储油罐的变位识别与罐容表标定1

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是： A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 （打印并签名）：1. 聂玉琼指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期： 2011 年 8 月 28 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要研究储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。通过对预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行计算，应用相应的数学方法得到罐内油位高度和储油量的变化间的关系，并

3、针对小椭圆油罐无变位、小椭圆油罐变位及实际油罐有变位等情况进行分类讨论,并建立了相应的数学模型。对于问题一，以小椭圆型储油罐为研究对象，对于无变位的情况，此时小椭圆型储油罐为规则椭圆柱体，可利用几何学和积分学求得油罐中油的体积与油位高度的函数关系。当罐体发生纵向变位时，可以通过倾斜角=4.1算出小椭圆型罐体每一个正截面图中，储油面积与油高的关系，得出截面面积的表达式。利用高等数学的积分知识，建立储油量与测定油高的函数关系。通过比较两个函数关系即可得出油罐变位对储油量的影响，即相同油位高度时，油罐变位将导致其中含有的实际油量的减少，并给出罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容标定值。对于问题二，针对

4、实际储油罐,我们根据油位高度分了五种情况进行讨论。在每种情况下，我们将罐内油体积按照球冠和筒身分成三部分：V=V1+V2+V3通过数学积分分别求出三部分体积与纵向倾斜角、横向倾斜角以及油位高度的函数关系。在计算球冠内油量与油位高度的关系时，为了简化计算，我们在边缘上用了差补法。最终我们建立了实际油罐中储油量与油位高度关系理论模型。通过最小二乘法进行参数估计，求得：=2.1,=4.6代入相应的变位参数后，经过附件2中数据进行检验，得出大多数误差在 1L 以内，根据得到的变位参数计算出实际罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表的标定值。所建模型充分利用了附表中的数据，并合理地筛选了有效数据，可适

5、于推广到 运输，化工，储藏行业。关键词：卧式储油罐 变位识别 罐容表标定 最小二乘法1一、问题重述针对加油站的地下储油罐，考虑其在使用一段时间后罐体的位置发生的纵向倾斜和横向偏转等变化，讨论对罐容表重新标定的方法。要求借助数学建模的方法研究以下问题：问题一：对平头小椭圆型储油罐无变位和纵向倾斜4.1两种情况进行研究，通过建立相应的数学模型，研究罐体变位对罐容表的影响，并重新标定罐容表。问题二：对球形封头的实际储油罐的横向偏转和纵向倾斜进行研究，并建立出罐体变位后标定罐容表的数学模型，根据所建立的模型确定变位参数和 ，最后利用实验数据对模型进行检验。二、问题分析题目给出通过油位计所得的进/出油量

6、与罐内油位高度等数据，要求通过预先标定的罐容表实时数据的计算处理，得到罐内油位高度和储油量的变化情况，并对变位等原因产生了理论值和标定值的相应误差予以相应的修订。1问题一分析问题一要求对小椭圆油罐建立模型研究罐体变位后对罐容表的影响，给出油位高度间隔差为1cm的罐容表标定值，并在附录中提供了实验数据。对于问题一,本文对两种情况,即无变位和变位时，分别建立罐容表读数与罐内油体积的函数关系式，通过函数关系式计算出理论值，再与所给的实际值相比较，对罐体变位后对罐容表的影响进行评估，而附录中提供的数据可以用于检验模型的精确性以及与实际的误差。2问题二分析问题二要求对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容

7、表的数学模型，并根据实际检测数据确定变位参数。对于实际油罐体，由于两端具有球冠体且实际油罐体的中间部分是圆柱体而不是问题一中所用的椭圆柱体，故在计算时，需加上其两端球冠体的体积。讨论时，我们将整体分为三个部分，前后的球冠以及中间的圆柱体部分。对于实际油罐体的倾斜问题，由于这里既有纵向倾斜又有横向倾斜，为了简化问题，我们首先分析只有纵向倾斜的情况，然后再分析有横向偏转角度时，通过建立中间变量与油位高度的关系，最终建立油罐内储油体积与油位高度的函数表达式。只考虑纵向倾斜时，对于实际油罐体的中间部分，仍遵循第一问中的思路，按照各处的高度不同，对整个油罐体进行积分，求出油罐体中间部分的油体积在纵向倾斜

8、的情况下与油面的高度、纵向变位角之间的关系。对于两端的球冠体，我们将边缘上的倾斜的部分利用查补法做近似计算，通过解析几何知识求出两个球罐体储油体积与油位高度、纵向变位角之间的函数关系。利用在横向变位时测量的油面高度与实际油面高度在横向变位角一定时的一一对应关系，可以得到储油罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，从而得出实际测量数据中相邻两高度之间的出油量及进油量计算值，与实际出油量及进油量对比，得到使两者之间的差别最小的和，即实际油罐的纵向变位角与横向变位角。然后在此基础上对罐容表进行标定。2三、基本假设1.数据是储油罐的内壁参数, 且不计储油罐壁厚对油量

9、统计的影响2.不考虑外部因素（如温度、压力）对汽油密度及体积的影响3.假定储油罐发生纵向位移以及横向位移时，变位角不会过大，油罐形状保持不变，且油位探针始终与油罐底面垂直。4.进/出油时无油量损失，累加进出油量数据是准确可靠的，罐内储油量测量的误差仅仅是由于未考虑变位造成的。四、符号说明a=0.89 小椭圆型罐体截面椭圆的长半轴b=0.6 小椭圆型罐体截面椭圆的短半轴纵向倾斜角度横向偏转角度L小椭圆型罐体长度h对于小椭圆形罐体中油量探针所探测到的油面高度，对于实际储油罐中油量探针所探测到的油面高度所转换成在以圆形球心为原点所建立的坐标体系下的坐标高度值H只考虑纵向倾斜时实际储油罐中油量探针所探

10、测到的油面高度，以及考虑横向倾斜时，实际储油罐中过油探子的正横截面的实际油面高度h0考虑横向倾斜时罐容表的读数V小椭圆型罐体或实际储油罐中油量体积r球冠横截面圆半径R 球冠半径V1 实际储油罐纵向倾斜时下部球冠体中油量体积V2 实际储油罐中部圆柱体油量体积V3 实际储油罐纵向倾斜时上部球冠体中油量体积H1实际储油罐纵向倾斜时下部球冠体中与中部想接截面的实际油高 H2实际储油罐纵向倾斜时上部球冠体中与中部想接截面的实际油高3五模型建立1问题一：小椭圆型储油罐的罐容表标定此部分针对小椭圆型储油罐，分别对罐体无变化和倾斜角为 的纵向变位两种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析

11、模型建立的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。1.1 罐体无变位时的罐容表标定（a）模型的建立：小椭圆型油罐横截面如图1 所示，以椭圆下顶点为原点建立坐标系，可得 x2y2+=1,a=0.89,b=0.6a2b2假设椭圆型油罐中油的高度，即探针探测到的油高度为h。x0)，油罐横截面积S为：由椭圆性质积分可得x=h-S= -b由题意知无变位时，油罐内剩余油量可视构成高度为L=2.45m的椭圆柱体，故V=L*S利用公式1a2x=arcsin+c积分可得22aah-b12S=(h-bb2arcsin+b，从而得到小椭圆型油罐正常体位bb2（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型是：1ah-bV

12、=ab+(h-b+abarcsinL2bb（b）数据检验4图：油量与油位高度间关系（理论与实际值比较）由图可见，对于无变位的模型，将题目附录中的提供的数据中的油位高度带入函数关系式可求得模型所得出的相应储油罐中的容量，然后与题目附录中的储油量进行比对，整体而言相差并不明显，相对误差几乎保持不变，我们可以认为实际测量过程存在系统误差，即在误差允许的范围内，模型基本符合要求。但同时随着h的增高，理论计算值与实际测量值的差值有增大的趋势。 分析其原因：可能为随油位高度h的增高，注油管、出油管及油浮子浸入液面下的体积也在逐渐增加，导致实际值比理论值偏大，且差值会随h 的增加而增加。1.2罐体有变位时的

13、罐容表标定1（a）模型建立考虑油罐纵向倾角为 时对罐容表的影响。由题目所给出的在 = 4.1时的实际测量结果，以及油罐形状的分析，我们考虑油罐储油量与浮标所测定的高度间关系的五种不同情况。(1) 浮标显示是0时，但由于纵向倾斜角的存在，油罐内实际油量并不为零，且整体液面成三角形5由几何知识计算得：当h1=0时，V1.6743L(2) 油罐中有少量油，且正面示意图是三角形，即油罐内的油量的平面低于虚线分析可知当0 h1 2.05 tan m,即0 h1 146.9458mm时：h1+0.4ztanV1=0-bh1+0.4ztan=abarcsin(0-b)+dz h1+0.4ztanV1= 0-

14、bh1+0.4ztan=ab+arcsin( 0-b)+dz令u=ztan-bub+b，则z=btanh1+0.4h1ub+bV1=(+0.4)+ab(+arcsinu）d()0tantanh1+0.4tan-bh1ab2b=(+0.4)+arcsinu）du0 tantan利用公式=+C 3故= h1+0.4tan-b31b=- 03再利用公式arcsinudu=uarcsinu+ch1+0.4tan-bb0arcsinudu=+0.4+h1+0.4tan-bh1+0.4tan-barcsin+bb31-3 h1代入知V1=ab2+h1+0.4tan-bh1+0.4tan-barcsinbb

15、(3) 油尚未完全覆盖油罐的任意一个底面,即油量的液面低于所示虚线:此时满足2.05tanh11.2-0.4tan,即146.9458h11171.3276时：V1=00.4+h1-bztan-b-2.450.4+tan(z-2.45)tan-b-重复（2）计算过程利用公式代入即可(4)油罐内油完全覆盖油罐的一个底面，如图：即1.2-0.4tanh11.2m,即1171.3276mmh11200mm时：7-h1V1=ab(0.4-1.2)+1.2ztan-b0-b-1.2(z-2.05)tan+h1-1.22.05+1.2-h-b-重复（2）计算过程利用公式代入即可(5)浮标测得的油位高度显示

16、油罐为满，然而实际上并没有满,如图即当h1=1.2m时，4012.747 V4110.146L(6)结论：h1+0.4tana(h1+0.4tan-ztan-bb0h+0.4tan-ztan-b12+b2arcsin+bdz， 当0h1146.9458mm2.45a(h1+0.4tan-ztan-b0V=+b2arcsinh+0.4tan-ztan-b+1b2dz， (当146.9458mmh11171.3276mm)b22.45aabL-1.2-h1(ztan-b0.4-+b2arcsinztan-b+1b2dz， (当1171.3276mmh11200mm)()特别地，当h1=0时，V=1

17、.67；h1=1200mm时，4012.74V4110.15 （b）模型检验及改进89对于油罐变位后的模型，与无变位的检验同理。得到相对误差在1%5%以内。在可容许的范围内，因此我们认为此模型有效。1.3 小油罐无变位和有变位比较油罐变位后对罐容表的影响可以通过比较无变位和有变位的数学模型得出。通过对题目附录中的数据及相应的测量值比较可得，如图所示，在一定区间内，变位后相同油位高度的情况下实际储油量要比无变位的储油罐在相同油位高度下的储油量要少，且差值保持在一定值左右波动，即200L左右。102 问题二：实际储油罐的罐容表标定首先建立数学模型。实际储油罐主体为圆柱体，两端为球冠体；相对于整个储

18、油罐，球冠体的体积很小，因此假设实际储油罐在纵向倾斜时，球冠体内的油面相对于罐底假设是水平的，中间圆柱体部分的油面相对于罐底是倾斜的。先计算V2主体体积，可直接利用第一问结论代入a=b=1.5V2利用勾股定理可以求出球冠体的半径RR2=(R-1)2+1.52,即R=1.625m高度为H时油的体积V=V1+V2+V3先计算V2柱体体积i）无变化时结果如下，底面如图：仍然以H表示探针探测到得油高，h表示H-1.5，则S=2h2h1.52S=1.5arcsin+ 1.5211代入H=h+b即有H1.52S=（1.5arcsin(-1)+ 1.522V=8Sii)有变位时V2仍然直接套用第一问结论，令

19、a=b=1.5，分三种情形：情形1情形2情形312情形10：H6tanH+202H+2tan-ztan-1.51.52V2=(H+2tan-ztan-1.5arcsin+d1.52情形2:6tanH3-tanH+2tan0082H+2tan-ztan-1.51.52V2=(H+2tan-ztan-1.5arcsin+1.52情形3:3-2tanH3V2=8*（1.5）-2H+2tan3-H2-08ztan-1.51.52(ztan-1.5arcsin+dz1.522iii)有变位时两侧球冠中油量的求解（1）只存在纵向倾角相对于整个储油罐，球冠体的体积很小，因此假设球冠体内的油面相对于罐底是水平

20、的。事实上，两边的球冠相对于无变位时油量一端多一些一端少一些，因此可以“以多补少”，这样差距更小，因此可以看作油面水平。如图，将球冠I，III油面水平化H1=H+2tan,H2=H-6tan13计算当球冠内油面高度为H时候球冠中油的体积 坐标值h=H-1.5坐标高度为h时的球冠的横截面是小圆的一部分小圆半径r=球冠在这个小圆中为阴影部分，其面积为S 如图：sin=r-1r-1,=arcsin rr2（90-）=180-2=-2 扇形面积S扇=-2r-1r=(-)r=(-arcsin)r222r1（r-1两个三角形面积和S=2*r-1=2S=S扇-S=(2-)r-（r-1因此球冠体积积分如下：1

21、4V=H-1.5-1.5Sdh=H-1.5-1.5H(-dh 22- 代入H=h+1.5即V=(0分别代入H=H1=H+2tan,H=H2=H-6tan再求和计算出两部分球冠中油的体积之和为：V1+V3=s H+2tan0+H-6tan0(-dH2（*） 综上所述，V=V(H)：0H6tanV=（*）+1.52arcsinH+2tan0(H+2tan-ztan-2H+2tan-ztan-1.51.5+dz1.52:6tanH3-tanV=（*）+H+2tan008H+2tan-ztan-1.51.52(H+2tan-ztan-1.5arcsin+dz1.522:3-2tanH3V=（*）+8（

22、1.5）-H+22tan3-H2-0tan82ztan-1.51.5(ztan-1.52arcsin+dz1.52（2）考虑水平倾角下面再对横向偏移角进行分析研究，如图所示：15图中 h0为罐容表的读数，所以真实液面高度为:H=(h0-1.5)cos+1.5所以最终所得的体积关系式只需将上述体积关系式中的H换为式(h0-1.5)cos+1.5，再带入下式：V1+V3=H+2tan0+H-6tan0(-dH2和(1)(2)(3)式中的三个式子即可得出。2.3求变位参数附件2提供的数据中显示油高和显示油量容积是基于无变位时的罐容表的，从而可利用这两列数据对模型在无变位情况下相应数据进行评估。最小二

23、乘法：X xx2 .xi .xn 表示出油量 1 ,H hh2 ,.h1 , i .hn表示油位高度令I= min(V(hi+1)-V(hi)-xi)2,则利用显示油高和进出油量这两行数据可i=1n确定求解变位参数。在模型中，每一个油位高度对应一个油罐储油量，则两个油位高度间油量的差值则可以通过进出油量来确定，故取 N 组显示高度的数据，利用相邻两个油位高度，得到相对应的 N-1 组油量差值。将这些数据差值与附件 2 中提供的油量差值相减，并对这些差的平方求和。则每对应一组，值16便存在一个和。求变位参数即可理解为寻找使和最小的一组的，值，而这可以通过枚举，值来确定。 通过编程实现该思想并求得

24、=2.1,= 4.6。程序见附录“变位参数求解程序”。3结果分析与模型检测结果：问题二中通过对油罐的三个组成部分分别建模，得出了总体的数学模型。并通过数学模型由附件 2 中提供的数据求出变位参数=2.1,=4.6。验证：将变位参数带入数学模型，从题目附件 2 中随机取 60 组数据进行检测，研究误差，发现大多数绝对误差在 1L 范围内,个别数据误差在 2L 左右。在一定程度上验证了模型的合理性，以及结果的正确性与可靠性。六、模型评价1 模型优点1).小椭圆储油罐无变位模型情况比较简单，算法容易设计，根据积分易得其具体表达式且相对来说比较精确。2).小椭圆储油罐变位模型针对具体情况分类讨论。3)

25、.实际储油罐模型比较实用。在球缺部分的建模过程中，适当的运用了近似算法使复杂情况简单化，易于计算。2模型缺点1).小椭圆储油罐无变位模型仅有简单的积分得来，尚未完整考虑所有情况，应用范围有限。2).小椭圆储油罐变位模型误差有待进一步改进。3).实际储油罐模型构造中，关于球冠部分的计算采用了近似方法，使得计算结果与实际结果存在一定误差。在数值积分中迭代次数的限制对结果的准确性有一定影响。417七、模型改进1. 小椭圆储油罐变位模型所得结果与实验测得结果存在误差，需结合具体情况对模型进行适当地修正。2. 实际储油罐模型球冠体部分由于采用了近似的方法，增加了误差的必然性。存在改进空间，对模型忽略部分

26、进行精确求解，减小误差。3.在运用模型求解变位参数时采用了对参数进行枚举的方法，在运行时间以及空间上是比较浪费资源，效率不高。可以考虑采取更高效的算法。八参考文献1实用积分表编委会，实用积分表， 合肥：中国科学技术大学出版社， 2006年1月第1版2付昶林，倾斜油罐容量计算，黑龙江八一农垦大学，第二期，4352，19813 余永峰 张友春， 卧式容器球冠形封头液位与相对应的液体容积计算， 中国特种设备安全，第24卷， 第11期， 24264闵发龙. 实用油罐体积的计算研究，南方农机，第3 期，12 页，200818附录程序：罐容表标定值打印程序#include #includedouble q

27、iuguan(double h) /*球罐面积*/int i=0;double a=1000, R=1625, y=h;double Ra=R-a;double n=1000; /*迭代 100000 次*/double temp=(y+1500)/n;double result=0;y=-1500;for (i=0;in;i+)double r=sqrt(R*R-y*y);double L=2.0*sqrt(r*r-Ra*Ra);result+=(r*r*acos(Ra/r)-L*Ra/2.0)*temp;y+= temp;return(result/1e6);int main()doubl

28、e h,v;double pi=acos(-1);double a=2.1,b=4.6;double hua=a*pi/180;double hub=b*pi/180;FILE *fp;fp = fopen(a2.txt, w+);h = 0;while (h!=3100)if (h=0)fprintf(fp,高度:0.00mmt 剩余油量:=46.21Ln);else if (h6000*tan(hua)double hb=(cos(hub)*h-cos(hub)*1500+2000*tan(hua)/1500.0; doublevm=15*15.0/tan(hua)*(-1500/3*sqrt(pow(1-hb*hb),3)+1500*(hb*asin(hb)+sqrt(1-hb*hb)+hb*pi/2*1500)/100;double va=qiuguan(cos(hub)*h-cos(hub)*1500+2000*tan(hua); v=va+vm;fprintf(fp,高度:%.2lfmmt 剩余油量:%.2lfLn, h, v);19else if (h