甘肃省武威高二上期末数学理科试卷(有答案)

1、甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1（5 分）设集合 A= x|0 ， B= y| 0y3 ，那么 “mA”是 “m B”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D既不充分也不必要条件2（5 分）已知向量=（1，1，0），=（ 1，0，2），且与互相垂直，则 k 的值是（）A1 BCD3（5分）若双曲线：=1的左、右焦点分别为1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且| PF1| =3，EF则| PF2| 等于（）A11 B9 C5 D34（5分）已知命题p： “若23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1，则 x23x+20”，

2、命x题 q：“a”的充要条件为 “lnalnb ”，则下列复合命题中假命题是（）A p qB p qC（ p） qDp（ q）5（5 分）已知向量=（2，4，5）， =（3，x，y）分别是直线 l1、l2 的方向向量，若 l1l2，则（）A x=6，y=15Bx=3，y=Cx=3，y=15Dx=6， y=6（5 分）在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB=，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 （）A 60°B90°C75°D 105°7（5 分）函数 f（ x）=（x3）ex 的单调递增区间是（A（0，3） B（1，4） C（2，+）D（，

3、 2）8（5 分）下列说法中正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B “ab”与 “a+cb+c”不等价2+b2 ，则，全为0”的逆否命题是 “若 ，全不为，则2+b20”C “a =0a ba b0aD一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9（5 分）已知长方体ABCDA1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0 的是（）ABCD10（5 分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且 AOB=AOC=，则 cos，的值为（）AB0CD11（5分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A

4、、 B 两点，则的值等于（）A5 B4C3D 212（5分）命题 p： ?x R， ax2+ax+10，若 ?p 是真命题，则实数 a 的取值范围是（）A（0，4 B 0，4C（， 0 4，+） D（， 0）（ 4，+）二、填空题（每空5 分，共 20 分）13（5 分）命题 “? x0，x2x0”的否定是14（5 分）若双曲线的渐近线方程为y=± 3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是15（5 分）=（2， 3， 5）， =（ 3，1， 4），则 | =16（5 分）下列命题是真命题的是平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；如果向量是三个不共线的向量，是空

5、间任一向量， 那么存在唯一一组实数1，2，3使得；若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的必要不充分条件三、解答题（共6 小题，满分 70 分）17（10 分）已知曲线 C： f（ x）=x3x（1）试求曲线 C 在点（ 1，f （1）处的切线方程；（2）试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程18（ 12 分）已知 a R，命题 p：“? x 1，2 ，x2a0”，命题 q：“? x R，x2+2ax+2 a=0”（）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（）若命题 “pq”为假命题，求实数a 的取值范围19（12 分）如图，四棱锥 P ABCD的底面

6、 ABCD为菱形， PA平面 ABCD，PA=PB=2，E、F分别为 CD、 PB的中点， AE= （）求证：平面AEF平面 PAB（）求平面 PAB与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值20（12 分）已知函数 f（x）=x2+axlnx（aR）（I）当 a=3 时，求函数 f （x）在 ，2 上的最大值和最小值；（）函数 f（x）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围21（12 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别是 BB1， DD1 的中点（ I）证明：平面 AED平面 B1FC1；（ II）在 AE 上求一点 M ，使得 A1M平面 DAE22（12 分）已

7、知椭圆的离心率为，且经过点（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0， 2）的直线交椭圆C 于 A，B 两点，求 AOB（ O 为原点）面积的最大值甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1（5 分）设集合 A= x|0 ， B= y| 0y3 ，那么 “mA”是 “m B”的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要非充分条件D既不充分也不必要条件【解答】 解： A= x|0 = x| 0x1 ，则“mA”是“mB”的充分不必要条件，故选： A2（5 分）已知向量=（1，1，0），=（ 1，0，2），且与互相垂直，则 k 的值是（）A1B

8、CD【解答】 解：根据题意，易得k + =k（1，1，0）+（ 1， 0， 2） =（ k1，k，2），2 =2（1，1，0）（ 1， 0， 2） =（ 3， 2， 2）两向量垂直，3（k1）+2k2×2=0k= ，故选 D（分）若双曲线：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且| PF1| =3，3 5E则| PF2| 等于（）A11 B9 C5 D3【解答】 解：由题意，双曲线 E：=1 中 a=3 | PF1| =3， P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得 | PF2| | PF1| =6，| PF2| =9故选： B4（5 分）已知命题 p： “若

9、x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1，则 x23x+20”，命题 q：“a A p q”的充要条件为 “lnalnb ”，则下列复合命题中假命题是（B p q C（ p） q Dp（ q）【解答】 解：对于命题 p，中括号内【 “若 x2 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x1，则 x2 3x+20”】整个是 p 命题，而不是单看引号内的命题， p 为真；对于命题 q，当 a=1、b=0 时， a，但 lna lnb 不成立，q 是假命题， q 是真命题；pq 是假命题， pq、（ p）（ q）和 p（ q）是真命题故选： B5（5 分）已知向量=（2，4，5），

10、 =（3，x，y）分别是直线l1、l2 的方向向量，若l1l2，则（）A x=6，y=15Bx=3，y=Cx=3，y=15Dx=6， y=【解答】 解： l1l2，存在非0 实数k 使得， ，解得故选： D，6（5 分）在正三棱柱ABC A1B1C1 中，若 AB=，则AB1 与C1B所成的角的大小为 （）A 60°B90°C75°D 105°【解答】 解：不妨设 BB1 =1，则 AB=，?=（）?（）=+=0+ cos60 °12+0=0 直线 AB1 与 C1B 所成角为 90° 故选： B7（5 分）函数 f（ x）=（x3）

11、ex 的单调递增区间是（A（0，3） B（1，4） C（2，+） D（， 2）【解答】 解：函数 f （x）=（x3）ex， f （x）=ex+（x3）ex=（x2）ex，令 f （x）=0，解得 x=2；当 x2 时， f （ x） 0，f（ x）是单调增函数， f（ x）的单调增区间是（ 2，+）故选： C8（5 分）下列说法中正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B “ab”与 “a+cb+c”不等价22C “a+b =0，则 a，b 全为 0”的逆否命题是 “若 a，b 全不为）0，则 a2+b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：一个命题的

12、逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故 A 错误， D 正确；“ab”? “a+cb+c”，故 B 错误；2+b2 ，则，全为0”的逆否命题是 “若 ，b不全为，则2+b20”，故 C 错误；“a =0a ba0a故选： D（分）已知长方体1 1 1 1，下列向量的数量积一定不为0 的是（）9 5ABCDA B C DABCD【解答】 解：选项 A，当四边形 ADD为正方形时，可得 AD A ，而A1D，可得AD11A111DB1CB1 ，此时有；C=0选项 B，当四边形 ABCD为正方形时，可得 ACBD，

13、可得 AC平面 BB11 ，故有1，D DACBD此时有=0；选项 C，由长方体的性质可得AB平面 ADD1A1，可得 AB AD1，此时必有=0；选项 D，由长方体的性质可得BC平面 CDD ，可得 BCCD ，BCD 为直角三角形， BCD1C1111为直角，故 BC与 BD1 不可能垂直，即0故选： D10（5 分）如图所示，已知空间四边形OABC，OB=OC，且 AOB=AOC=，则 cos，的值为（）AB0CD【解答】 解：空间四边形OABC中， OB=OC， AOB=AOC=， = ，?=?（）=?=| ×| ×cos| ×| ×cos=|&

14、#215;（|）=0，cos ， =0故选： B11（5 分）过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、 B 两点，则的值等于（）A5B4C3D2【解答】 解：设 A（x1， y1 ）， B（ x2，y2），又，可得，则，故选 C12（5 分）命题 p： ? x R， ax2+ax+10，若 ?p 是真命题，则实数 a 的取值范围是（）A（0，4 B 0，4 C（， 0 4，+） D（， 0）（ 4，+）【解答】 解：命题 p 的否定是 p：? xR，ax2+ax+10 成立，即 ax2+ax+10 成立是真命题；当

15、a=0 时， 10，不等式不成立；当 a0 时，要使不等式成立，须a24a0，解得 a 4，或 a0，即 a 4；当 a0 时，不等式一定成立，即a0；综上， a 的取值范围是（， 0）（ 4，+）故选： D二、填空题（每空5 分，共 20 分）13（5 分）命题 “? x0，x2x0”的否定是? x0，x2x0【解答】 解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是： ? x0，x2 x0，故答案为： ? x0，x2 x 014（5 分）若双曲线的渐近线方程为y=± 3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是【解答】 解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是，

16、又它的一个焦点是故 +=1，故答案为：15（5 分）=（2， 3， 5）， =（ 3，1， 4），则 |【解答】 解：=（ 2， 3，5），=（ 3， 1， 4），|=故答案为：| =（ 8， 5，13），16（5 分）下列命题是真命题的是平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；如果向量是三个不共线的向量，是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数1，2，3使得；若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的必要不充分条件【解答】 解：平面内与两个定点F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，不正确，由椭圆的定义可得应为距离之和大于| F1F2| ，否则

17、为线段或轨迹不存在；如果向量是三个不共线的向量， 不一定不共面，故它们不一定能作为空间基底，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得，不正确；若命题 p 是命题 q 的充分非必要条件，则 q 是 p 的充分非必要条件，则 p 是 q 的必要非充分条件，正确故答案为：三、解答题（共6 小题，满分 70 分）17（10 分）已知曲线 C： f（ x）=x3x（1）试求曲线 C 在点（ 1，f （1）处的切线方程；（2）试求与直线 y=5x+3 平行的曲线 C 的切线方程【解答】（ 10 分）解：（1） f（x） =x3 x， f（ 1） =0，求导数得 f'（x） =3x21，切

18、线的斜率为 k=f'（1）=2，所求切线方程为 y=2（ x 1），即 2xy2=0（2）设与直线 y=5x+3 平行的切线的切点为（ x0，y0），则切线的斜率为，解得，代入曲线方程 f （x） =x3 x 得切点为或，所求切线方程为或，即或18（ 12 分）已知 a R，命题 p：“? x 1，2 ，x2a0”，命题 q：“? x R，x2+2ax+2 a=0”（）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（）若命题 “pq”为假命题，求实数 a 的取值范围【解答】 解：（I）由命题 p 为真命题， a x2min，a1；（ II）由命题 “pq”为假命题，所以p 为假命题或

19、q 为假命题，p 为假命题时，由（ I） a 1；q 为假命题时 =4a24（2a） 0， 2 a 1，综上： a（ 2，1）（ 1， +）19（12 分）如图，四棱锥P ABCD的底面 ABCD为菱形， PA平面 ABCD，PA=PB=2，E、F分别为 CD、 PB的中点， AE=（）求证：平面AEF平面 PAB（）求平面 PAB与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值【解答】 解：（）证明：四边形ABCD是菱形，AD=CD=AB=2，在 ADE中， AE=，DE=1，AD2=DE2+AE2， AED=90°，即 AE CDAB CD， AE ABPA平面 ABCD，AE? 平面 AB

20、CD，PA AEPA AB=A， AE平面 PAB，AE? 平面 AEF，平面 AEF平面 PAB （ 6 分）（）解法一：由（ 1）知 AE平面 PAB，而 AE? 平面 PAE，平面 PAE平面 PAB， （ 6 分）PA平面 ABCD， PACD由（）知 AECD，又 PAAE=A，CD平面 PAE，又 CD? 平面 PCD，平面 PCD平面 PAE平面 PAE是平面 PAB与平面 PCD的公垂面 （8 分）所以， APE就是平面 PAB与平面 PCD所成的锐二面角的平面角 （9 分）222，即 （分）在 RTPAE中， PE=AE+PA10=3+4=7PA=2，所以，平面 PAB与平面

21、 PCD所成的锐二面角的余弦值为 （12 分）（）解法二：以 A 为原点， AB、 AE分别为 x 轴、 y 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示因为 PA=AB=2， AE= ，所以 A（ 0， 0， 0）、P（0，0，2）、E（ 0，0）、C（1，0），则， （7 分）由（）知 AE平面 PAB，故平面 PAB的一个法向量为， （8 分）设平面 PCD的一个法向量为，则，即，令 y=2，则 （10 分）=所以，平面 PAB与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为 （12 分）20（12 分）已知函数 f（x）=x2+axlnx（aR）（I）当 a=3 时，求函数 f （x）在

22、，2 上的最大值和最小值；（）函数 f（x）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围【解答】 解：（） a=3 时， f （ x） = 2x+3 =，函数 f（x）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，故函数在 ，2 最大值是 f（ 1） =2，又 f （2） f（ ）=（2ln2）（ +ln2） = 2ln20，故 f（ 2） f（ ），故函数在 ，2 上的最小值为 f（2）=2 ln2（）若 f（x）既有极大值又有极小值， 则必须 f（x）=0 有两个不同正根 x1，x2 ，即 2x2ax+1=0有两个不同正根故 a 应满足?，函数 f（ x）既有极大值又有极小值，实数a 的取值范围是21（12 分）如图，正方体ABCD A1B1C1D1 中， E，F 分别是 BB1， DD1 的中点（ I）证明：平