初中奥林匹克数学解题思想方法和技巧 2010 9 27

1、初中奥林匹克数学解题思想方法和技巧【英文题名】Methodology and Techniques for Solving on Olympic Mathematics in Junior Middle School【中文关键字】 奥林匹克数学; 初中奥数; 解题的方法和技巧;【英文关键词】 Olympic mathematics; Olympic mathematic in Junior Middle School; methodology and techniques for solving ; 【中文摘要】随着数学奥林匹克活动的广泛深入的发展,奥林匹克数学及其教育也引发了各种各样的问题与

2、争议。在这种情况下,本文就初中的奥林匹克数学的解题为研究对象,对其所涉及的思想方法与技巧进行研究探讨。【英文摘要】With the extensive and thorough development of the Mathematical Olympic activities, the Olympic mathematics and the education on it have also initiated various questions and disputes. Under this situation, with solving on Olympic Mathematics i

3、n Junior Middle School as its research objectives, this article attempts to study and probe on the methodology and techniques involved in it. 一奥林匹克数学教育数学竞赛的兴起，对数学、教育学和考试学都产生了积极的影响，对数学教育的改革也产生了一定的推动作用。这些都导致了竞赛数学的诞生，从教育的角度看，竞赛数学教育围绕着数学竞赛展开的数学教育活动，以开发智能为根本目的，以解决问题为基本形式，以数学竞赛大纲为基本教学内容，实行“多纲多本”的具有综合性教育功能

4、的数学素质教育。 何为竞赛数学呢？我所理解的竞赛数学应该是一门交叉学科，应该是数学与教育学的交叉，高等数学与初等数学的交叉，高等教育与初等教育的交叉，同时也是数学素质与应试艺术的融合。二.初中奥林匹克数学内容以及初中数学竞赛的发展趋势奥林匹克数学已经成为中小学生数学课外活动的重要部分，奥林匹克数学的研究也已经成为数学研究的重要课题。而初中奥数是奥数教育的基础，对于数学人才的发现和培养，激发数学学习的兴趣，推动数学教育的改革和发展都具有非常重要的、不可替代的作用。因此随着数学奥林匹克和数学教育的不断深化和发展，恰当地评估初中奥数的奥数教育和基础数学教育中的地位和作用。适宜地介绍初中学生学习的奥数

5、内容，正确地引导初中学生学习奥数，不论对奥数活动的健康发展，还是对基础数学教育和奥数的深入研究都是非常有益和必要的。 中国数学奥林匹克的培训，基本上已经形成了一个比较合理有效的培训体系。在着这个体系中高中学生是数学奥林匹克的主力军。我们也不可否认的认识到随着奥数活动不断发展，初中将会成为培养奥数人才的基地。当培训体系逐步完善的同时，竞赛活动和内容也应该规范化与正规化。三.初中奥林匹克数学中解题的思想方法与技巧 竞赛数学是锻炼思维的体操，其核心是问题。数学竞赛就是解决问题的竞赛，那么，解题就成为了竞赛数学教育的重要组成部分。在学校的数学学习中，同学们几乎每天都要解一些数学题，许多同学对于书本上基

6、础知识、定理可说是可以倒背如流，但是他们一碰到那些构思巧妙、灵活运用知识、不拘一格的竞赛数学题目的时候，就束手无策，连解题的着手点都找不到。当老师或者同学将解答过程高质的时候，霎时恍然大悟，大发感慨原来如此。因此，很多同学都希望可以提高自己的解题能力，特别是一些希望参加竞赛，并想在竞赛中取得好成绩的同学。那么，怎样才能提高我们的解题能力呢！首先，要求同学们对课本所涉及的数学概念以及与这些概念紧密相关的定义、定理、数学公式与法则等都要熟悉；其次，要能够灵活运用这些指示，在运用中可以结合一些基本的数学思想方法与解题技巧，打好这两个方面的基础之后，还要配合一定量的联系来积累解题经验，养成良好的解题习

7、惯。解题经验的积累对于我们提高解题能力很重要，我们若能够在解题中注意积累每一点发现与认识，从量变到质变，慢慢就可以培养出一种善于思考和解决问题的能力。下面向大家介绍一些基础的解题思想方法与技巧：首先，要养成良好的解题习惯，很多同学都忽视了解题步骤这一环节，一拿到题目就开始动笔进行解题，实际上这样做是不好的。正确的解题步骤对我们解决问题有很大的帮助。那么，正确的解题步骤是怎样的呢？其实每一位同学都知道，美国著名的数学家、教育学家波利亚在他的惊世之作怎样解题中也明确地指出解题的步骤是：1.审题；2.分析；3.解题；4.检查。首先，审题是解题的出发点。有许多数学题在审清题意之后，同时就发现了解题的方

8、法和途径，因此，审题是解题中最重要的环节。当然也有一些数学题虽然我们审情出了题目，但是我们却不能立即找出解题的方法甚至是连题目的意思都还没有琢磨透，这时，就需要我们根据过去积累的解题经验，利用自己掌握的解题方法与技巧，将原问题转化，寻找到解题的着手点，然后将它解决。在这个过程中数学的思想方法和解题技巧起到了非常重要而关键也是非常灵活的作用。这个过程也是最能够展现数学美的地方，不知多少数学爱好者们陶醉于这个过程中，乐不思蜀。最后解题必须注意总结解题经验也就是检查。如果说认真审题一个好的开头，那么认真总结经验就是一个好的结尾。总结是为了以后解题的需要。有了良好的解题习惯，无疑对于提高我们的解题能力

9、奠定了一个坚实的基础。其次，要奠定好坚实的解题功底掌握好解题工具：数学的思想方法和技巧。下面将这些方法与技巧分成：1.探索思路的钥匙-关于审题的思想；2.解决问题的关键-关于解题的思想。1.探索思路的钥匙关于审题的思想 整体处理的思想 一道数学题可以说是一个系统，有条件和文体组成，条件通常分成几个部分独立开来。有时条件多了，问题应该会比较容易解决，但是前提是合理地利用条件。如果条件之间相互独立而毫无联系，那么对于我们审题来说是一种麻烦，所以我们在审题的时候就应该注意对题目整体结构的分析处理，从整体的性质出发去把握各个部分，这样处理思想我们称之为整体处理的思想。也就是说可以通过政体的性质类确定部

10、分的性质。在竞赛数学里，整体处理的思想应用也非常的广泛，例如：例1在ABC的内部有个点，以这个点为顶点，将三角形分割成互补重叠的三角形，共可得几个三角形？分析：由于对ABC的分割未必是唯一的，因此，直接计算比较困难。当我们取n=1.2.3可以猜测一共得到小三角形个。这里如果我们可以用整体处理的方法来解决的话，就可以找到解题的办法。解：设三角形分割得到个小三角形，由于三角形的内角和是180度，所以个三角形的内角和等于：;另外我们注意到从整体来看这个三角形的内角和是由两部分角组成的，一是在等顶点A、B、C处，二是顶点在三角形内部的个点而且互补重叠，每一个点都对应一个360度的周角，所以内角和综上所

11、述可以得到：所以.从上面的例子我们可以看出：整体处理的思想方法可以帮助我们发掘问题的内在特征，联合各个条件，使得每一个条件的作用力都朝着解决问题的方向使，从而使得所研究的问题得以顺利解决。 等量代换的思想等量代换顾名思义就是用相等的量来代换原来的量，使原问题得以解决的思想方法。通过改变原命题的陈诉或者改变观察角度，使之更为我们所熟悉，从而达到解题的目的。运用数学元素的等量代换来解题的方法叫做换元法。换元法就是用一个新的字母或者新的数学式取代换原字母或者数学式。利用恒等变形，将原问题由难化易，由繁化简，由隐蔽化显然的一种等量代换的解题方法。在竞赛数学里，等量代换的思想应用也非常的广泛，看下面的例

12、题： 例2已知求证： 证明：设则： 由上式得： 从而： 说明：由于已知条件和问题表达式比较复杂，所以我们可以利用换元法将其化简，再利用关系式得到结果。2.解决问题的关键-关于解题的思想 带余除法初等数论中有许多问题都是在研究整数之间的除法。任意两个整数的和、差或者积都是整数，但是两个整数相除时所得到的结果却不一定是整数。那么就可以将除法分为整除和带余除法。下面。先介绍一下带余除法的概念与性质：带余除法：设、是两个整数，则存在唯一的一对整数q和r，满足 ，其中称为除以所得的商，称为除以所得的余数。定义：如果除以所得的余数等于零，那么称能被整除，或称整除。记作。否则，如果余数不等于零，那么称不能整

13、除。性质1：如果那么。这时整除的传递性；行至2：若则对任意整数都有 有了上面的定义和性质，我们可以很方便地将整数划分为若干类。奇数和偶数实际上就是将所有整数按被2除时的余数为1还是为0这个标准分成两类。余数为1就是奇数，用或（这里为整数）表示；余数为0就是偶数，用表示。这种分类的方法很容易推广到一般情形，例如：所有整数按辈3除时的余数可分成三类：第一类是能够被3整除的数，可以用表示；第二类是被3除余数为1的数，可以用表示；第三类是被3除余数为2的数，可以用或表示。一般德，整数按被除时的余数可以分成类，这类数可以分别用表示，其中为整数。按照这个规律，我们完全可以根据问题的需要将整数划分成若干类，

14、从而使问题条理化，这就是利用余数的思想方法。例34个数2613，2243，1503，985被同一自然数除时所得的余数相同（但不为零），求除数和余数。解：设除数为，余数为，依题意有： 得：得： 以上可知，370和518都可以被整除，也就是说时370和518的公约数。因为370和518的大于1的公约数有2，37，74，所以相应地 所以除数为2时余数是1，除数是37时余数是23，除数是74时余数是23。 待定系数法 “待定系数法“是一种很重要的解决多项式问题的数学方法，它的思想方法是：先假设一个恒等式，其中含有待定的系数，然后根据多项式衡等概念或者是有关的定理导出方程或方程组，解方程或方程组从而求出

15、待定的稀疏，或者从方程或方程组中消去待定系数，找到原来那些已知系数间所存在的关系，从而解决问题。在这种方法的使用过程中有个地方需要注意：在假设恒等式的时候，通常需要知道问题的预定结构，当中的待定系数主要是整式中的系数。换句话说就是：只要能与之多项式问题的结构都可以考虑使用待定系数法。下面我们用例子来看看待定系数法的应用：例4请问：当为什么数时，多项式能够被整除？分析：根据题目的意思和整除的要求，可以预知商式应该是一个二次三项式，所以我们可以运用待定系数法假设所求商式为，再根据题目已知的两个多项式进行分析可以知道，这样就减少了两个待定系数，再根据多项式衡等概念可以求解出其他三个待定系数。解：假设商式为，则依题意可得： 比较等式左右两边多项式的系数可得：解方程组得： 所以当时，多项式能够被整除。四、小结数学竞赛的兴起，对数学、教育学和考试学都产生了积极的影响，对数学教育的改革也产