最新直线和圆的方程典型例题详细解析

1、直线与圆一、选择题：1.若直线3x+y + " = 0过圆/ +)，2+21-4)，= 0的圆心,则2的值为(A) -1(B) 1(C)3(D) -3【答案】8【命题意图】本题考查直线与圆的位直关系，属容易题.【解析】扇的方程/ +/ + 2x-4 = 0可变形为(刀MA +2y = 5,所以国心为(1.2),代入直线 3x +y +a = 0 得4 = 12 .设两圆G、C?都和两坐标轴相切，且都过点(4, 1),则两圆心的距离6g|二(A)4(B) 4x/2 (08(D) 872【答案】C【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：(x-m)2+(y-m)2=m2,将(4,1)带入方程整

2、理 得："一 10? + 17 = 0, |C|G|=以(10)2-4x17=8.二、填空题：3 .若直线与直线x 2y + 5 = 0与直线2x + m3，-6 = 0互相垂直，则实数厂【答案】11712【解析】：1=一& =-.直线互相垂直,.,.左网=-1,即一(一二)=一1,.二? = 1 2m2m4 .已知圆。“2 + »，2=12,直线/:4工 + 3)，= 25.(1)圆C的圆心到直线/的距离为.(2)圆C上任意一点4到直线/的距离小于2的概率为.答案：5,-25解析：（二）由点到直线的距离公式可得X = . "= 5习（2）由（工）可知同心

3、到直线的距离为5,要庾图上点到直线的距离小于2,即y4n+3y = 15与圆相交所得劣弧上，由半径为2g,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为二，3£ 故所求概率为p=a=L.27r 68.（2011年高考湖北Id）过点（一,一2：1的直线1被回工+-2工-4+1 = 0截得的弦长为虚厕直线1的斜率为答案：3或4解析：依题意直线，斜率存在，流为k,则，方程为+ 2 =网1+ 1）,园方程化简为（1丫十。-厅=1,由弦长为虚及几何图形，可知圆心（L 1）到直 线：的距离d=卜净=与，根据点到直线距离公式可计算得 上=i 或 12.76.已知圆C经过A（5, 1）, B（l, 3）两

4、点，圆心在x轴上.则C的方程为.答案：（x-2）2 + y2 = 103-11解析：直线AB的斜率是kAB= = -，中点坐标是（3,2）.故直线AB的中垂线方程 1-52y-2 = 2（x-3）,由卜 -2 = 2°-3），得圆心坐标 c（2,0） , r=|AC|= >/5二了 =加,故 y =0,圆的方程为（x -2+ ），2 =10。10.过原点的直线与圆炉+产2x-4），+ 4 = 0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为【答案】2x-y = 012.（本小题满分13分）设直线4：y = Bx+L /2:y=k2x-b其中实数1匕满足（b+2 = 0,（I）证明4与，2

5、相交；（II）证明4与，2的交点在椭圆2x2+y2=l上.【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判 断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。【解析】：（1）（反证法）假设4与。不相交，则4与。必平行，二k,代入kM+2 = 0 得 I /k； + 2 = 0,与1是实数相矛盾。从而k产k2,即乙与4相交。（2）（方法一）由y = k,x + 1得交点P的坐标（x,y）为 y = k2x-l2x =y = j ,匕一心2/十 2=2（ 2）2+（勺+K -=8 + （1+1）-=8 + k； +k"2kh =

6、+£+4 =1 k2 k2 -k（A2匕）2A；+Z；-2k#2A；+&；+4所以/i与4的交点p的（x,y）在椭圆2x?+y2=l上（方法二）4与4的交点P的（x,y）满足:y = kjX + 1y = k2x-lx ,代入kIk、+2 = O得 + 2 = 0.整理得1 y+1x xk7 =- x2x2+y2=l所以4与。的交点P的（x.y在椭圆2x、y2=l上【解题指导】：两直线/|：y = %x+4, /2：y=k?x+4的位置关系判定方法: 1） /1/2 =占=k2,且产 b2（2） %与4相交。女尸七（3）（与.重合=占=k2,且4 =%证明两数不等可采用反证法

7、的思路,点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨 迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。13 .（本小题满分12分）如图，直线1： y=x+b与抛物线C： x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.y = x + b .【解析】（I）由得/_4工一助=0（*）r=4y因为直线/与抛物线C相切，所以 = （-4）2-4x（-4与=0,解得 b = -1.（II）由 可知 =-1,故方程（*）即为4x + 4 = 0,解得x = 2,将其代入/=4），得y=l,故点 A（2,l）.

8、因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆心A到抛物线C的准线y=-l的距离等于圆A的半径即=11（1）1=2,所以圆A的方程为（X 2> +（y_l）2 = 4.【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想、数形结合思想.14 .（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线y = / -6x+1与坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程：（2）如果圆C与直线xy + a=0交于A,B两点，且。求。的值。分析：用待定系数求圆的方程：由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。解：（I ）曲线），=/-6犬+ 1,与，轴交点为（0）,与工轴交点为（3 + 2720）,（3-271。）因而圆心坐标为C（3,0则有3? + （一 1尸=（2拒4+C .-./ = 1半径为J32+" -1）2 =3,所以圆方程是（X 3）2+（y 1）2=9x-y+a=0（1【）设点4巧,）,8（占，乃）满足,）厂=9解得：2厂 + (2。- 8)x +。 2。+1 = 0 .A = 56-0-41 >0_ (8- 2a) ± 156 -16-% =4/a_ - 2a +1/. Xl +X2 =4-。,须工2 =. OA ±