随机过程 第3章

1、编辑ppt 主讲教师：蔡吉花主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院黑龙江科技学院编辑ppt第第3章章 泊松（泊松（Poisson)过程过程1计数过程则且满足：（4）对任意两个时刻210tt ，3.1 Poisson过程定义和例子过程定义和例子编辑ppt注：注：1. 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独 立的，则称计数过程为独立增量过程。立的，则称计数过程为独立增量过程。2泊松过程定义泊松过程定义1满足2. 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程是平稳增量过程。于时间区间的长

2、度，则称计数过程是平稳增量过程。设 随 机 过 程 )(tX，0t是 一 个 计 数 过 程 ，（1）0)0(X（2）)(tX是独立增量过程（3）对任一长度为 t 的区间中事件的个数服从均值为t（0）的泊松分布，即对一切0, ts，有)()(ksXstXPtkekt!)(, 2 , 1 , 0k则称则称编辑ppt说明说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：为此给出一个与泊松过程等价的定义为此给出一个与泊松过程等价的定义条件（1）只是说明事件的计数是从时刻0t开始条件（2）通常可从对过程的了解的情况去直接验证然而全然不清楚如何去确定条件（3）是否满足注意：注意：从条件（3）可知泊

3、松过程有平稳增量，且ttXE)(并称为此过程的速率或强度速率或强度（单位时间内发生的事件的平均个数）（单位时间内发生的事件的平均个数）编辑ppt则称则称其中)(h表示当0h时对h 的高阶无穷小，参 数 为（0） ，满足3、泊松过程等价的定义泊松过程等价的定义2以下证明泊松过程以下证明泊松过程2种定义等价：由种定义等价：由(3)(4)成立成立( )( )np tp X tntkekt!)(编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt例例1顾客到达某商店服从参数4人/小时的泊松过程，已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。解解(0.5)1,(2.

4、5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN(0.5)1)(2)4)P NP N5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155. 0设 表示在时间t时到达的顾客数( )N t编辑ppt2.2 泊松（泊松（Poisson)过程的基本性质过程的基本性质 一、泊松（一、泊松（Poisson)过程数字特征过程数字特征 设 是泊松过程，由定义，当故( ),0X t t st( )( )( )( )()E X tX sD X tX sts22( )( )( )(0)( )( )( )(0)( , )( )( )( )( )( )( ) = ( )(0) ( )(

5、)( ) = ( )(0) E( )( )() XXXmtE X tE X tXtDtD X tD X tXtRs tE X s X tE X s X tX sX sE X sXX tX sE X sE X sXX tX sss2 =()()(1)( , )( , )( )( )XXXXstsssstBs tRs tmt mss 编辑ppt若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 分布函数为分布函数为 则称则称X具有参数为具有参数为 的指数分布。的指数分布。 0,00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0（ 211,E XD X数字特征数字特征1、

6、指数分布、指数分布二、二、到达时间间隔与等待时间的分布编辑ppt2、到达时间间隔的分布定义则称iW（, 2 , 1i）表示事件第 i 次发生的等待时间nW，1n为等待时间序列到第n次发生之间的时间间隔则称1WnniiT显 然 ：编辑ppt定理定理1证证或则到达时间间隔序列，21TT是相互独立的随机变量序列，且都有相同的均值为/1的指数分布。事件tT 1的发生当且仅当没有泊松事件在0t，内发生故当0t时，有1( )0P TtP N ttteet!0)(01tTPte1故1T的分布函数为(t)设N，t0是参数为 的泊松过程编辑ppt那么类似地有0,00,1)(1ttetFtT即1T是服从均值为/1

7、的指数分布。又因2T为事件第一次发生到第二次发生之间的时间间隔，|112sTtTP|,(1111sTtssP内没有事件发生在,(11内没有事件发生在tssP（增量的独立性）11()( )0P N stN s( )(0)0P N tN（独立增量过程）( )0tP N te编辑ppt可见可见一般地2T也服从均值为/1的指数分布且2T与1T独立同分布。对1n和0121nssst，,|112211nnnsTsTsTtTP内没有事件发生在,(1111tssssPnn,|112211nnsTsTsT内没有事件发生在,(1111tssssPnn1111()()0nnNP N sstss( )(0)0P N

8、tN( )0tP N te编辑ppt这就证明了到达时间间隔序列这就证明了到达时间间隔序列 是相互独是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。的指数分布。例例3nT（1n）/1甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。解解反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布下面证明两路车混合到达过程 服从强度为( )N t21的泊松分布编辑ppt事实上2)因此由定理1知公共汽车的到达时间间隔

9、服从均值为6分钟的指数分布。 再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。编辑ppt定理定理3.3其概率密度为证证)(tf)!1()(1ntent，0t因为所以nW的分布函数为)(tWPtFn( )P N tntnkkekt!)(0t3、等待时间的分布等待时间的分布编辑ppt于是nW的概率密度为)()(tFtftnkkekt)!1()(1tnkkekt)!()(tnent)!1()(1tnkkekt11)!1()(tnkkekt)!()()!1()(1ntent它是它是n个相互独立的服从指数分布个相互独立的服从指数分布的随机变量之和的概率密度的随机变量之和的概率密度

10、编辑ppt例：P351212(1)1(2)12(1)(2)1( )( )W( )W( )WW ).kkX tX tX tX t和是两个相互独立的强度为 和 的泊松过程，记表示的第k次事件到达的时间；表示的第1次事件到达的时间；求P编辑ppt编辑ppt定理定理3.4概率密度为注注 在在N(t)=n下下 独立且同时服从独立且同时服从(0,t上上的均匀分布。的均匀分布。1 E22niitntW Nn即（t)=n0t 其它,00,!),(2121tttttntttfnnn12,.,nW WW编辑ppt编辑ppt其它,00,!),(2121txxxtnxxxfnnn编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑pp

11、t编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt1!1( )1,0()!(1)!Kkn kWnxxfx N tnxtnkkttt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt例例8 设设 为具有强度函数为具有强度函数 的非时齐的非时齐Poission过程，求过程，求 例例9 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时；5时到8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时； 8时到18时保持平均到达率不变； 18时到21时从达率1400人/时按线性下降， 21时到达率为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时

12、到14时有2000人来站乘客的概率，并求这两个小时内来站乘客人数的数学期望。 P380, )(ttN1( )(1 cos)2tt( ),( )E X tD X t 。编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt设某飞机场到达的客机数服从的泊松过程，平均每小时到达的客机数为5架，客机共有A,B,C三种机型，它们承载的客机数分别为180人，145人，80人，且这三种飞机出现的概率相等，求在3小时内到达机场的乘客数的数学期望与方差。例例10解解( )122( )( ),1()(18014580)1353(3)5*3*1352025(t)D(Y)+( )()?nN tnnnnYnX tX tYE YE XD XtE YtEYD Y设表示第 架飞机的乘客数，表示,(0,t)小时内到达机场的乘客数，则编辑ppt设移民到某地区定居的户数服从泊松过程，平均每周有2户定居，如果每户的人口数是随机变量，每户的人口数共有A,B,C,D四种情形，一