对易关系来实现。让我们遵循泛正则方法，从等于零的等时超越完备泛正则动量k对易子出发0k(,t),i(,t)=0， (,t),AA(,t),A(,t)=0，(,t)=0。 ( 13 ) 这个超越完备量子化方法以隐含类完备时空规范的

6、协变性方式来分离出标势A,0。因()为零，A()与所有超越完备算符对易，它因此可为与A()共轭的超越完备动量000以取成一个纯粹的数（c数的超越完备化）而不是超越完备算符，这与超越完备空间分量Ak()不同。不过，作为理论出发点的类完备电磁场基本方程应当是在类完备时空规范变换下保持不变的，而且作为物理结果的超越完备跃迁振幅（S矩阵元）是协变的。 (,t)间的等时超越完备对易子可以由泛正则方超越完备势A,j(,t)与共轭动量程导出jji3i(,t),A (,t)=E(,t),A(,t)=iij()。 (14 )不过，(14 ) 与类完备电磁场基本方程不相容。转到超越完备动量空间，我们会看到31ik

7、()33=idej， (15 ) ()ij3(2)i=1i加上比例于j的项ij，可作如下修正ij1ik() ij()()dij2)3(2k3trij3。 (16 ) 于是，超越完备对易子条件 (14 ) 换成jtri(,t),A+i (,t)=ij()。 (17 ) A是一个c数的超越完备化这一点由A和表示的E的定义以及0=E=A (18 ) 得出。3. 量子电磁场体系超越运动时空规范的协变性需要探讨满足超越运动对易关系tr(x,t),A0(x,t)=0， i(x,t),Aj(x,t)=+iij(xx) (19 ) 2&的方程在类运动时空坐标系位移和类运动空间旋转下不变。通过验证P,P

8、0=H=131322dxE+B=dx:A2+(×A)2: :22P=dx:E+B:=dx33&:Ai=13,iA,i: (20 )可以确信方程的类运动位移不变性。类似地，为验证类运动空间旋转不变性，我们可验证类运动空间分量M，i,j=1,2,3，M=dx:并且,rs=gg,sg,sg, (22 ) 而类运动系统间相对运动时的变换由 ijirjijrijij3&rxixjAr(A&iAjA&jAi): (21 ) Axxr=1ji3M00kr3Ax&2r30&=dx:xA(A+(×A)2: (23 ) x2r=1生成。在由M生成

9、的一个无穷小类运动时空规范变换下得U()A(x)U1()=A(x)A,(x)+(x,)， (24 ) x其中(x,)可看作是一个类运动规范函数。在辐射的超越运动规范中A(x,t)是横向的并有如下平面波展开式：A(x,t)=d3(,l)A(k,l,t)el2ikx。 (25 )两个单位矢量(,l)对每个k和对l = 1, 2都与k正交(,l)k=0， (26 )使得A=0。对每一个k，也可以简便地选择而使它们相互正交， (,l)(,l)=ll。 (27 )由类运动电磁场基本方程，在辐射的类运动规范A(x)中也满足类运动波动方程 A=0，并且我们可以作展开A(x,t)=d312(2)23(k,l)

10、a(k,l)el=12ikx+a(k,l)eikx) ， (28 其中0=|k|和=0。将 (28 ) 反过来表示a(k,l)，并用 (27 ) 可得12(2)312(2)3&(,l)A(x) ix&0&(,l)A(x)。 (29 ) ix&0a(k,l)=id3xa(k,l)=id3x其次由计算a(,l)和a(,l)的超越对易关系，可得到)ll， (30 ) a(,l),a(,l)=3(kk同样还可以得到a(,l),a(,l)=a(,l),a(,l)=0， (31 )类运动力学能量可以借助 (20 ) 和 (28 ) 而在动量表象中写成21223 H=dx:(

11、E+B):=da(,l)a(,l)。 (32 ) 2l=13类似地，类运动动量应为P=dx:E×B:=dka(,l)a(,l)。 (33 ) 332l=1可以把a(,l)和a(,l)诠释为类运动能量和类运动动量k的超越产生算符和超越消灭算符。真空态0为最低能态，是H和P的本征值为零的本征态并满足 a(,l)0=0。 (34 ) 如果我们构成超越运动态;,la并计算P;,l=d则将a1(,l)0a(,l)0 (35 ) 13l=12) a(,)a(,l)a(,l)0=1;,l， (36 (,l)解释为四动量是且2=0的类运动光子的超越产生算符。现在，为了探讨一个横向极化光子态的超越运动

12、时空演化，我们可构造超越运动传播子。对此，可作一个超越运动振幅，以表明光子在超越运动时空点x产生，极化投影为，然后传播至x点，被湮灭时极化投影为：0A,(x)A,(x)0(tt)。 (37 ) 对t>t，作光子的超越运动振幅，以表示在x产生极化投影为的光子，在x湮灭时极化投影为：0A,(x)A,(x)0(tt)。 (38 ) (37 ) 和 (38 ) 之和就定义超越运动传播子iDtr,F(x,x)=0A,(x)A,(x)0(tt)+0A,(x)A,(x)0(tt) =0(A,(x)A,(x)0， (39 ) 这里T是编时超越运动算符。将超越运动场展成平面波以构造D,F(x,x)的显示形

13、式 trDtr,F(x,x)=id312(2)3ik(xx)l=1,2(,l)(,l) ,ik(xx) ×(tt)e+(tt)e。 (40 ) 在辐射的超越运动规范中,(,l)没有时间分量，即(,l)=(0,(,l)，在采用这一超越运动规范的参照系中，我们可以把超越运动传播子写成四维交叉积分形式Dtr,F(x,x)=d31ik(xx)e,(,l),(,l)。 (41 ) (2)42+il=1,21为了明显地分离出对超越运动坐标的依赖关系，可以在进行超越量子化的类运动参照系中引入一个类时单位矢量=(1,0,0,0)。对一个给定的，引入=1()22()， (42 )它同(,1), (,2

14、)和一道构成一组四个独立正交单位矢量。于是有Dtr,F(x,x)=g,D,F(xx)d3×1ik(xx)e (2)42+i11) 2()(+)+。 (43 22()0在 (43 ) 中第一项g,D,F(xx)=lim(g,),F(xx,)正是在计算电磁相互作2用时要考虑的超越运动传播子。,F(xx,可看作零自旋玻色子的超越运动传播子。4. 量子电磁场体系超越发展时空规范的协变性0jtr(s,t),Ai(s,t),A(ss) (44 ) (s,t)=0， (s,t)=+iij需要探讨满足超越发展对易关系的方程在类发展时空坐标系位移（熵变）和类发展空间对旋转的不变。通过验证PP0=H=1

15、3221322:dsE+B=ds:A+(×A): 223&33 P=ds:E+B:=ds:AiAi: (45 )i=1可确信方程的类发展熵流不变性。类似地，为验证类发展空间对旋转的不变性，我们可验证类发展空间分量M，i,j=1,2,3，3rij&&&3A M=ds:Arsisj(AiAjAjAi): (46 ) ssir=1jij并且ijirjijr rs=gg,sg,sg, (47 )而类发展系统间相对发展时的变换由M0生成。在由MrA0s&r&3=ds:sA(A2+(×A)2: (48 ) s2r=130k生成的一个无穷小

16、类发展时空规范变换下得到)A(s)U U(1)=AA)， (49 ) (s)(s)+(s,s)可看作是一个类发展规范函数。 其中(s,在辐射的超越发展规范中A(s,t)是横向的并有如下平面波展开式：2iks3 A(s,t)=d(,l)A(k,l,t)e。 (50 )l(,l)对每个k和对l = 1, 2都与k正交 两个单位矢量(,l)k=0， (51 ) 使得A=0。对每一个k，也可以简便地选择而使它们相互正交， (,l)=。 (52 ) (,l) ll由类发展电磁场基本方程，在辐射的类发展规范A(s)中也满足类发展波动方程A=0，并且我们可以作展开 A(s,t)=d31(2)32iksiks

17、(k,l)a(k,l)e+a(k,l)e， (53 )l=12=|k|和其中0=2(k,l)，并用 (52 =0。将 (53 ) 反过来表示a) 可得(k,l)=id3sa(k,l)=id3sa1(2)321(2)32(,l)A&is&(s) 0(,l)A&is&(s)。 (54 ) 0(,l)的超越对易关系，可得到 (,l)和a其次由计算a(,l),a(,l)=3(kak)ll， (55 )同样还可以得到(,l),a(,l),a(,l)=0， (56 ) (,l)=aa类发展力学能量可以借助 (45 ) 和 (54 ) 而在动量表象中写成222313(,l)。

18、 (57 ) H=ds:(E+B):=da(,l)a2l=1类似地，类发展动量应为233(,l)a(,l)。 (58 ) P=ds:E×B:=dkal=1和类发展动量k的超越产生算符和超越消(,l)和a(,l)诠释为类发展能量可以把a8灭算符。真空态0为最低能态，是H和P的本征值为零的本征态并满足 (,l)=0。 (59 ) a0如果我们构成超越发展态(,l)a(,l)0 (60 ) ,la01并计算2113(,)a(,l)a(,l)0= P,l=da) ,l， (61l=1(,l)解释为四动量是且则将a2=0的类发展光子的超越产生算符。现在，为了探讨一个横向极化光子态的超越发展时空

19、演化，我们可构造超越发展传播子。对此，可作一个超越发展振幅，以表明光子在超越发展时空点s产生，极化投影为，然后传播至s点，被湮灭时极化投影为：0A(s)A(s)0(tt)。 (62 ) 对t>t，作光子的超越发展振幅，以表示在s产生极化投影为的光子，在s湮灭时极化投影为：0A(s)A(s)0(tt)。 (63 ) (62 ) 和 (63 ) 之和就定义超越发展传播子 triDF(s,s)=0A(s)A(s)0(tt)+0A(s)A(s)0(tt)=0(A(s)A(s)0， (64 ) 这里T是编时超越发展算符。将超越发展场展成平面波以构造DF(s,s)的显示形式 trtr(s,s)=id

20、3DF1(2)32l=1,2(,l)(,l) ×(tt)eik(ss)+(tt)eik(ss)。 (65 )(,l)=(0,(,l)，在采用这一(,l)没有时间分量，即在辐射的超越发展规范中超越发展规范的参照系中，我们可以把超越发展传播子写成四维交叉积分形式trDF(s,s)=d311ik(ss)(,l)(,l)。 (66 ) e)42+i(2l=1,2为了明显地分离出对超越发展坐标的依赖关系，可以在进行超越量子化的类发展参照系中引入一个类时单位矢量=(1,0,0,0)。对一个给定的，引入1()22()， (67 ) =(,1), (,2)和一道构成一组四个独立正交单位矢量。于是有

21、它同tr3DDF(s,s)=gF(ss)d×11ik(ss) e42(2)+i1) 2()(+)+。 (68 22()D(ss)=lim(g)(ss,正是在计算电磁相互作用时所在 (68 ) 中第一项gFF20要考虑的超越发展传播子。F(ss,可看作是零自旋玻色子的超越发展传播子。5. 量子电磁场体系超越完备时空规范的协变性0jtr(,t),Ai(,t),A+i(,t)=0， (,t)=ij() (69 ) 需要探讨满足超越完备对易关系的方程在类完备时空坐标系迁移和类完备空间旋转下不变。通过验证P,P0=H=13221322:dE+B=d:A+(×A): 223&3

22、3 P=d:E+B:=d:A,iA,i: (70 )I=1可以确信方程的类完备迁移不变性。类似地，为验证类完备空间旋转不变性，我们可验证类完备空间分量M，i,j=1,2,3，3rij&&&3A M=d:Arij(AiAjAjAi): (71 ) xxir=1jij并且ijirgjgigjr ,rs=g,s,s, (72 )而类完备系统间相对变迁时的变换由M0rA0&r&3=d:A(A2+(×A)2: (73 ) 2r=13生成。在由M生成的一个无穷小类完备时空规范变换下得到 0k)A()U U(1)=AA)， (74 ) ()()+(,)可看作

23、是一个类完备规范函数。 其中(,将类完备势按平面波展开并引入超越完备对易关系 (13 ) 和 (17 ) 可以导致将展开系数诠释成超越完备的产生算符和消灭算符。在辐射的超越完备规范中A(,t)是横向的并有如下平面波展开式：2ik3 A(,t)=d(,l)A(k,l,t)e。 (75 )l(k,l)对每个k和对l = 1, 2都与k正交 两个单位矢量(,l)k=0， (76 ) 使得A=0。对每一个，也可以简便地选择而使它们相互正交， (,l)(,l)=。 (77 ) ll由类完备电磁场方程在辐射的类完备规范A()中也满足类完备波动方程A=0，并且我们可以作出展开 A(,t)=d31(2)32i

24、kik+a(k,l)e，(78. 341 ) (k,l)a(k,l)el=12=|k|和其中0=2=0。将 (78 ) 反过来表示a(k,l)，并用 (77 ) 可得1(2)321(2)32(k,l)=id3a(k,l)=id3a(,l)A&i&0() (,l)A&i&0()。 (79 ) (,l)和a其次由 (13 ) 和 (17 ) 计算a(,l)的超越对易关系，可得到(,l),a(,l)=3(k)ll， (80 ) ak同样还可以得到(,l),a(,l),a(,l)=0， (81 ) (,l)=aa类完备力学能量 (12 ) 可借助 (3 ) , (70

25、) 和 (78 ) 而在动量表象中写成222313(,l)a(,l)。 (82 ) H=d:(E+B):=da2l=1类似地，类完备动量应为233(,l)a(,l)。 (83 ) P=d:E×B:=dkal=1(,l)和a和类完备动量k的超越产生算符和超越(,l)诠释为类完备能量可以把a消灭算符。真空态0为最低能态，是H和P的本征值为零的本征态并满足 (,l)=0。 (84 ) a0如果我们构成超越完备态 ;,la并计算 1(,l)0 (85 ) (,l)0a2113(,)a(,l)a(,l)0= P;,l=da;,l， (86 )l=1则将a(,l)解释为四动量是且2=0的类完备光

26、子的超越产生算符。现在，为了探讨一个横向极化光子态的超越完备时空演化，我们可构造超越完备传播子。对此，可作一个超越完备振幅，以表明光子在超越完备时空点产生，极化投影为，然后传播至点，被湮灭时极化投影为：0A,()A,()0(tt)。 (87 ) 对t>t，作光子的超越完备振幅，以表示在产生极化投影为的光子，在湮灭时极化投影为：0A,()A,()0(tt)。 (88 ) (87 ) 和 (88 ) 之和就定义超越完备传播子 iDtr,F(,)=0A,()A,()0(tt)+0A,()A,()0(tt)=0(A,()A,()0， (89 ) 这里T是编时超越完备算符。将超越完备场展成平面波以

27、构造D,F(,)的显示形式 trDtr,F(,)=id31(2)32ik()l=1,2(,l)(,l) ,ik() ×(tt)e+(tt)e。 (90 )(,l)=(0,(,l)，在采用这(,l)没有时间分量，即在辐射的超越完备规范中,一超越完备规范的参照系中，我们可以把超越完备传播子写成四维交叉积分形式Dtr,F(,)=d311ik()(,l)(,l)。 (91 e) ,42(2)+il=1,2为了明显地分离出对超越完备坐标的依赖关系，可以在进行超越量子化的类完备参照系中引入一个类时单位矢量=(1,0,0,0)。对一个给定的，引入=1()22()， (92 )(,1), (,2)和

28、一道构成一组四个独立正交单位矢量。于是有 它同3DDtr,F(,)=g,F()d×11ik() e)42+i(21) 2()(+)+。 (93 22()D()=lim(g)(,) 正是在计算电磁相互在 (93 ) 中第一项g,F,F20作用时所要考虑的超越完备传播子。,F(,)可看作是零自旋玻色子的超越完备传播子。参考文献 1 李宗诚，逻辑起点：二级超越完备量子及其脉动球体模型，“开放系统物理学”系列论文 (61)，2005。 2 李宗诚，二级超越完备量子系统的外部均衡交流分析物理，“开放系统物理学”系列论文 (62)，2005。 3 李宗诚，全拓展型超越完备量子系统的均衡交叠分析物

29、理，“开放系统物理学”系列论文 (63)，2005。 4 李宗诚，全拓展狭义相对论量子开放系统非均衡交流分析，“开放系统物理学”系列论文 (64)，2005。 5 李宗诚，二级超越完备量子体系的可拓展涨落耗散定理，“开放系统物理学”系列论文 (65)，2005。 6 李宗诚，量子耗散系统非理想性二级超越完备化处理方案，“开放系统物理学”系列论文 (66)， 2005。 7 李宗诚，全拓展狭义相对论零自旋粒子超越完备波动方程，“开放系统物理学”系列论文 (67)，2005。 8 李宗诚，全拓展狭义相对论自由型粒子超越完备波动方程，“开放系统物理学”系列论文 (68)，2005。 9 李宗诚，全拓展相对论自由型粒子超越完备波动方程的解，“开放系统物理学”系列论文 (69)，2005。10 李宗诚，BoseEinstein凝聚体的超越完备物理分析基础，“开放系统物理学”系列论文 (70)，2005。11 李宗诚，初步分析：Van der Waals相互作用与场真空涨落，“开放系统物理学”系列论文 (71)，2005。12 李宗诚，二级超越完备量子场的一般动力学基础初步探讨，“开放系