天大《高等数学(专)-1》学习笔记七

1、 高等数学（专）-1学习笔记七 数。 由 y = (t ， t = 1 ( x y = 1 ( x 据复合函数微分法，有 dy dy dt = dx dt dx 再由反函数微分法，有 dt = 1 = 1 dx dx (t dt dy dy 1 (t = = , ( (t 0 dx dt dx (t dt 如果 x = (t ， y = (t 具有二阶导数，那么 (t dt d (t 1 d 2 y d dy = ( = d ( = ( 2 dx dx dt (t dx dt (t dx dx dt (t (t (t (t 1 (t (t 2 (t (t (t (t = (t 3 = 例 1求

2、摆线 d y x = a(t sin t , 在 t = 时的切线方程及 2 dx 2 y = a (1 cos t , 2 解： t = 对应摆线上的点 M ( a ( 1, a 2 2 dy a(1 cos t = = sin t dx a(t sin t 1 cos t 2sin t cos t 2 2 2 = cot t = 2 2sin 2 t 2 过点 M 的切线斜率 k = dy dx t = 2 = cot = 1 4 过点 M 的切线方程： y a = 1 x a ( 1 x y + a (2 = 0 2 2 d 2 y d dy 1 = ( = d (cot t 1 = 1

3、 csc 2 t dx dx dx dt 2 2 a(1 cos t 2 dx dt 1 = 1 1 = 1 1 = 1 csc 4 t 4a 2 4a sin 4 t 2 sin 2 t 2a sin 2 t 2 2 2 （ t 2n , n 为整数） 高等数学（专）-1学习笔记七 三 、极坐标系下曲线的切线斜率 在极坐标系下，设曲线的方程为 = ( ，现在要求曲线上一点 M ( , 斜率 k=? * 处的切线的 设 = ( 是可导函数，利用极坐标与直角坐标的关系： x = cos ， y = sin ， 可以得到由线的参量议程： 其中参量 为极角。 设曲线上一点 M ( , 的切线与极轴的

4、夹角为 ，由参量函数微分法，有 x = cos = ( cos , u = sin = ( sin . dy ( sin ' ' ( sin + ( cos ' ( tan + ( = = = dx ( cos ' ' ( cos ( sin ' ( ( tan k = tan = dy ' ( tan + ( = dx ' ( ( tan 再根据在直角坐标系下，导数的几何意义，可知曲线的切线斜率为 例 2、求心形线 = a(1 cos 在 = 线在直角坐标系下的方程。 解：点 M 的极坐标为 a1 4 的点 M a1 2 , 处

5、的切线斜率及切 2 4 2 , 4 2 a a 点 M 的直角坐标为 2 1, 2 1 曲线的参量方程为 2 2 x = cos = a(1 cos cos y = sin = a(1 cos sin dy a(sin cos sin ' cos + sin 2 cos 2 = = dx sin + 2 cos sSin a cos cos 2 ' cos cos 2 = sin 2 sin ( ( 心形线在点 M 处切线斜率为 k = dy dx = 4 = cos cos 2 sin 2 sin = 4 = 1 2 1 ，心形线在点 M 的切线在直角坐标下的方程为 a 1

6、a y 2 1 = 2 1 x 2 2 2 1 1 或 x + 1 2 y + 4 3 2 a = 0 2 ( ( ( ( 四、相关变化率 设 x = x(t ， y = y (t 都是可导函数，而变量 x ， y 之间又存在某种关系，从而导数（即 变化率） dx dy 与 之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。 dt dt 讨论相关变化率问题，就是寻求两个变化率之间的关系，以便从其中一个已知变化率去 求出另一个未知的变化率。 例 3 、设有深为 8m ，上顶直径为 8m 的正圆锥形容器，现往容器中注水，其速率为 4m 3 min ，问当水深为 5m 时，水表面上升的速率为多少？ 解：设注水 t 分钟后，水表面上升高度为 xm ， 高等数学（专）-1学习笔记七 AB = 8m, OE = 8m OF = xm Q OCD OAB, 即 CD OF = AB OE CD x = CD = x 8 8 1 CD OF 3 2 2 注水 t 分钟后，注入水的体积为 V = 1 2 1 x x = x 3 ， 其 中 V ， x 都 是 t 的 函 数 ，