小学奥数经典专题点拨：几何图形计数

1、几何图形的计数【点与线的计数】例 1如图 5. 45,每相邻的三个圆点组成一个小三角形,问:图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多? (全国第二届“华杯赛”决赛试题讲析:可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。 第一排三角形有 1个,其下行线有 2点;第二排三角形有 3个,其下行线有 3点;第三排三角形有 5个,其下行线有 4点;以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例 2 直线 m 上有 4个点,直线 n 上有 5个点。以这些点为顶点可以 组成多少个三角形?(如图 5. 46 (哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题讲析:本题只要数出各直

2、线上有多少条线段,问题就好解决了。直线 n 上有 5个点,这 5点共可以组成 4+3+2+1=10(条线段。 以这些线段分别为底边,m 上的点为顶点,共可以组成 4×10=40(个三 角形。同理,m 上 4个点可以组成 6条线段。以它们为底边,以 n 上的点为 顶点可以组成 6×5=30(个三角形。所以,一共可以组成 70个三角形。【长方形与三角形的计数】例 1图 5. 47中的正方形被分成 9个相同的小正方形, 它们一共有 16个顶点, 以其中不在一条直线上的 3点为顶点, 可以构成三角形。 在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? (全国第三届“华杯赛”复

3、赛试题 为 3的三角形,或者高为 2,底为 3的三角形,都符合要求。 底边长为 2,高为 3的三角形有 2×4×4=32(个;高为 2,底边长为 3的三角形有 8×2=16(个。所以,包括图中阴影部分三角形共有 48个。例 2 图 5. 48中共有_个三角形。 (现代小学数学邀请赛试题讲析:以 A B 边上的线段为底边,以 C 为顶点共有三角形 6个; 以 A B 边上的线段为底边,分别以 G 、H 、F 为顶点共有三角形 3个;以 B D 边上的线段为底边,以 C 为顶点的三角形共有 6个。 所以,一共有 15个三角形。例 3 图 5. 49中共有_个正方形。

4、(现代小学数学邀请赛试题讲析:可先来看看图 5. 50的两个图中,各含有多少个正方形。 图 5. 50(1中,正方形个数是 6×3+5×2+4×1=32(个; 图 5. 50(2中,正方形个数是 4×4+3×3+2×2+1×1=30(个 如果把图 5. 49中的图形,分成 5×6和 4×11两个长方形,则: 5×6的长方形中共有正方形5×6+4×5+3×4+2×3+1×2=70(个;4×11的长方形中共有正方形4×11+3&#

5、215;10+2×9+1×8=100(个。两个长方形相交部分 4×5的长方形中含有正方形4×5+3×4+2×3+1×2=40(个。所以,原图中共有正方形 70+100-40=130(个。例 4 平面上有 16个点,排成一个正方形。每行、每列上相邻两点的 距离都相等如图 5. 51(1,每个点上钉上钉子。以这些点为顶点,用 线将它们围起来,一共可围成_个正方形。(小学生科普报奥林匹克通讯赛试题 讲析:能围成图 5. 51(2的正方形共 14(个;能围成图 5. 51(3的正方形共 2(个;能围成图 5. 51(4的正方形共 4

6、(个。所以,一共可围成正方形 20个。 【立体图形的计数】例 1 用 125块体积相等的黑、白两种正方体,黑白相间地拼成一个 大正方体 (如图 5. 52 。 那么, 露在表面上的黑色正方体的个数是_。 (1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题讲析:本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体,共 8个;每条棱的中间有一个黑色正方体,共 12个;除上面两种情况之外, 每个面有 5个黑色正方体, 共 5×6=30(个 。 所以,总共有 50个黑色正方体露在表面上。例 2把 1个棱长为 3厘米的正方体分割成若干个小正方体,这些小 正方体的棱长必须是整数。 如果这些小正方体的体积不要求都相等, 那么, 最少可以分割成_个小正方体。(北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题讲析:若分成|×××|的小正方体,则共可分成 27个。但是分割时,要求正方体尽可能地少,也就是说能分成大正方体的, 尽