第十章曲线与曲面(三) b-样条曲线

1、参数曲线与曲面(二)B-样条曲线回想一下，设计一条曲线，我们可以通过Bezier控制多边形给出大致轮廓，再通过调整控制顶点来调整曲线。如果是有理Bezier曲线，还可以通过调整权因子来调整曲线。对设计者来说，确实方便。但是，Bezier曲线有两个缺点：z 次数取决于Bezier控制顶点的个数，曲线次数太高。 z 整体性。牵一发而动全身，太敏感。这正是我们引进B样条曲线的原因。具体做法是，将Bezier曲线的Bernstein基换为B样条基。B样条曲线是NURBS的基础，而NURBS是CAGD中的核心技术。三次样条曲线 预备知识：三次样条曲线的定义定义1. 设区间 a,b 分割为列条件之向量函数

2、。1a=t0t1 tn=b, (t)是满足下i 每个小区间 ti , t i+1, i=0,1,n-1 上，t) 是 t 的3次向量多项式。ii则 (t) (t) C2a,b. 即(t)有直至 2阶的连续导向量。 为 a, b 上关于分划 a=t0t1 tn=b 的 3 次参数样条曲线。 从样条曲线的观点导出三次等距B样条 设0,1,m为空间任 m+1 个点向量，b0b1bm为特征多边形，顺次取4 个顶点ii+1i+2i+3,(i=0,1,2,Lm3)作三次曲线段：pi,3(t)=Fj,3(t)bi+j(0t1)j=03 (1)这里Fj,3(t)为待定基函数 (调配函数). 这 m-2 段曲线

3、要求： k)pi(,k3)(t)|t=1=pi(+1,3(t)|t=0k=0,1,2.i=0,1,L,m4 i=i+1=i+3时，it)=i. 我们由,推导Fj,3(t)。由有所以2j=03i+j)F(1)=i+j+1Fj(,ki=0,1,2,m4 3(0)(k)j,3j=03)(k)(k)F(1)i+Fj(,ki=0,1,2,m4 3(1)Fj1,3(0i+jF3,3(0)i+4=0(k)0,3j=1由i之任意性有：(k)(a)F3,3(0)=0F(k)=F(k)j+1,3(1j,3(0)j=0,1,2;k=0,1,2F(k)0,3(1)=0由有(b)3Fj,3(t)=1j=0由(a)，按幂

4、级数展开有:F3,3(t)=F3,3(0)+F3,3(0)t+12F213,3(0)t+6F3,333(0)t=d3t其中d3待定。又由于d3F(k)2,3(0)=F(k)=(d3(k)3,3(1)3t)|t=1=3d36d3我们有F2,3(t)=d3+3d13t+26d133t2+6F2,3(0)t=d33(1+t)+d2t3其中d2待定。类似有F1,3(t)=d3(2+t)3+d2(1+t)3+d31tF31,3(t)=d3(3+t)+d2(2+t)+d1(1+t)3+d30tk=0k=1k=2其中d1,d0待定。由(b), 既然Fj,3(t)1，将Fj,3(t)1写成幂级数形式，各项系数

5、j=0j=033必为0。故有(33+23+1)d3+(23+1)d2+d1=1222(3+2+1)d3+(2+1)d2+d1=0 (3+2+1)d3+(2+1)d2+d1=04d+3d+2d+d=02103也即361464910d01510d10 =310d20321d30解此方程组得：(d0,d1,d2,d3)=(4,6,4,1)于是，求得Fj,3(t)如下：1(1t)361F2,3(t)=(1+3t+3t23t3)6F0,3(t)=1(46t2+3t3)6 13F3,3(t)=t6F1,3(t)=16不难发现，这样推导得到的F0,3(t),F1,3(t),F2,3(t),F3,3(t)恰好

6、为关于分划 0 1 2 3 n 的三次 B样条基 4N3,4(t),N2,4(t),N1,4(t),N0,4(t)在 0,1 上的表示式。所以 (1) 式即为等距三次B样条曲线。另外，还可得到等距三次B样条曲线的矩阵表示：133363t1)330141bi10bi+1 0bi+20i+3 Pi(t)=(t3t216B样条基函数B样条基函数是样条函数空间中具有最小支承的一组基，也称为基本样条(Basic spline), B样条基函数有多种定义形式，例如有积分、差分、卷积、截断幂、递推形式等，理论上较多采用截断幂函数的差商定义，但实际工程计算则更多采用de Boor-Cox递推公式定义B样条基函

7、数，这样不仅便于计算分析基函数的性质，而且也简明直观，具有明显的几何特征。在下面的叙述中，通常不分参数记号u和t之间的差别。定义3.1 设U=u0L,um是单调递增的实数序列，即uiui+1(i=0,1,L,m1),ui称为节点（Knot），U称为节点矢量，第i段p次（degree）(或p+1阶（order）) B样条基函数，记为Ni,p(u), 定义如下：1Ni,0(u)= 0 若uiuk)为给定的空间 n+1 个点，称下列参数曲线p(t)=piNi,k(t),i=0ntk1ttn+1(7)为 k 阶 (k-1 次) 的B样条曲线，折线 P0P1Pn为P(t)的控制多边形。Pi, i = 0

8、,1,n为P(t)的控制顶点。Ni,k(t)为定义在分割tiin=+0k上的 k 次B样条基函数，可由 de Boor-Cox公式确定。z 一般B样条曲线的性质 导数公式由B样条基的微分差分公式，有：nnp(t)=piNi,k(t)=piNi,k(t)i=0i=0ppi1=(k1)iNi,k1(t)i=0ti+k1tin 表示的唯一性n 以Pi0 为控制顶点的 k 阶 B 样条可唯一地表示为P(t)=PiNi,k(t)i=0n。注意：等价于0的B样条表示的唯一性。可由数学归纳法证明。 规范性n当且仅当Pi0 退化为一点，即PiA时，由其所确定的B样条曲线退化为一点。证明：若PiA，则 p(t)

9、=ANi,k(t)=ANi,k(t)=A。反之，若p(t)=A, 即PiNi,k(t)=A，对此式求导，得到此，由Ni,k1(t)的线性无关性，知Pi 连续性 PiPi1Ni,k1(t)=0，因(k1)ti+k1tiPi1，从而PiA。k 阶B样条是分段的 k-1 次参数曲线，在节点处不低于 k-1-m 次连续，m 为节点重数。 凸包性k 阶B样条的任一段，均落在相应的 k 个顶点之凸包内。 局部性改变 k 阶B样条的一个顶点，至多影响此点为中心的相邻 k 段曲线。 直线保持性控制多边形退化为一条直线时， 曲线也退化为一条直线。 几何不变性B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 变差缩减性

10、局部性设平面内 n+1 个控制顶点P0,P1,L,Pn 构成B样条曲线 P(t)的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。de Boor 算法 de Boor 算法的导出现考虑B样条曲线 P(t) 的计算问题。由 de Boor-Cox 公式，有： P(t)=PiNi,k(t)=i=0ni=jk+1PNiji,k(t)ttiti+kt()()NtNt+Pii,k1i+1,k1 tttti=jk+1i+ki+1i+k1ijttittPi1Ni,k1(t)(8)Pi+i+k1=ti+k1tii=jk+1ti+k1ti=j现令Pi,r=0,i=

11、jk+1,jk+2,j;Pir(t)=ttiti+krtr1r1Pi(t)+Pi1(t), ttttii+kri+krir=1,2,k1;i=jk+r+1,jk+r+2,j;(9)则 (8) 式可表示为P(t)=ii=jk+1PNji,k(t)=ii=jk+2Pj1(t)Ni,k1(t)上式是同一条曲线P(t)从 k 阶B样条表示到 可 k-1 阶B样条表示的递推公式，反复应用此公式，得到：P(t)=Pjk1(t)这就是著名的 de 于是，P(t)的值可以通过递推关系式 (9) 求得。Boor 算法。 de Boor 算法的递推关系 de Boor 算法的几何意义de Boor算法有着直观的几

12、何意义 割角，即以线段PirPi+r1 割去角Pir1。从多边形 Pjk+1Pjk+2Pj 开始，经过 k-1 层割角，最后得到P(t)上的点Pjr1(t)。 由de Boor 算法导出三次B样条的Bezier表示在使用时，为了减少计算量，希望曲线次数越低越好，但二次曲线是一条抛物线，不能反应曲线的拐点；所以一般使用三次 ( 四阶) 样条曲线。下面来讨论三次(四阶)样条曲线与Bezier曲线的关系。由 de Boor 算法，知下列公式成立：2P(tj)=Pj3(tj)=Pj1(tj)32P(tj+1)=Pj+1(tj+1)=Pj(tj+1)P(tj)=3(P(tj)P(tj)1P(tj+1)=

13、3(Pj2(tj+1)Pj1(tj+1)1j12j1由于P(t)在区间 tjttj+1 上是三次多项式，故以上两个性质表明：这段曲线如表示成三次Bezier曲线，则其控制顶点为2112Pj1(tj),Pj1(tj),Pj1(tj+1),Pj(tj+1)。即P(t)可表示为P(t)=i=j3PNi2j1ji,4(t) ttjttj13=P(tj)Bt+Pj1(tj)B1tjj3ttjttj23+P(tj+1)Bt+Pj(tj+1)B3t,jj1j132其中，tjttj+1,tj=tj+1tj。这表明，对四阶B样条曲线P(t)而言，de Boor算法不仅是求P(t)的方法，也是把P(t)转化为一段

14、Bezier曲线的工具。z Oslo节点插入算法假设原始节点矢量序列为P0,P1,L,Pn, T=t0,t1,tn+k, 且为非减序列；原始控制顶点在节点区间ti,ti+1中插入 s 重 (sk) 节点 t，控制点中与区间ti,ti+1 相关的 k 个原始控制顶点为Pik+1,Pik+2,Pi1Pi。经过节点插入后，曲线不变，但控制顶点和节点矢量将发生变化。新的节点矢量记为T=t0,t1,tm+k1, T仍为非减序列。新的控制顶点由下式给出： Qj=ik,jPi,i=0n0jm其中i0,j1=0tj+k1titjtj+1Otherwiseti1ik,j+ik,j=ti+ktj+k1ik+11,

15、jti+k1titi+kti+1z Boehm节点插入算法 1插入一个节点设已给一条k阶B样条曲线的原始节点矢量为T=t0,t1,L,tn+k。现在要在定义域某个节点区间ti,ti+1内插入一个节点t，于是得到新的节点矢量T1=t0,t1,L,ti,t,ti+1,L,tn+k，重新编号成为111T1=t0,t1,L,ti1,ti1+1,ti1+2,L,tn+k+1这个新的节点矢量U1决定了一组新的B样条基Ni1,k(t)i=0,1,L,n+1。原来的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知新顶点di1表示出pt=1jN1j,k(t)。j=0n+11980年Boehm给出了这些未知新顶点的计算公

16、式(s重)：1j=j, j=0,1,L,ik+1ttj1j=(1j)j1+jj, j=ik+2,L,is其中j=tj+k1tj1=, j=is+1,L,n+1j1js=0时插入一个节点2 重复插入同一节点Boehm将插入一单个节点的算法推广用来插入一个重节点。实际上是用递推得到：j, r=0ttjrr1r1j=(1j)j1+jj, r=1,2,L,l其中j=tj+kstj z 利用节点插入算法转化B样条为BezierB样条曲线通过插入节点，使曲线定义域内所有节点具有重复度k就可以得到一组首尾相接且同为K次的Bezier曲线。B样条曲线采用分段Bezier曲线表示后，各段曲线就具有了相对独立性。

17、移动一曲线段内的Bezier点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。反算B样条插值曲线的控制定点为了使一条k次B样条曲线通过一组数据点Pi, i=01,.n，反算过程一般使数据点Pi与B样条曲线定义域内的节点一一对应，即Pi有节点值Uk+i i=0,1,.n。接着就可以给出由n+k个控制定点为未知矢量的由n+1个矢量方程组成的线性方程组。n+k1P(Uk+i)=dNjj=0j,k(Uk+i)=Pii=0,1,.,n对于周期闭曲线，令dn+i=di, i=0,1,k-1。可以解出唯一解。对于开曲线（包括非周期曲线），需补充k-1个由合适的边界条件给出的附加方程联立求解，如：切矢条件，

18、自由端点条件等。 z 三次B样条曲线的重顶点技术4顶点重合4顶点共线z 三次B样条曲线的重节点技术 端点处四重节点。 即：t0=t1=t2=t3t4，则且以P0P1为切方向。 内节点有三中节点。则：20p(t)过P0，P(ti)=Pi(ti)PP(ti+) t0=t1=t2=t3t4=t5=t6=t7, (特别地，可以取 0000 1=1=1=1) 则，t3,t4 上为以P0,P1,P2,P3 为顶点的Bezier曲线，即3 P(t)=PiBi(i=03|(PiPi1) |(Pi+1Pi)tt3),t4t3t3t0，其余i0；Ni,k(u)是由节点矢量Tt0, t1, , ti, , ti,

19、, tn+k决定的k 阶B样条基函数，节点个数m=n+k+1，n为控制项的点数，k为B样条基函数的阶数。对于非周期NURBS曲线，常取两端节点的重复度为k，即有：T=,L,tk+1,L,tn,L,，在大多数实际应用中，=0, =1。 kk1tiuti+1Ni,1(u)=0otherwise, (uti)Ni,k1(u)(ti+1u)Ni+1,k1(u)Ni,k(u)=+ti+k1titi+kti+1CN(u)在tiuti+区间上是一个k-1次有理多项式，C N(u)在整条曲线上具有k-2次连续性，对于三次B样条基函数，具有C2连续性。当n=k-1时，k阶NURBS曲线变成n次有理Bezier曲线。(2) 有理基函数表示CN(u)=PiRi,k(u),i=0nRi,k(u)=iNi,k(u)j=0n jNj,k(u)Ri,k(u)，i=0,1,n称为k阶有理基函数，具有k阶B样条基函数类似的性质。1) 局部性：Ri,k(u)=0，uti, ti+k+1；2) 权性：Ri,k(u)=1；i=0n3) 可导性：在节点处具有(k-1-r)次连续可导，r是在该节点的重复度。4) 若i=0，则R