对数函数的总结

1、实用标准文案二、新授内容：定义 ：一般地，如果a a0,a1 的 b 次幂等于 N, 就是abN ，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作log a Nb ， a 叫做对数的底数，N叫做真数例如：4216log 4 162 ;10 2100log10 100 2114 22log 4 2;10 20.01log10 0.01 22探究 ：负数与零没有对数（在指数式中N > 0） log a 10 ， log a a1对任意a0 且 a1,都有 a 01 log a 10同样易知：log a a1对数恒等式如果把a bN 中的 b 写成 log aN ,则有 a log a NN常

2、用对数：我们通常将以10为底的对数叫做 常用对数 为了简便 ,N 的常用对数log10 N 简记作 lgN例如： log 10 5 简记作 lg5 ;log10 3.5简记作 lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以 e 为底的对数叫 自然对数 ，为了简便， N的自然对数 log e N 简记作 lnN例如： log e3 简记作 ln3 ;log e 10 简记作 ln10（ 6）底数的取值范围 (0,1)(1,) ；真数的取值范围(0,)三、讲解范例：咯log例 1 将下列指数式写成对数式： （课本第87 页）（1） 54=625（2） 26=1

3、（3） 3a=27(4)（1 m64） =5.733例 2 将下列对数式写成指数式：（ 1） log 1 164 ；（ 2） log 2 128=7；2（ 3） lg0.01=-2；（ 4） ln10=2.303精彩文档实用标准文案例3计算： log9 27 ， log 4 81， log2323 ， log3 4 62535二、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0 ， a1，M>0， N>0有：loga (MN)loga Mloga N(1)MlogaMloga N(2)logaNlogaM nnloga M(nR)(3)三、讲授范例：例1 计算（ 1） l

4、og525，（ 2） log 0 .41，（ 3） log 2 （ 47 × 25），（ 4） lg 5 100例 2 用 log a x ， log a y ， log a z 表示下列各式：(1)log a xy ;( 2) log ax2yzz3例3计算：(1)lg14-2lg7 +lg7-lg18(2)lg 243(3)lg 27 lg 8 3lg 103lg 9lg 1.2四、课堂练习：1. 求下列各式的值：（） log 2 log 2（） lg lg （） log 5 log 51（） log3 log3 32. 用 lg ， lg ， lg 表示下列各式：xy2xy3；

5、 （） lgx(1) lg （ xyz ）； （） lg； （） lg2zzzy二、新授内容：1. 对数换底公式 ：log a Nlog m N1，m > 0 ,m1,N>0)( a > 0 ,alog m a证明 ：设log a N = x ,则 a x= N两边取以 m 为底的对数： log m a xlog m Nx log m a logm N从而得：logm N log a Nlog m Nxlog m alog m a2. 两个常用的推论 :精彩文档实用标准文案 log a b log b a1 ，log a b log b c log c a1 log a m

6、b nn log a b （ a, b > 0且均不为1）m三、讲解范例：例 1已知 log 2 3 = a ， log 3 7 = b,用 a, b表示 log 42 561log 0.234 32例2计算： 5 log 4 3 log 9 2 log 12例 3 设 x, y, z(0,)且 3x4 y6 z11112比较 3x,4 y,6 z的大小求证2 y；xz例 4 已知 log a x= log a c+b，求 x四、课堂练习：已知log189 = a ,18b= 5 ,用 a, b表示 log 36 45若 log 8 3 = p ,log 35 = q,求 lg 5log

7、 a x1 log a b1证明：log ab x2已知 log a1b1log a 2b2log an bn求证： log a1a2an(b1b2bn )二、新授内容：1对数函数的定义：函数 y log a x (a0且a1) 叫做对数函数；它是指数函数yax(a0且a 1) 的反函数 对数函数 ylogax (a 0且a1) 的定义域为 ( 0,) ，值域为 (, )2对数函数的图象由于对数函数ylog ax 与指数函数 ya x 互为反函数，所以ylog a x 的图象与 y a x的图象关于直线yx 对称 因此，我们只要画出和y a x 的图象关于yx 对称的曲线，就可以得到 ylog

8、 ax 的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质精彩文档实用标准文案44331-6-4-2A2211 12460 1-2246-101-1-2-2-3-33对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见 P87表a>10<a<1332.52.5221.51.5图1 11 10.50.5-112345678-10-0 .512345678象0-0.511-1-1-1 .5-1 .5-2-2-2 .5-2 .5定义域：（ 0， +）值域： R过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0性质x(0,1) 时 y0x(0,1) 时y0x(1,) 时 y0x(1,) 时

9、y0在（ 0， +）上是增函数在（ 0， +）上是减函数三、讲解范例：例 1（课本第94 页）求下列函数的定义域：（ 1） ylog a x 2 ； （ 2） ylog a (4x) ； （ 3） ylog a (9x2 )例 2 求下列函数的反函数1x y ( 1) x2 1 y13 ( x 0)22四、练习 ：1. 画出函数 y= log3 x 及 y= log 1 x 的图象，并且说明这两个函数的3相同性质和不同性质.2. 求下列函数的定义域：（1） y= log 3 (1-x)1(2)y=log 2 x精彩文档实用标准文案(3)y= log 71ylog3 x(4)13x二、新授内容：

10、例 1 比较下列各组数中两个值的大小： log 2 3.4,log log a 5.1,log2a8.5 ； log 0. 3 1.8,log 0. 3 2.7 ；5.9( a0, a 1)例 3 比较下列各组中两个值的大小： log 6 7, log7 6 ； log 3, log 2 0.8例 4求下列函数的定义域、值域： y2 x211 ylog 2 ( x22x5)4 ylog 1 (x 24x 5) ylog a (x 2x) (0 a 1)31比较 log 2 0.7与 log 1 0.8两值大小32已知下列不等式，比较正数m、 n 的大小：（1） log 3 m log3 n(2

11、)log 0.3 m log 0. 3 n(3)log a m log a n(0 a 1)(4)loga m log a n(a 1)二、新授内容：例 1 证明函数 f ( x)log 2 ( x21) 在 (0,) 上是增函数函数 f ( x) log 2 ( x 21)在 (,0) 上是减函数还是增函数？例 2求函数 ylog 1 ( x22x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明2三、练习 ：1. 求 y= log 0. 3 ( x2 -2x) 的单调递减区间2. 求函数 y= log2 ( x2 -4x) 的单调递增区间3. 已知 y= log a (2- a x ) 在 0， 1上

12、是 x 的减函数，求a 的取值范围 .练习（ 1）证明函数 y= log 1( x2+1) 在（ 0， +）上是减函数；2（2）判断函数 y= log 1（ x 2+1) 在（ - ,0 ）上是增减性 .2概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，集合，函数精彩文档实用标准文案三要素（对应法则、定义域、值域） ；反函数；函数的单调性，最大（小）值等是函数有关概念的重要内容 . 本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征 .1. 映射的定义 ，就明确如下几点（ 1）映射 f:A B 说的是两个集合A与 B 间的一种对应，两个集合是有序.（

13、2）映射必须是“多对一”或“一对一”的对应，即允许集合A 中不同元素在集合B中有相同的象，但不要求B 中的元素在A 中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是B的真子集 .（ 3）映射所涉及两个集合 A、 B( 均非空 ) ，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合 .2. 函数的概念在映射的基础上理解函数概念，应明确：（ 1）函数是一种特殊的对应，它要求是两个集合必须是非空数集；函数y=f(x)是“ y是 x 的函数”这句话的数学表示，其中 x 是自变量， y 是自变量 x 的函数， f 是表示对应法则，它可以是一个 解析式 ，也可以是 表格或图象 ，也有的只能用 文字语言叙述 .（

14、2）函数三要素是 定义域 ，对应法则 和值域 ，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后， 值域也就相应得到确定， 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数 .（ 3）确定函数定义域是函数这部分所涉及的重要问题之一，应会求各种函数的定义域，若为实际问题还应注意实际问题有意义. 3. 函数的单调性函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：（ 1）它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间 （可以是定义域， 也可以是定义域内某个区间），例如函数y= 1 在（ - ,0 ）y= 1x上是减函数，在（0， +）上也是减函数，但决不

15、能讲函数是减函数 .x（ 2）用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值作差化积定号 .（ 3）由函数单调性的定义知，当自变量由小到大，函数值也由小到大，则为增函数，反之，为减函数；由函数图象的走向十分直观反映函数变化趋势，当函数的图象（曲线）从左到右是逐渐上升的，它是增函数，反之为减函数.4. 反函数反函数是函数部分重要概念之一，应明确：（ 1）对于任意一个函数y=f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反函数.（ 2）原函数的定义域是反函数的值域， 原函数的值域是反函数的定义域， 在求反函数时，应先确定原函数的值域 .（

16、 3）求反函数的步骤是“一解” “二换” . 所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=f(x)，反解出用y 表示 x 的式子 x=f1 (y) ；二换，即是将x=f1 (y) 中的 x,y 两个字母互换，解到 y=f1 (x) 即为所求的反函数 （即先解后换） . 当然，在同一直角坐标系中， 函数 y=f(x)与 x=f1 (y) 是表示同一图象，y=f(x)与 y=f1 (x) 的图象关于直线y=x 对称 .精彩文档实用标准文案（ 4）一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.（ 5）原函数与其反函数在其对称区间上的单调性是一致的.5方法总结 . 相同函数的判定方法：定义域相同且对

17、应法则相同. . 函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法. . 反函数的求法：递解x, 互换 x、y，注明反函数的定义域( 即原函数的值域). . 函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域 . 常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. . 函数值域的求法：配方法 ( 二次或四次 ) ；判别式法；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法 . . 单调性的判定法： 设 x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量，且 x 1 x 2 ；判定

18、 f(x 1 )与 f(x2 ) 的大小；作差比较或作商比较. . 奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系： f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0为偶； f(x)+f(-x)=0为奇； f(-x)/f(x)=1是偶； f(x) ÷f(-x)=-1为奇函数 . . 图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. . 函数的应用举例( 实际问题的解法).解决应用问题的一般程序是：审题：弄清题意、

19、分清条件和结论、理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型.求模：求解数学模型，得到数学结论.还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.四、二次函数的基础知识及运用：二次函数虽然是初中内容，但由于应用广泛性，且是解决许多数学问题的基础，在高考中属于重点考查的内容. 在高考试题中常有直接考查二次函数的题目，而且还有一定的难度.题型有选择题、 填空题， 也有解答题，近几年解答题常围绕二次函数并结合二次方程、 二次不等式（简称： “三个二”）来设置，而且往往是压轴题，因此，作为重点知识，有必要再次研究二次函数， 以掌握并加深对这一部分知识理解，对于二次函数的定义、

20、图象和性质及二次函数的最值，在理解的基础上，并加强记忆和运用.高考对二次函数的考查主要从以下几方面：1. 二次函数解析式的三种表示方法：（ 1） y=ax 2 +bx+c(a 0) 叫做标准式；（ 2） y=a(x+b ) 2+ 4ac b2, 叫做顶点式；2a4a（ 3） y=a(x-x1 )(x-x2 ), 叫做二根式；（这里指的是：当 0 时，即抛物线与x 轴有两个交点（ x 1 ,0 ）和 (x 2,0) 时的解析式形式） .精彩文档实用标准文案注意：以上三种形式突出了解析式的特点，运用时要有选择性.2. 二次函数的定义、二次函数y=ax 2 +bx+c(a 0) 的图象与性质：(1)

21、顶点是（ - b , 4acb 2），对称轴是 x=- b .2a4a2a(2)当 a 0 时图象开口方向向上， 分别在单调区间 （- ,-b上是减函数； 在 -b2a,+2a ) 上是增函数，其最小值为ymin= 4ac b2.4a当 a0 时，图象开口方向向下， 分别在单调区间 （ - ,-b 上是增函数； 在 -b ,+2a2a) 上是减函数，其最大值为ymax= 4ac b2.4a(3) 抛物线与 x 轴的关系：（即 ax 2 +bx+c=0(a 0) 的解） . . 当 0 时，抛物线与x 轴有两个交点（x 1 ,0 ）和 (x 2 ,0) 其中横坐标为x 1 、 2 =b b 24

22、ac ;2a . 当=0 时，抛物线与x 轴切于一点，坐标为（- b ,0 ） ;2a . 当 0 时，抛物线与x 轴没有交点 .（ 4）函数值的正负号当0 时， xR 时， y 与 a 同号 .当 =0 时， xR 且 x - b 时， y 与 a 同号 .2a当0 时，设 x 1 <x 2 , 则（）当x x 1 或 x x 2 时， y 与 a 同号；（）当x 1 xx 2 时， y 与 a 异号 .以上涉及的是二次函数的定义、图象和性质等基础知识，特别是对函数值的符号，奇偶性，在指定区间上的最值等进行了引伸，应结合图象理解和运用.3. 二次函数在指定区间上的最值；4. 运用二次函

23、数的知识解决某些数学问题与实际问题.五、指数函数与对数函数的图像和性质：指数函数 yax (a 0且a1) 的图象和性质a>10<a<1精彩文档实用标准文案图象66554433221111-4-2246-4-224600-1-1(1) 定义域： R性（2）值域：（ 0， +）质（3）过点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1（4）在 R 上是增函数（ 4）在 R 上是减函数对数函数 ylog ax(a0且 a1)的性质：a>10<a<1332.52.5221.51.5图1 11 10.50.5象-112345678-10-0 .5123456780-0.5

24、11-1-1-1 .5-1 .5-2-2-2 .5-2 .5定义域：（ 0， +）值域： R过点（ 1， 0），即当 x1时， y0性质x(0,1) 时 y0x(0,1) 时y0x(1,) 时 y0x(1,) 时 y0在（ 0， +）上是增函数在（ 0， +）上是减函数六、把握数形结合的特征和方法本章函数中，重点讨论的指数函数、对数函数，都是以定义、性质、图象作为主要的内容，性质和图象相互联系、相互转化，有关函数性质的很多结论是在观察图象的基础上，通过概括， 归纳得出的， 并借助于函数图象所具有的直观性强的优点形成记忆，在分析和解决与函数有关的问题中，也常常是函数图象的几何特征与函数性质的数量

25、特征紧密结合，相互为用 .函数图象可直观、生动地反映函数的某些性质，因此在研究函数性质时，应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的性质.七、认识函数思想的实质，强化应用意识函数是用以描述客观世界中量的存在关系的数学概念，函数思想的实质是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系、解决各种问题.纵观近几年的高考试题，考查函数的思想方法已放在一个突出的位置上，特别是近三年加大了应用题的考查力度，选用的题目都要应用函数的思想、知识、方法才能解答的，因此在函数的学习中，一定要认识函数思想的实质，一定要强化应用意识.精彩文档实用标准文案八、讲解范例：例 1 已知函数f ( x) 的定义域是 0， 1，则函数f ( x2 ) 的定义域是 _.例 2 已知函数f ( x) =1x2 (-1 x 0), 则 f 1 (0.5) =_.九、课堂练习：1. 已知映射f:M N, 使集合 N 中的元素y=x 2 与集合 M中的元素x 对应，要使映射f:M N是一一映射，那么M， N 可以是（）A.M=R