图论 第3章 连通度、匹配

1、第三章 连通度、匹配本章的特点：（1）理论深；（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有研究生才能用上；（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。 一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。内容：本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；接着讨论了它们的一些简单性质；然后讨论偶图的匹配问题。第一节 顶点连通度和边连通度1.1 动机和目的一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。于是，我们就想来刻画两个图“连通程度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：顶点连通度和边连通度例：树的每个度大于1的顶点都是割点

2、。一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。类似地，树的每条边的都是桥。有桥的连通图，当去掉桥时，就产生了一个不连通图。对于无桥的连通图，要想去掉一些边得到不连通图，至少要去掉两条才有可能得到不连通图。从去掉边来获得不连通图的角度看，有桥的连通图较之无桥的连通图的“连通程度”要低。特别是，一个非平凡树是一个有最少边连通图。图的顶点和边，在不同应用中有不同意义。在通讯网络中，通讯站是顶点，通讯线路是边。它们的失灵势必危机系统的通讯。所以，网络图

3、的“连通程度”越高，通讯网络越可靠。这种直观的想法，启发我们建立以下的严格概念：1.2 顶点连通度（连通度）定义1 设G=(V，E是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少顶点数称为G的顶点连通度，简称连通度。记为。说明：（1）对这个定义我们需要说明的是，希望每个图都有顶点连通度。但对完全图Kp，不论去掉哪些顶点，都不会得到不连通图，当去掉p-1个顶点时得到K1-平凡图。为了使这样的连通图也有顶点连通度，所以在定义中加入了“为得到平凡图所需要去掉的顶点的最少数”这一条件。（2）对于特殊的图顶点连通度是知道的。K1-平凡图； 有割点的图；不连通的图； 完全图Kp 。推

4、论1：若G连通，则；若，则G连通或是非平凡图。定义2设G=(V，E是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少边数称为G的边连通度，简称连通度。记为。对于特殊的图边连通度是知道的。；当p1时，；非平凡树 ；有桥的图。说明：（1）对于连通图来说，边连通度就是割集中最小的那个。（2）对于一个图来说，割集-可以有多个，但边连通度-却只有一个。（3）对于非平凡图来说，割集-永远也不能为零（空集），但边连通度-在图不连通时却是零。（4）连通度与割集的联系和区别？-自己综合。1.3 顶点连通度、边连通度、最小度之间有以下的关系：定理1 对任一图G，有证 先证(G(G，若(G=0，

5、则G不连通，从而(G=0。所以，这时(G(G；若(G>0，不妨设degu =(G，从G中去掉与v关联的(G条边后，得到的图中v是弧立顶点。所以，这时(G(G。因此，对任何图G有(G(G。其次，证明对任何图G有(G(G。若G是不连通的或平凡图，则显然有(G(G=0；今设G是连通的且非平凡的。若G有桥x，则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平凡图，从而(G=1=(G。所以，这时有(G(G；若G没有桥，则(G2。于是，从G中去掉某些(G边得到一个不连通图。这时从G中去掉这(G条边的每一条的某个端点后，至少去掉了这(G条边。于是，产生了一个不连通图或平凡图，从而(G(G。因此，对任何G，(G(

6、G。定理2 对任何整数a，b，c，0abc，存在一个图G使得,。证 若a=b=c，则图G=Ka+1就是所要求的图。若a=b ，则所要求的图 G 的图解为图 1(a 所示。 Kc+1 Kc+1 a条边(aKc+1 Kc+1 a-1条边(b图1若a ，则 G=2K b-a+1 +K a 就是所要求的图。其中 G 的图解是这样画出的：把完全图 K b-a+1 的图解在平面上画两次，再画出 K a 图解，然后在 K a 的每个顶点与 K b-a+1 的每个顶点间联一条边而得到的图。 若a ，则所要的图 G 的图解见图 1 (b 。因为显然有： (G=a ， (G=b ， (G=c 。 说明：定理2的结

7、果表明，不对图G加任何限制，定理1的结论不能再改进了。但当对图G再加上某些限制，例如，当(G充分大时，我们能证明(G=(G。为此，先证明下面的引理：引理1 设G=(V，E是一个图且(G>0，则存在V的真子集A，使得G中联结A中的一个顶点与VA中一个顶点的边的总数恰为(G.证 因为(G>0，所以G中有(G条边，把它们去掉后得到一个恰有两个支的不连通图。令其中一个支的顶点集为A，则A是V的一个真子集。由于(G>0，那些被去掉的每一条边，其一个端点在A中，另一个端点在VA。这些边当然为(G条。定理3 设G=(V，E有p个顶点且(Gp/2，则(G=(G。证 因为(GP/2，所以G是连

8、通的。由定理3.1.1知，(G(G。于是只要证明(G(G即可。由于G是连通的，所以(G>0。由引理3.1.1，存在V的真子集A使得G中联结A中的一个顶点与VA中的一个顶点的边恰有(G条。设|A|=m，则G中两个端点均属于A的边的条数至少为(m(G-(G/2于是，假如(G<(G，则(m(G-(G/2>(m(G-(G/2=(G(m-1/2若m(G，则(m(G-(G/2>m(m-1/2。这是不可能的，所以(G ，于是 m(G+1p/2+1(p+1/2。同理可证|VA|=p-m(p+1/2。因此，|V |>p，矛盾。所以，(G(G。于是，(G=(G。定理4 设G是一个(p

9、，q图，则(1 若q ，则 (G=0 ； (2 若qp-1，则(G2q/p 证(1若q ，则 G 不连通，故 (G=0 。 (1 若qp-1，则有握手定理可知：，故，于是。由定理1便得到。1.4 n-顶点连通、n-边连通定义3 设G是一个图，则若n，则称G是n-顶点连通的，简称n-连通；若n，则称G是n-边连通的。显然，图G是1-连通的，当且仅当是连通的。定理5 设G =(V，E是p个顶点的图，p3，则G是2-连通图，当且仅当G的任两个不同顶点在G的同一个回路上。证 <=设G的任意两个顶点在G的同一个回路上，则G是一个没有割点的连通图，所以G是2-连通的。=>设G是2-连通的，u和

10、v是G的两个不同顶点。施归纳于u与vspan的距离d(u，v来证明u与v在一个回路上。当d(u，v=1，由于(G2，所以uv不是桥。由定理2.3.3，边uv必在G的某个回路上，所以u与v在G的某个回路上。假设对d(u，vk的任意两个不同顶点u和v，u与v必在G的某个回路上。今设 d(u，v=k，往证u和v在G的某个回路上。考虑G中u与v间的一条长为k的路P：uv1v2 vk-1v。显然d(u，vk-1=k-1。由归纳假设u与vk-1在G的某个回路上。于是，u与vk-1间有两条没有内部公共顶点(即除u与vk-1外的两条路W，Q。由于(G 2，所以G无割点，从而G-vk-1是连通图。于是，G-vk

11、-1中有u到v的路S。u是W，Q，S的公共顶点。设w是S上从u到v且在Q或W上的最后一个顶点(见图3.1.2。不妨设w在Q上，则在G中就有含u与v的回路：Q上的u与w间一段后接S上w与v间的那段，然后是边vk-1v，最后是W。定理6 图，E是n-边连通的充分必要条件是不存在V的真子集A，使得G的联结A1、的一个顶点的边的总数小于n 2、示例：亲爱的同学们，你曾经遇到过烦恼吗？俗话说“人生不如意十之八九”，今天，让我们一起行动起来进行一次大梳理。大家打开心窗一吐为快，也许你心头的阴云就会烟消云散，心情就像阳光一样灿烂，笑容就会如鲜花一般绽放。（2 =>设（是n-边连通的，则(Gn3、活动一

12、： 示例：宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。的一个顶点与VA的一个顶点的边的总数j ，则去掉这 j 条边便得到一个不连通图，所以， 我打算这样克服：示例：努力学习，提高学习成绩，让老师和家长满意相矛盾。因此，V的这样的真子集示例：妈妈是不存在的。我最想说的话是：示例： <=若43.1.1君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。V的真子集A，使得G的联结A的一个顶点与VA的一个顶点的总数为(G ，这与假设不存在 V 的这样真子集 A 相矛盾。所以， 赠裴十四 第二节 门格尔定理王之涣凉州词大漠孤烟直，长河落日圆。年，门格尔证明了一个图的连通度与联结图中两个不同顶点不相交路的条数有关

13、。王维 使至塞上白日依山尽,黄河入海流。定义1 设与欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山 。-李白（1和v的路，除了u浪淘沙 黄河-俗语 a不见棺材不落泪，不到黄河不死心 b黄河有底，人心无底2）若联结黄河v的两条路上没有公共边，则称这两条路是联结u和v的边不相交路。九曲黄河 泾渭分明定义2 设G=(V，E是一个图，SV，文化， 新石器 文化，（1）若u和v分别在G-S的两个不同支中，则称图G 黄河率领部落东迁 b 大禹治水，姜太公钓鱼、郑国渠 7、类别： 中国作家   编号：05（2）若u和v分在G-F的两个不同支中，则称图G我的印象：鲁迅先生是中国文化革命

14、的主将，他以笔为剑，他的学问和人品都值得后人学习的两个不同顶点u8、（和v叱咤风云的革命家 贝多芬: 显然，不存在分离G的两个邻接顶点的顶点集。 ：创作颇丰的文学家下述的定理 孙权: 决胜千里的军事家(2我喜爱的明星： 选谁皆可。略 我设置的栏目：定理1(K.Menger，1927分离图G的两个不邻接的顶点s和9、京剧旦角流派有a梅派：有梅兰芳创立；b 程 派：由推论1 图Gc 荀 派：由 荀慧生定理2 分离一个图的两个不同的顶点s与t的边的最少数目等于不相交s-t路的最多数目。此定理对多重图也成立。推论2 图G是k-边连通的当且仅当G的任一对不同的顶点间至少有k条边不相交路。第三节 匹 配、

15、霍尔（Hall）定理3.1 背景例1 结婚问题：例2 工作安排问题：问题2一个车间有m个工人和n件不同的工作，每件工作只需一位工人干，而每位工人仅能熟练地干其中的几件工作。问在什么条件下车间主任能为每位工人分配一件他能胜任的工作呢？对这个问题，若把工人和每件工作用点来表示，若一位工人能胜任某项工作，则在相应点间联结一条线，则得到一个偶图G。要回答的是在什么条件下这个偶图有一个完全匹配？例1、例2问题最终都抽象成偶图的匹配问题。3.2 匹配定义1 设G=(V，E是一个图，则（1） G的任两条不邻接的边x与y称为是互相独立的。（2） 若且中任两条边都是互相独立的，则称为G的一个匹配。 显然，若Y是

16、图G的一个匹配，则任意的vV，v至多与Y中的一条边关联。（3）设Y是图G的一个匹配，若对G的任一匹配Y´，恒有|Y´|Y|，则称Y是图G的一个最大匹配， 定义2设G=(V，E是一个偶图且V=V1V2对任意xE，x是连接V1的一个顶点与V2的一个顶点的边，则（1） 若存在一个 匹配Y使得|Y|=min|V1|，|V2|，则称Y是偶图G的完全匹配。（2） 若|V1|V2|，则称Y为G的一个完美匹配。说明：（1）若偶图G有完全匹配，则Y必是G的最大偶匹配，但反过来不一定；（2）若G有完美匹配，则G的顶点数必是偶数并且对任意v，Y中恰好有一条边与v关联。例3 求的完美匹配的个数，其

17、中顶点集合3.3 霍尔定理（相异性条件）许多问题提出了偶图的完全匹配的存在性问题1935年，霍尔给出霍尔定理的几种证法，并且证明霍尔给出的充分必要条件可以从门格尔定理推出。定理1 设G=(V1V2，E是一个偶图，|V1|V2|。G中存在从V1到V2的完全匹配充分必要条件是V1中任意k个顶点(k=1，2， ， |V1|至少与V2中的k个顶点相连接。该条件称为相异性条件。用相异性条件判断一个偶图是否存在完全匹配常常很不方便，下面的充分条件比较便于实际应用。定理2 设G=( V1V2，E是一个偶图，|V1|V2|。G中存在从V1到V2的完全匹配的充分条件是存在正整数t，使得V1中每个顶点的度大于等于t，V2中每个顶点的度小于等于t。该条件称为t条件。定理3 从t条件可以推出相异性条件。证: 对于V1中的任意的v1，v2，vr，与它们关联的顶点个数m，从v1，v2，vr到V2的边数为e。根据t条件：v1中的每个顶点至少和t个顶点相关联，则emt。V2中的每个顶点至多和t个顶点相关联，则emt。故有，mt>rt，即m>t，结论成立。注意：定理3中反过来不能推出t条件。例4 现有4名教师：张、王、李、赵，要求他