第一讲 随机事件及其概率

1、 第一讲 随机事件及其概率一、 基本概念：1、 随机试验：三要素可重复；知所有可能结果；试验结束前未知何结果。基本出发点：解任何概率统计问题，要与试验相关联，什么类型的试验（即什么概型）。样本空间（S，）实验的每一结果称为基本事件；实验的所有可能结果或所有基本事件称为样本空间；若干基本事件的整体称为复合事件，简称事件。与集合的对应关系：基本事件，事件，样本空间对应了元素，集合，全集。和（并），积（交），对立（余），差（相对余）。2、 事件A发生:指组成事件A的某基本事件在一次试验中发生了。如果事件A指掷均匀六面体出现偶数点，那么掷一次出现2或4或6都认为事件A发生了。3、 对偶原理（德摩根公式

2、）：交之余等于余之并；并之余等于余之交。即 4、不可能事件的概率为0，反之不然。5、互逆事件 互不相容事件（互斥），反之不然。6、可数与可列的的概念：称集合A是可数的（又称可列的），如果集合A的元素可以按照某种规则排列成 （1.1）例如整数集是可列的，因为可以按排列成 其中 ，是不超过x的最大整数。即0排在第一位，正整数i排在第2i位上，即，负整数。注意到自然数集也可排列成(1.1)式，故自然数集与非负数集一一对应，自然数集与非负整数集有同样多的元素，这是非常深刻的结论：所有可列集的元素一样多，这也是无穷集与有限集的本质差异。由于有理数集也是可列的，因此有理数集与自然数集的元素一样多。7、概率

3、的公理化定义：由非负性、规范性、可数可加性定义。8、概率的基本运算性质：AB则P(A)()且P(BA)=P(B)P(A)；加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)；减法公式：P(AB)=P(A) P(AB) 逆事件公式：P()=1P(A)。9、条件概率：P(A)，P(B)=。乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B).10、独立性：事件A发生与否不影响事件B发生的概率，则事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B) P(B)=P(B),当P(A)>0 (指条件概率等于无条件概率) 。A，B，C相互独立，则与B，A与，与都相互独立，A与B、C的任何运算都独立，如A与B、

4、BC等独立。P(A)，P(B)0，则互不相容与相互独立不能同时成立。相互独立俩俩独立，反之不然。二、概型与基本公式：1、 加法公式、乘法公式、德摩根公式、逆事件公式。2、 全概率公式：，设清楚事件及窨的分划3、 贝叶斯公式：4、 古典概型（包括几何概型）：实验结果等可能发生。通常表述成P(A)=（A的有利事件数）÷(的基本事件总数) 也可表述成： P(A)=# ( A ) ÷ # ()其中#（A）表示集合A的元素个数（古典概型中）或集合A的测度（几何概型中）。5、 n重贝努里概型：n次实验相互独立，每次可能结果只有两个，事件A发生或不发生，P(A)=p，则P(事件A发生k次

5、)=n（即二项分布）。三、典型例题：1、 关于事件运算例1.1 (97.4) 设A、B是任意两随机事件，则解： = （这里用到AB是B的子集及吸收律）例1.2 a.(89.1)已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B)=0.8，求P(AB)b. P()=0.4，P(B)=0.5，P(A)=0.8，求P(A解：a. 利用加法公式、乘法公式计算事件概率P(AB)=P(B)×P(A)=0.4，P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7b. P(A 例1.3（87.4） 若P(AB)=0则（ ）成立。A、A,B互斥； B、A=； C、A,B未必不可能； D、P(A)=0或P(B)=0解

6、：根据概念与性质，概率为零的事件不一定是不可能事件，故选C。例1.4 (89.4,5) A=“甲产品畅销，乙产品滞销”，求A的逆事件。解：本例是用事件描述一事物，设B1，B2分别为甲乙两产品畅销，由题设A= ，再由对偶原理 因此A的对立事件是“甲产品滞销或乙产品畅销”。例1.5从某系学生中任选一名学生，A=所选者会英语；B=所选者会日语)，=选者是男。试描述事件AC和A=B。 解：AC表示所选者是会英语的男生；A=B 则表示会英语则必会日语，会日语则必会英语。请注意这两者的差异。 例1.6(003,4) 4个温控器只要两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉将断电，假定，是4个温控器从小到大显

7、示的温度, E=“电炉断电”，则E= 2、 摸球与球盒问题例1.7 (93.1) 一批产品中共有10件正品，2件次品，任意抽取两次，每次一个，抽出后不再放回，求第二次抽出次品的概率。解法一：两次抽取，视为一整体考虑，#（）=12×11A= 第一次次品,第二次次品)，（第一次正品，第二次次品 ，故 #(A)=， P(A)=解法二：分别考虑两次抽取，按全概率公式计算：所讨论的问题是求第二次抽取到次品的概率，而对第一次的情况不关心，但第一次的结果影响第二次抽取的结果。于是可设，分别表示第一次、第二次取到次品的事件，P()=注：a、第一次取到次品的概率，而两次都取到次品的概率： ，即故不独立

8、，这表明：放回抽样概率相等且独立，不放回抽样概率相等不独立。但打对主（升级）时“抢3”，先抓合适。 b、（97.1）箱中盛有20个黄球30个白球，依次取出不放回，则第二次取到黄球的概率为。 C、问题扩充：箱中盛有个白球，个黑球，将球一只只（不放回）取出，问第k 次摸出的球为白球的概率。 这时不能按上述方法考虑，可采取“定位”方法处理，先确定特殊的、感兴趣的。 解法一：先考虑球不可辨别的情形。 在个位置上确定个位置放白球，余下的个位置无选择，只能放黑球，故共有种可能，即#。 有利事件A可这样考虑，先在第k个位置放白球，余下的个位置确定个位置放白球，余下的位置上放黑球，共有种可能，即 # (A )

9、=。 解法二：再考虑球可辨别的情形，将白球黑球编号成，这时#！，有利事件A可这样考虑，在第k位置放白球，有种可能，余下的个位置放个球，故#（A）=×()!， 解法三：球不可辨，考虑只取k个球，(因为后面摸到的球与问题无关)， =（）()，。 这三种方法都得到 。 例1.8 将n个球随机地放到r个盒中，(n>r)，求没有空盒的概率。 解：将盒子并放在一起，用 “1”，“1”表示盒子的壁，“0”表示球，r个盒子共r1个壁，球不能放在盒外，将“壁”球混放在一起，一头一尾放壁，#()相当于r1n个两种元素的摆放方法，共有种排法，有利事件是两侧先放壁，n个球放在两壁中，即形如1 0 0

10、, n 个球有n1个空，在n1个空中插入r1个壁，就构成了没有空盒的事件，故 。 3、按基本公式计算事件概率。例1.9 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： a、只读甲报所占比例 b、至少读一种报纸所占比例 解：设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A、B、C 由已知条件，P(A)=0.25 P(B)=0.2 P(C)=0.16 P(AB)=0.1 P(AC)=0.05 P(BC)=0.04 P(ABC)=0.02a) =0.250.100.050.02=0.12b） =P(A)P(B)P(C)

11、P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) =0.250.200.16(0.10.050.04)0.02=0.44例1.10 (88.4.5) 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1,0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，顾客随机查看4只，若无残次品，则买下，否则退回，试求：a、顾客买下该箱的概率；b、顾客买下的一箱中，确实无残次品概率。解：箱中有i件次品 , = 0,1,2 , 客买下该=P(A)=10.8+0.80.1+12/190.1=0.94=P()=P()/P(A)=10.8/0.94=0.85 、按步计算 例1.11 一副扑克去掉大小王(

12、共52张)，从中任取张，求取到full house (事件)的概率a和双对（事件）的概率。解：按牌点分类，共1种牌点，事件只有两种牌点，从1种牌点中取两种牌点，共有种取法如Q , 5；从两种牌点中指定一种为三张的如Q，有种取法，再从四种花色中分别取三张Q，两张5共有种取法，故()=而()=， 同理，双对的概率：注：鞋子配对也是这类问题，如从5双鞋中，任取4只，恰有一双配对的概率为。 、逆事件法与排除法例1.12 某市有辆汽车，编号，有人将他遇到过的n辆汽车（可以重复）的牌号全部记录下来，假设每辆车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰是k（事件A）的概率。解：（用排除法）号码允许重复，故()=。

13、表示n辆车的号码均不超过j，于是 .例1.13 袋中装有只黑球只白球，每次从袋中随机摸出一球，然后换入一只黑球，这样继续下去，求第k次取到黑球的概率。解：直接计算很困难，因为前k1次的情况太复杂（有可能第j（j k）次取到白球，而换回黑球，有可能均没摸到过白球）。而其逆事件是第k次取到白球，这意味着前k1次摸到的一定都是黑球（否则，将换走白球，不存在白球）。设次摸到黑，()=。例1.14 一部电梯有位乘客，电梯从底楼出发到10楼，各层下楼的可能性相同，求电梯在第i层停的概率。 解：直接求很复杂，在一楼停，有可能一名乘客下，也可能多名乘客下，在i楼停，又受在i楼下的乘客多少影响。 记Ai为电梯在

14、第i层停的事件，每位乘客不在i层下的概率是，都不下的概率为 。、图解法（几何概型，均匀分布随机变量X A的概率，会面问题）例1.15 在线段AB有一点C介于A，B之间，AC=CB=b在线段AC上随机取一点X，在线段CB上随机取一点Y，求长度为AX，XY，YB的线段可构成一个三角形的概率。 A C B 解：如图。X在AC之间变动，Y在CB之间，记AX的长度为x，YB的长度为y，则XY的长度为a+b-x-y，构成三角形的条件：两边之和大于第三边， b 0.5 (a+b) , b故 x+y>a+b-x-y x+y>(a+b)/2s+a+b-x-y>y y<(a+b)/2 y+

15、a+b-x-y>x x<(a+b)/2根据这些条件，画出草图，可以知道 第二讲 一维随机变量及其分布一、 随机变量 随机变量（简记r.v）X是定义在上的实值可测函数。例2.1：如果定义那么 可以定义：引进r.v，是将抽象的事物数量化，以便抓住事物的本质。r.v与函数的区别，关于r.v更关心r.v取值的概率。r.v与随机事件的关系。如例2.1中的分布函数：定义实值函数，F (x) 就称为r.v X的分布函数，对于任意实数a < b, 有 对于任何（类型）r.v分布函数总是存在的，且二、离散型随机变量如果r.v X的所有可能的取值是有限的或可列的。其分布列：刻画了离散型随机变量的

16、规律。离散型r.v数学期望EX=如果其绝对收敛。当只取有限值时，EX总是存在的。是随机变量，g是（连续）函数，则Y g ()也是随机变量。 。特别地，称为的方差。对于离散型随机变量，在x = k处有跳跃（间断），跃度为 例2.2 对一目标进行射击，直到击中为止，每次射击的命中率为p，且结果相互独立，求：a、射击次数X的概率分布, b、X的分布函数解：设随机变量X为击中目标时射击的次数，可以知道X所有可能的取值为表示前k次没有命中目标，恰在第k次击中目标，由每次射击的结果相互独立，知 （q =1p）故其分布列为 具有此种特征的r.v称为服从几何分布。当x<1时，而当kx<k+1时，=

17、于是几何分布的分布函数可写成 F (x) 为求离散型r.v的方差，先求EX (X1)的手法，也适用于二项分布、泊松分布。、三种重要的离散型分布(0-1)分布：r.v 只取0或者1两个值，记作。 二项分布：在n次独立重复试验中事件发生的次数，记作且。X可表成n个独立同分布的（0-1）分布之和。即泊松分布：例2.3 设随机变量的分布列如下： 求a、的概率分布 b、的概率分布及E解a、的分布易求，即. b、的所有可能取值为，例如 故 ，而E有两种算法，即 或 3、二项分布 例2.4 从学校乘汽车到火车站，途中有个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，设为途中遇到的红灯

18、的次数，求的分布列，分布函数和“平均停的次数”解：首先确定的分布，易知(3，0.4) 故平均停的次数：EX ×0.41.2。（分布函数略）二项分布的泊松近似：(n，p)时，当n较大p较小时，通常有近似结果： 其中例2.5 (905) EX=2.4，DX=1.44，求n , p解：np=2.4，np(1-p)=1.44，1p=0.6，p=0.4，n=6例2.6 现有同类型设备300台，各台工作独立，发生故障的概率都是0.01，一台设备的故障可由一个处理至少配备多少维修工人使发生故障不能及时维修的概率0.01若一人承包维修20台，不能及时维修的概率多大？若三人承包80台呢？解：设随机变量

19、为同时发生故障的机器台数，(相当300次独立试验)，故(300，0.01)，若配备m个维修工，不能及时维修意味着X > m应满足0.01>查表得m=8，即配备8个维修工可满足要求。(2) 同时，设Y为20台设备同时发生故障的台数，(20,0.01)，不能及时维修意味着，故(3) 设Z为80台设备同时发生故障的台数，(80，0.01)，不能及时维修意味着，由泊松近似例2.7 若。解： 例2.8（试验次数）设在独立重复试验中，每次试验中成功的概率为0.5，问需要多少次试验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9解：设需要进行n 次独立重复试验，由在n次试验中成功次数(n，0.5)，至少成

20、功一次的概率为：, 由条件故至少需要试验4次，才能使至少成功一次的概率不小于0.9问题 某电器需要甲元件，甲元件失效的概率为0.1，问并联多少只甲元件使电器发生故障的概率小于0.01。4、泊松分布例2.9 设取值时概率最大？解：一般是比较取相邻两值的概率于是。当为正整数时，X取，当不为整数时X取概率最大。例2.10 设X且E(X-1)(X-2)=1，求。解： 5、r.v分解问题例2.11 一部电梯有8位乘客，电梯从底楼出发到10楼，每位乘客在1楼，2楼，楼下是等可能的，求电梯平均停的次数。解：设r.v X为电梯停的次数。X的可能取值为1，2，。直接求非常困难，如果设表示电梯在第i层楼停的次数，

21、取值0，1，也难求，涉及几个人在第i层下，先求逆事件，8位乘客都不在i层楼停 ，又 例2.12设袋中装有n个白球，m个黑球，从中任取l个球（不放回），用X表示取到的白球数，求X的分布及EX。解：X的分布称为超几何分布，设,若第i次取到白球，,若第i次取到黑球，则 这里都用到了期望运算是（无条件）线性运算。注：n个球放到m个盒子中，每球放入各盒等可能，求有球的盒子数的平均值，有球相当于电梯停，这时n=8, m=10。匹配数的平均值问题也与此类似，例如某人写了n封信及n个相应地址，后将信随机放在信封中，用X表示信与地址匹配的数目，求EX (=1)。6、r.v函数期望的应用例2.13 (964) 一

22、部机器在一天内发生故障的概率为0.2，发生故障，该天停止工作，若一周到5个工作日无故障，可获利润率0万元，发生一次故障仍可获利润5万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上，要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：根据所求，设r.v Y是一周内获的利润，Y的取值为-2，0，5，10，又Y的不同取值与发生的故障次数有关，周故障次数事先不能确定也是随机变量，设其为X，Xb(5,0.2)，而例如故EY= =(万元)例2.14 (954)某厂生产的仪器以70%的概率可直接出厂，以30%的概率需进一步调试，调试后以80%的概率可出厂，以20%的概率定为不合格品，现该厂生产台仪器（生产过程相互独立）

23、，求：(1)全部能出厂的概率； (2)恰有两件不能出厂的概率；(3)至少两件不能出厂的概率。解：根据所问与能出厂的件数有关，如果设X为n台仪器中能出厂的件数，则Xb(n,p)，而p未知，问题归结为确定p一件产品最终能出厂的概率（一次试验中事件发生的概率）。而一件产品能出厂分两种情况，或是直接出厂，或是需调试。设B=，由全概率公式 （1）（2）（3）注：这是复合问题，最终计算二项分布某些事件的概率，但二项分布中的p未知，利用已知条件先确定p。三、连续型随机变量任何随机变量都有分布函数，设r.v X 具有分布函数F(x)，若存在非负函数f (t )，对任意实数x，均有 就称X为连续型r.v，其中

24、f (x) 称为X的概率密度。性质：在x连续，则 特别例2.15 设r.v X的密度函数为 ,求（1）系数A；（2）。解：（1） （2）补充定义：，例2.16 某r.v X密度函数为，求系数A解：由密度函数性质有： 下面介绍连续型r.v X的期望及其函数的期望设r.v X的密度函数为f (x)，若绝对可积，则称其为r.v X的数学期望（均值）。r.v X的函数g (X ) 的数学期望（也要求绝对可积），特别的，如果存在，则E(XEX)2 称为X的方差，记作DX性质：DX=EX2(EX)2，DC=0, D(a X+b)=a 2 DX例2.17 已知X服从分布，有密度函数 求EX，DX解：EX=

25、故DX=EX2(EX)2= 注：任何r.v的密度函数经过分解，总可表示成，其中是r.v的主体部分，是规则化常数。本例采用的手法，就是根据r.v的主体部分配规则化常数，即配密度，然后利用密度函数的积分等于1的性质。四、常见的连续型r.v1、均匀分布：X服从（a,b）上的均匀分布，记作XU (a,b)，其密度函数、分布函数分别为f (x)= (b-a)-1（即区间长度的倒数）和F(x)=(x-a)/(b-a)，当x(a,b)时，且 EX=(a+b)/2，DX=(b-a)2/12例2.18：设(0,6)，求方程有实根的概率p。解：方程有实根的条件是故 例2.19 (97.3)游客乘电梯从底层到电视塔

26、顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在(0,60)上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知XU (0,60)，于是X的密度函数f (x)=1/60，当(0,60)设Y是游客等候电梯的时间（分钟），则 按定义，EY=Eg(X)= =(12.5+200+450+37.5)/60=11.67平均等候11.67分钟。例2.20 (98.4)某种产品周需求量XU (10,30)，而商店周进货量a是区间(10,30)上的某一整数，商店每销售1单位商品，获利润500无，若供大于求，则削价处理，这时亏损100元，若供不应求，

27、可从外部调剂供应，此时每单位获利300元，为使商店获利期望值不少于9280元，试确定最少进货量a。分析：1、弄清利润、需求量、进货量之间的关系；2、需求量X是随机变量，进货量a是由商店确定，是非随机的未知待定参数，利润是需求量X的函数，也是r.v，但含有待定的a，其期望是a的函数，然后根据条件求极值。解：设进货量为，随机变量为所获利润 故期望利润为： 依题意： -7.5 a 2 +350 a + 52509280由求根公式：20.667a26故期望利润不少于9280元的最少进货量为21单位，但不超过26个单位。注：据条件写出随机变量的函数，注意分段函数应分段计算；这两例的随机变量是连续型的，区

28、分它与例2.13的差异。2、正态分布正态分布，记作是最重要的分布，许多问题以正态分布为前提。背景：观测误差（非系统误差）若干独立微小因素之综合，许多r.v的极限分布是正态分布，应该掌握其密度函数及其图形。当时，为标准正态分布，对于一般正态分布，也可标准化：即对于任意r.v X，若EX=，DX=，Y=(X)/，则EY=0，DY=1，如果则Y=(X)/，标准化处理对于正态分布尤其重要。标准正态分布函数：，由对称性， ，则应该记住这几个特殊值： 例2.21 (871)已知某r.v X的密度函数为： ，求常数c，EX，DX。解：不必通过积分计算与正态分布密度相比较，立即可得 。注：如果密度函数，h(x

29、)是二次函数，则是正态分布的主体部分，c是规则化常数。例2.22 r.v则随增大，1） 单调增大 2）单调减少 3）保持不变压器 4）增减不定解：选择3），因为与参数无关。例2.23 自动车床生产的零件长度X (毫米) 服从N (30,)，若零件的长度在301.5毫米之间为合格品，求生产的零件是合格品的概率。解： 例2.24 (91.1) 若XN (2 ,)，且，求解：0.3=例2.25 (90.4)抽样调查表明，考生的外语成绩(100分制)，近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上占总数的2.3%，试求考生外语成绩在60分至84分之间的概率 。解：设考生的外语成绩为XN ()，其中=72。由条件 0.023=，于是 。故 以下介绍正态分布的复合问题：例2.26 (915) 在电源电压不超过200伏，在200240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，假定电源电压XN (240,)1、 电子元件损坏的概率；2、 电子元件损坏时，电源电压在200240伏的概率。附表：(0.8)=解：设事件,B=元件损坏。