利用零点分段法解含多绝对值不等式

1、实用文案利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手， 下面介绍一种通法零点分段讨论法一、步骤通常分三步：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论， 去掉绝对值而解不等式一般地n个零点把数轴分为 1 段进行讨论n将分段求得解集，再求它们的并集二、例题选讲例 1 求不等式 | x2| | x 1| 3 的解集分析：据绝对值为零时 x 的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值 从而转化为不含绝对值的不等式x2(x2)x1(x1)解： | x 2| 2( x2)， | x 1| x( xx11)故可把全体实数x 分为三个部分：x 2， 2 x

2、 1， x 1所以原不等式等价于下面三个不等式组：x 2x1，或()2 x 1( )，或()x 2 1 x 3x 2x 1 3x 2 1 x 3不等式组 ( ) 的解集是 x| x 2 ，不等式组 ( ) 的解集是，不等式组 ( ) 的解集是 x| x 1 综上可知原不等式的解集是 x| x 2 或 x 1 例 2 解不等式 | x1| |2 x| 3x解： 由于实数1， 2 将数轴分成 ( ， 1 ， (1 ， 2 ， (2 ， ) 三部分，故分三个区间来讨论 当 x 1 时，原不等式可化为( x 1) ( x2) x 3，即 x 0故不等式的解集是 x| x 0 当 1 x 2 时，原不等

3、式可化为 ( x 1) ( x 2) x 3，即 x 2故不等式的解集是 标准文档实用文案 当 x 2 时，原不等式可化为( x1) ( x 2) x 3，即 x6故不等式的解集是 x| x 6 综上可知，原不等式的解集是 x| x 0 或 x 6 例 3 已知关于x 的不等式 | x 5| | x 3| a 的解集是非空集合，求a 的取值范围解： x 5 时， | x 5| 0； x 3 时， | x3| 0当 x3 时，原不等式可化为x 5x 3 a，即 a 82x，由 x 3，所以 2x 6，故 a 2当 3 x 5 时，原不等式可化为x 5x 3 a，即 a 2当 x 5 时，原不等式

4、可化为x 5 x3 a，即 a 2x8 10 8 2，故 a 2综上知 a 2无理不等式与绝对值不等式考试目标主词填空1. 含有绝对值的不等式 | f( x)|0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是af ( x)(0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)|g( x)|f 2( x) g2( x).2. 无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式 ( 或有理不等式组 ) 求解 . 其基本类型有两类 :f ( x)g( x)g ( x)0g( x)0f ( x)g (x) 2 或 f ( x)0f ( x)0f ( x)g( x)g( x)0.f ( x)g

5、( x) 23.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号 .4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.5. 三角不等式| | |a |+|,此不等式可推广如下：a bba b| a +a +a + +a | | a |+| a |+|a |+ +| a | 当且仅当 a , a , a , a 符号相同时取等号 .123n123n123n题型示例点津归纳标准文档实用文案【例 1】解无理不等式.(1) x 1 2;(2) x 1 2x4;(3)x 1 0, 故原不等式可化为不等式组x10:1.x4(2)因右边 2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)

6、与(2) 类似，也须讨论 .【规范解答】 (1)x10x15 .化原不等式为 :14xxx5x10或 x10(2)化原不等式为 :2x40(x1)(2x 4) 22 x40x 2或 x 12x1717 或1 x 2 1 x1717 .4x 217x170x288(3)化原不等式为两个不等式组:x10x112 x1 0xx0 .2x1(2x1) 24x 23x0【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算 . 对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力 .【例 2】解下列含有绝对值的不等式：(1)|x24| x+2;(2)|

7、x+1|2 x1|;(3)|x 1|+|2 x+1|2 x1| 2(2 x1) 2( x+1) 20.(2 x1+x+1) (2 x1x1)03x ( x2)00x2.(3) 令 x1=0 得 x=1, 令 2x+1=0 得 x= 1 .2当 x ,1时 ,原 不 等 式 可 化 为 : ( x 1) 2x141 .2x(2 x+1)43x432当 x1 ,1 时 , 原不等式可化为 : ( x 1)+(2 x+1)4.21x 11 x 1.由2x22x14 .当 x(1,+ ) 时 , 原不等式可化为 :( x1)+(2 x+1)4, 故由1 x3x43综上所述知 :4 ,11 ,11, 4

8、4 , 4为原不等式解集 .322333【解后归纳】解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段 ?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为 0时的变量取值， n 个不同的分点，将数轴分割成了( n+1) 段 .【例 3】 若不等式xax3(4,),m的值.的解集是m 求 a2【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y=x ( x 0) 及 y=ax+ 3 ( x 0) 的图像 .2若 y= x 的图像位于 y=ax+ 3 图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解 .2【规范解答】设y1=x, 它的图像是半条抛物线;y2=+

9、 3(x0), 它的图像是经过点ax2(0,3 ), 斜率为 a 的一条射线 .2标准文档实用文案不等式xax3的解即当 y1=x 的图像在 y2=ax+3 ( x 0) 的图像上方时相应的x 的22取值范围，因为不等式解集为(4,), 故方程xax34, 将 x=4代入m有一个解为2x ax3 得 :4314aa.228再求方程13x即 mxx的另一个解，得:=36,2=36.8【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内” ，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.【例 4】 解不等式 |lo g x|+|lo g (2 x)| 1.22【解

10、前点津】从x的可取值范围入手， 易知 0 0 且 2x0 故 0x0,log2(2 x)0, 化简另一个不等式 .3.D由 0x 3 10x313x0 且 4x2(x+1) 217 2.2x5.B分别画出 : y=a 2x 2, 与 y=2x+a 的图像，看图作答 .6.B |x| ,| |xy|=|(x) (y)| |x|+|y| + =2 ,ay aaaaa当 | x y|2 时 , 不能推出 | x a| 且 | y a| .7.A若 0abc, 且 lg alg b|lg c|lgb|0,ac 1 ( a+c)= ac+1ac=( c 1) ( a 1)0, ac+10, 当 log2

11、x0 时 , 不等式成立 , 此时 0x1; 当 log 2x 0 时,|2 x+log 2x|=2 x+|log 2x|.9.B4x 2| x | , 当 0x 2 时 , 不等式成立 , 另由x2x02x0x 0 .4x 2104x 23110.由 (|x| 1) (|x| 3)01| x|3x ( 3, 1) (1,3).11.由 x0 知 , xx 2 0,(x 2) ( x +1) 00x 2 0 x4.12.考察 y=1x2, y=x+a 的图像 , 即直线 y=x+a 在半圆x2+y2=1( y 0) 上方 a( 2 ,+ ).13.(1)化原不等式为 :3x0x)或 x3013x1.x3( 33x0x1 0x122(2)化原不等式为 :12x20x22( x1) 212x 23x22x0原不等式解集为 :220,22,3.2x33x5或 x514. 原不等式等价于 :2或2,5x2x31x52 x 3 15 x 2x 3 1解之 : x 7 或 1 5,故原不等式解集为 :( , 7) (1 ,+ ).3315. 由 a( a x) 0x a.标准文档实用文案(1) 当 x a 时 , a 2x0, 不等式成立 , 故 a (a