2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试题及答案

1、:业专考报校学考报二二二二二二二二二二二：号证考准二二二二二二7名姓- - - - - - - - - - - - - - - - - - I2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学（二）试卷题号一一二四总分得分考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上， 用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效;4、密封线左边各项要求填写清楚完整。得分一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写 出计算过程，本题共有 8个空格，每一空格 5分， 共40分）3 axsin4x e 101.若 f （x）x ，在ax 0x 0连续，则 a .x 1 t2，一2 .

2、曲线x ； t 在t 2处的切线方程 y t3为 .3 .设函数y （2x 1）sinx,则其导数为 4 .2（1 xcosx）dx =.5 .设 y cos（sinx）,贝U dy dx.阅卷人6.曲线y 而x与直线x 1, x 3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周,所得旋转体体积为7.微分方程 y 4y 5y 0的通解为18.若级数 千彳 收敛，则 的取值范围是 n 1 n二.选择题.（本题共有5个小题，每一小题4 分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一 项符合要求）得分阅卷人1.limxx .arctanx x 1(A)(B)(C) 1(D)不存在2.0 时,f (x)x sin x是

3、比 x2的(A)高阶无穷小(B)等价无穷小(C)同阶无穷小(D)低阶无穷小3.(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)无法判断4.曲线yx2与直线1所围成的图形的面积为(A)(B) 3(C) 3(D)5.广义积分x(1 x)3 dx 为(A)(B) 0(C)2(D)三.计算题:(计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题 6分，共60分)xtan tdt1 .计算极限limn-.x 0x22 .计算函数yx2jyx的导数 y .3计算由隐函数ey xln y确定的函数 y f(x)的微分dy.14 .判别正项级数jn ln(1 )的敛散性.n 1n5.计算不定

4、积分dxx (1 x)6 .求哥级数3nx2n的收敛半径与收敛区间n 0:业专考报7 .计算定积分xsin2xdx08 .计算微分方程dy 独一y?满足初始条件y(0) 1的特解.dx y(1 x2)9.计算函数 y sin(ln x)的二阶导数 y- - - - - - -二校学考报二二二二二二二二二二二：号证考准二二二二二二7.名姓10.将函数 y lnx展成（x 1）的哥级数并指出收敛区间得分阅卷人四.综合题：（本题共4个小题，共30分）n nb an(b a).n 1/_ _、b(n2,3,)1.本题7分设0 a b ,证明不等式22.本题7分设函数f(x)° f(x)dx,

5、求f (x)在区间0, 2上的最大值与最小值.x( 为实数)3 .本题8分设f (x)0,试问在什么范围时，(1)f(x)在点x 0连续;(2)f(x)在点x 0可导.x4 .本题 8分若函数 f(x) o (x t)f(t)dt ex,求 f(x).2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学(二)试卷(A)参考答案及评分标准考试说明：1 .考试时间为150分钟；2 .满分为150分3 .答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效;4 .密封线左边各项要求填写清楚完整。一、 填空题：(只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。本 题共有8小题，每小题5分，共40分。

6、)sin4x e3ax 1 x 01.若f(x)x , x 0在x 0连续，则ax 0a 1.x 1 t2 , _2 .曲线 '在t 2处的切线方程为y 3x 7.y t32sinx3 .设函数 y (2x 1)sinx,则其导数为y (2x 1ncosxln(2x 1) .2x 14 .2(1 xcosx)dx =4:5 .设 y cos(sin x),贝U dy cosxsin(sin x) dx.6 .曲线y Vin-x与直线x 1, x 3及x轴所围成的图形 绕x轴旋转一周,所得旋转体体积为(3ln 3 2).7.微分方程 y 4y 5y 0的通解为y e2x(C1 cosx

7、C2 sin x).23n 1 n18.若级数二收敛，则的取值范围是、选择题：(本题5个小题，每小题4分，共20分.每小题给出的4个选项中,只有一项符合要求.)1. lim xarctanx( B ).x x 1(A)(B)(C) 1(D)不存在2.当 x 0时，f (x) x sin x 是比 X2 的(A).(A)高阶无穷小(B)等价无穷小(C)同阶无穷小(D)低阶无穷小3.cosn0 . n 1(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)无法判4.曲线yx2与直线1所围成的图形的面积是(C).(A)(B)344(C)-3(D)x5.广义积分一 Jdx为(D ).0 (1 x)31(D)(

8、A)1(B) 0(C)12三、 计算题：(计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题共10个小题，每小题6分，共60分)2.计算极限Iim0xtan tdt0解:(5分)xtan tdt0lim 2x 0x2tan x=lim 一x 0 2x(6分)2 .计算函数 y x2L_x的导数 y .1 x解1:两边取对数，得1 ln y 21n x -ln(1两边求导数1x) 2(1 x)(1分)y_211y x 2(1 x) 2(1 x)(4分)(6分)解2:ln x2 . _x21n x 21n(1 x) 1n(1 x)由于y e *1 x e 2,所以1(4分)21n x _1n(1

9、 x) 1n(1 x)2111e 2一一 x 2 1 x 1 x(6分)3计算由隐函数ey xln y确定的函数 y f(x)的微分dy.解：方程两边关于x求导数，把 y看成x的函数.yey ln y 汇- (3 分)y解得 yyyn y(4分)ye x所以函数y f(x)的微分dyyyn y dx (6分)yey x15.判别正项级数 品1n(1 -2)的敛散性. n 1n解1： 由于in（i n-2n1-3n2(3分)已知级数n 11n2(P1）收敛(5分)由比较判别法知级数而ln(1 L)收敛.n(6分)1-3n2ni唁ln(1分）因为级数n1-3收敛n2所以原级数、.n ln(115.

10、计算不定积分dx x (11：dx一 x (1 x)=2arctan . x Cdxx (1 x)=2 d1 t2= 2arctant C= 2arctan、. x6.求哥级数3nn 0解:x 0时,limn1-3n2limn二) nTn1(4(5分)4）收敛。 n(6分)x)d( x)( x)2(6分)(4分)t2,dx2tdt ,于2tdt2-t(1 t)(4分)(5分)(6分)x2n的收敛半径与收敛区间limnun 1unlimn3n1x2(n D3nx2 n3x2(2分)_,2r1, 一一所以当3x2 1 ,即|x| 时，哥级数 .33nx2n 收敛；当 3x2 1 , n 0即|x|

11、11-1时，哥级数3n x2n发散，所以哥级数的收敛半径 R -J3n 0J 3(3分)由于x1，-产时，级数.33nx2nn 0成为1发散。n 0(5分)1 d(1x2)(6分)因此骞级数收敛区间为11.计算定积分xsin2 xdx0解：由于公式2sin x1 ，,-(1 cos2x),所以xsin2 xdx =二0x(1cos2x)dx(2分)1,c、,-0 (x xcos2x)dx0xdx0 xcos2xdx3分)0xdsin2xxsin2xsin2xdx(5分)1cos2x8(6分)dy12.计算微分方程dxx(1 y2)满足初始条件y(0) 1的特解.y(1 x2)解：分离变量得 -

12、1ydy xdx2.2y 1 x(2分)两边积分ydy1 y2xdx1 x22d(1 y )21 x21 y212121即,ln(1 y ) 1ln(1 x2) 1c (4分)或 ln(1y2) ln(1 x2) C将初始条件y(0) 1代入得C ln2 (5分)2_2一所求特解是y 2x 1(6分)13 .计算函数y sin（ln x）的二阶导数y解：y8s(lnx)x(3分)sin(ln x) cos(ln x)2xsin(ln x) cos(lnx)2x(6分)14 .将函数 y lnx展成（x 1）的哥级数并指出收敛区间解：因为 y ln x ln1 (x 1)(1分)23n根据哥级数

13、展开式ln(1 x) x x, | Iff (1* HI n1 x 1(2 分)于是23n(x 1) (x 1)n 1 (x 1)ln x (x 1) '，'，( 1) 5 分收敛区间是 x （0, 2（6分）四、综合题（本题 4个小题，共30分）1.本题7分设0 a b,证明不等式 an 1n nb an(b a)bn1 (n 2,3,|()证明：设 f(x) xn, n 2 ,( 2 分) 则f （x）在闭区间a,b上满足Lagrange定理条件，于是存在一点（a,b）,使 上一迨） f （ ）（3分）b a n nb a n 1即n（4分）b a因为n 2且ab ,所以a

14、n 1 n 1 bn 1 ,（5分）3.n nn nn 1b an 1n 1 b an 1 一八、因此 na nb ，从而a b .(7分)b an(b a)22.本题7分设函数f(x) x2o f(x)dx,求f(x)在区间0, 2上的最大值与最小值.22解：由于定积分 0 f(x)dx是一确定的实数，设 0 f (x)dx k (1分)对f(x)的等式两边积分有22 22f (x)dx x dx kdx000一 2 -8于正 k f (x)dx 一 2k(2 分)03由上式解得 k 89f (x) x2 -(3 分)9令f (x) 2x 0得驻点x 0(4分)当x (0, 2)时，恒有 f

15、 (x) 0,表明f (x)在区间(0,2)内严格增加， (5分)8 一所以f(0)是函数f(x)在0,2的最小值 (6分)9-28f (2) 一是函数f(x)在0, 2的最大值.(7分)91 x sin x 0 3.本题8分设f(x)x,( 为实数)试问 在什么氾0,x 0围时(1) f(x)在点x 0连续；(2) f(x)在点x 0可导.解：(1)当分)所以当1 一0时，x是x 0时的无否小重，而sin一是有界变重, x(21c-、0 时，lim f (x) lim x sin 0 f (0)(3 分)x 0x 0即当 0时，f(x)在点x 0连续。(4分)(2)当1时，由导数定义及有界变

16、量乘无穷小量是无穷小量，得f (x) f (0) f (0)lim -x 0 x1 . 16=lim x sin 0x 0xsinl（6分）（7分）所以当 1时，f（x）在点x 0可导.（8分）x4.本题 8 分若函数 f(x) o(x t)f(t)dt ex,求 f(x).xx一一解：f(x) x o f(t)dt °tf dt e上式两边关于x求导数xf (x)0 f (t)dt xf (x) xf (x) ex, f (x)0 f(t)出(1分)f (x) f (x) ex( 2 分)记y f（x）,则上式是二阶常系数非齐次微分方程x，即 y y e (I)(3分)由于1是y y 0的特征方程r2 1 0的单根，所以设yxaxe是万程 *xx _.y y 0的通