2019年高考北京卷理科数学真题(含答案)(真题及答案)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。1 .已知复数z=2+i ,则z ZA. 3B.、,5C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得Z,然后根据复数的乘法运算法则即得 .【详解】z 2 i,z z （2 i）（2 i） 5 故选 d.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查2 .执行如图所示的程序框

2、图，输出的s值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.2 12【详解】运行第一次， k=1 , s 2 ,3 1 2一2 22c运行第二次，k 2 , s 2 ,3 2 2一2 22c运行第三次，k 3 , s 2 ,3 2 2结束循环，输出s=2 ,故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查x 1 3t,3.已知直线l的参数方程为y 24t 4为参数），则点（1Q）到直线l的距离是A.2 B.54 C.D.【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可【详

3、解】直线l的普通方程为4x1 3y 2 0,即4x 3y 2 0,点1,0到直线l的距14 0 2| 6离d =22，故选D.,42 325【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程转化点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识？基本运算能力的考查.4.已知椭圆x22ab2A. a2=2 b2由题意利用离心率的定义和【详解】椭圆的离心率 e故选B.2的 a,b,c的关系可得满足题意式.b2,a4bI '，属于容易题，注重基础知识？基本运算能力的手1 (a>b>0)的离心率为B. 3a2=4 b2【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质查.5.若x, y满足| x | 1 y ,且

4、y 1,则3x+y的最大值为A. - 7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可1 y【详解】由题意，作出可行域如图阴影部分所示y 1 x 1 y4设 z 3x y, y z 3x,当直线lo：y z 3x经过点2, 1时，取最大值5.故选c.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画 ？移？解”等步骤可得岫目难度不大题，注重了基础知识？基本技能的考查6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2 -m151 E121g E2,其中星等为m1的星的亮度为E (k=1,2 ).已知太阳的

5、星等是26.7 ,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 -10.1【答案】D【解析】【分析】,E1E1E1先求出lg ,然后将对数式换为指数式求h 再求 有E2E2E251 E1【详解】两颗星的星等与亮度满足m2 mi -lg,2E2令 m21.45 , m126.7 ,-E122,/“、1g m2 ml-( 1.45 26.7) 10.1E2 55，且 1010.1 巨 1010.1E2E1'故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算uuv uuuvuuu uuu

6、uuu7.设点A, B, C不共线，则“ AB与AC的夹角为锐角”是“ | AB AC| | BC| "的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可【详解】: A?B?C三点不共线uuv uuuv uuir I AB + AC I>I BCuuv uuuv uuuv uuuv I I AB + AC l>l AB - ACuuuv uuuv .| AB + AC |2>|uuuv uuuv _uuir uuuvAB - AC |2AB

7、 ? AC >0uuu uuuvAB 与 AC的夹角为锐角.故“uuuv uuuvAB与AC的夹角为锐角”是uuv uuuv| AB + AC |>|uuirBC |”的充分必要条件故选C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模化归数学思想. 22.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 c： x y 1|x| y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）曲线C上任意一点到原点的距离都不超过J2;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是D.ASB.C.将所给方程进行等价变形确定 x的范围可

8、得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围,2= 2= 2详解】由X2 y2 1 xy得，y2 x y 1 x2|x|3x3x _ 2 41 ,1 屋0,x,24432所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C :xy2 1 x y恰好经过（0,1）,（0,-1）,（1,o）,（1,1）,（-1,o）,（-1,1）六个整点，结论正确y2 1 x* * J x2 y2 HMF原点的距离都不超过.如图所示，易知A 01C 1,1,D四边形ABCD的面1111 即“心形”区域的面法错误.22，解得x y 2 ,所以曲线C

9、上任意一点到0,1，3,很明显“心形”区域的面积大于2Sabcd,故选C.【点睛】本题考查曲线与方程？曲线的几何性璜本不等式及其应用属于难题，注重基础知识？基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共110分）、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.函数f(x)=sin 22x的最小正周期是 【答案】万 .【解析】【分析】将所给的函数利用降哥公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可21 cos 4 x【详解】函数f x Sin 2x cos，周期为- 22【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式？三角函数的最小正周期公式，属于基础题10.设等差数列an的

10、前n项和为Sn,若a2=- 3, S5=- 10,则a5=2 Sn的最小值为【答案】(1). 0.(2).-10.【解析】【分析】首先确定公差，然后由通项公式可得 a5的值，进一步研究数列中正项？负项的变化规律得到和的最小值.【详解】等差数列an中，S55a310 ,得出 2,比 3 ,公差d a3 a2 1,%氏 2d 0,由等差数列an的性质得n 5时，an 0,n 6时，斗大于0,所以Sn的最小值为 4或S5,即为10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式 ？等差数瘫蜀械质，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示

11、.如果网格纸上小正【答案】40.【解析】【分析】【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算方形的边长为1 ,那么该几何体的体积为画出三视图对应的几何体，应用割补法求几何体的体积【详解】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积 V=4 3- 2 (2+4 ) X 2X4=401/>T12. 已知 l ， m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：l，m； m/;l，.以其中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： 【答案】如果l X a , m / a ,则U m.【解析】【分析】将所给论断，分别作为条

12、件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1 )如果 U a , m / a ,则l,m.正确；(2 )如果l，a , Um,则m / a1不正确，有可能m在平面a内；(3)如果l,m , m / a ,则l, a.不正确，有可能l与a斜交、l/ a【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力 .13.设函数f (x) =ex+ae-x (a为常数).若f (x)为奇函数，则 a=;若f (x)是R 上的增函数，则 a 的取值范围是_【答案】 (1). -1;(2).,0 .【解析】【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此

13、可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围 .【详解】若函数f xexae x 为奇函数 ,则 f x f x ,e xaexexae x ，a 1 ex ex 0对任意的X恒成立.x xx x2x若函数 f x e ae 是 R 上的增函数,则 f ' x e ae 0 恒成立 , ae2x,a0 .即实数的取值范围是,0【点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性 ?利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识 ?基本运算能力的考查.14 . 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为

14、60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/ 盒、 90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付元；在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为 _【答案】（1）. 130.（2）. 15.【解析】【分析】（ 1 ）将购买的草莓和西瓜加钱与 120 进行比较，再根据促销规则可的结果；（2）根据yv 120、y 120分别探究.【详解】 （1 ） x=10 ，顾客一次购买草莓和西

15、瓜各一盒，需要支付（ 60+80 ） -10=130 元 .（ 2 ）设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元，yv 120元时，李明得到的金额为 yX80%,符合要求y 120元时，有(y-x) X80% 列X70% 成立，即 8 (y-x) >7y, x< ,即 xw y ) min=15 元. 88所以x的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力，有一定难度.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 .在AABC 中，a=3 , b- c=2 , cos B=；.(n)求 sin (B-

16、C)的值.a 3【答案】(i ) b 7 ； c 5(n)773.【解析】【分析】(I )由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值;(n)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 22. 2a c bcosB 2ac【详解】(I)由题意可得：b c 2a 3sin B C的值.12a 3,解得：b 7.c 5(n)由同角三角函数基本关系可得:sin B . 1 cos2 B结合正弦定理bsin Bcsin C可得:sinCcsin B 5 3b 14很明显角C为锐角，故cosC故 sin B C sin B cosC1 sin 2 C卫14 ' cos B si

17、n C2 s/3.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力16.如图,在四棱锥PABCD 中，PA，平面 ABCD,ADXCD, AD /BC, PA=AD=CD=2 ,BC=3 . E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC(I)求证：CD，平面PAD;(n )求二面角 F KE -P的余弦值；PG 2(出)设点G在PB上，且- -.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.PB 3【答案】(I)见解析;(出)见解析.【解析】【分析】(I )由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;F-AE-P的余弦值;(n)建立

18、空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角(出)首先求得点G的坐标，然后结合平面 AEF的法向量和直线 AG的方向向量可判断直线 是否在平面内.【详解】(I )由于PA，平面ABCD, CD 平面ABCD,则PAXCD,由题意可知 AD ± CD ,且PAPAD=A, 由线面垂直的判定定理可得 CD,平面PAD.(n)以点A为坐标原点，平面 ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz,易知：A 0,0,0 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0 ,uuir i uuir2 2 4由PF二PC可得点F的坐

19、标为F 一，一，一33 3 3uuu i uuir由 PE 2PD 可得 E 0,1,1 ,ir设平面AEF的法向量为：m x,y,z ,则23y3z 0v uuv2 2 4m AF x, y,z ,3 3 3v uuvm AE x,y,z 0,1,1ur据此可得平面 AEF的一个法向量为： m 1,1,1,r很明显平面AEP的一个法向量为n 1,0,0ir rir r cos m,n_i_虫、3 13面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为2332 uuu4PB可得G -, 33uuir(出)易知 P 0,0,2 ,B 2, 1,0 ,由 PGunr 则AGIT 注意到

20、平面AEF的一个法向量为：m 1,1, 1 ,ur uuir其m AG 0且点A在平面AEF内，故直线 AG在平面AEF内.17 .改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A, B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：交付金额(元)支付方式(0,1000(1000,2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(I)从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A, B两种支付方式

21、都使用的概率;(n)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求 X的分布列和数学期望;(出)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化？说明理由.【答案】(I) 2； 5(n)见解析;(出)见解析.【解析】【分析】(I)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(n)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可(出)由题意结合概率的定义给

22、出结论即可.【详解】(I)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为:100 30 25 540人,则:该学生上个月A, B两种支付方式都使用的概率40 p 100(n)由题意可知,仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占3525金额大于1000金额大于1000的人数占的人数占25，35 '且X可能的取值为0,1,2.3 26p X 0-，5 525 '13252_6525X分布列为:X012p X6251325625，6136其数学期望：E X 01 21.252525（出）我们不认为样本仅使用 A的学生中本月支付金

23、额大于 2000元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多， 频率越来越稳定于概率。学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了 “小概率事件”【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关18 .已知抛物线 C： x2= - 2py经过点（2 , - 1）.（I）求抛物线 C的方程及其准线方程；（n ）设O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线l交抛物线C于两点M , N

24、, 直线y=- 1分别交直线 OM , ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过 y轴上的两 个定点.2【答案】（I）x 4y, y 1 ；（n）见解析.【解析】【分析】（I）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；从而确定圆的方(n)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,程，最后令x=0即可证得题中的结论.2【详解】(i)将点2, 1代入抛物线方程：22p 1可得:P 2,2故抛物线方程：x 4y,其准线方程为:(n)很明显直线1的斜率存在，焦点坐标为0,设直线方程为y kx 1,与抛物线方程4 y联立可得:4kx 4 0.故：K x24Kxix24

25、.2x1设 Mx1 , N x2 ,42x2,则 kOM4x27，直线OM的方程为yx1与y1联立可得:A3Kr 4,同理可得B , 1又2易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:Xi2, 1X2,圆的半径为:XiX22且：一x12 x1 x22kx2x1x2xix22 ,x1 x24x1x2xx22，k2 1，则圆的方程为:x 2k. 2令x 0整理可得：y2y 30,解得：y13,y21,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点0,3 , 0,1 .直线与抛物线的位置关系，圆【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定, 的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力13

26、219.已知函数f(x) x x x4(I)求曲线y f(x)的斜率为1的切线方程;(n)当 x 2,4时，求证：x 6 f (x) x；(出)设F(x) | f(x) (x a)|(a R),记F(x)在区间2,4上的最大值为 M(a),当M (a)最小时，求a的值.【答案】(I) x y 0 和 27x 27 y 64 0.(n)见解析；(出)a 3.【解析】(I)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程;(n)由题意分别证得f x x 60和f x x 0即可证得题中的结论;(出)由题意结合(n)中的结论分类讨论即可求得a的值.一.，、3 2-，.

27、，、3 2-.【详解】(I) f(x)4x2x1,令 f(x)4x2x1 1#x。或者x当x 0时，f (0) 0,此时切线方程为y x,即x y 0；88864当x二时，f (-) 二，此时切线方程为y x gp 27x 27y 64 0； 332727综上可得所求切线方程为xy0和27x27 y640.132.、32一.、32(n)设 g(x) f (x) x 4x x g(x) -x 2x,令 g (x) -x 2x 0得x 0一 88、或者x 大所以当x 2,0时，g (x) 0, g(x)为增函数；当x (0,0)时，g (x) 0, 338 .g(x)为减函数；当x 二，4时，g

28、(x) 0, g(x)为增函数； 3而 g(0)g(4)0,所以 g(x) 0,即 f(x) x；6 ,可求其最小值为h( 2)h(x) 0 ,132同理令 h(x) f (x) x 6 x x 4即f(x) x 6,综上可得x 6 f (x) x.(出)由(n)知 6 f(x) x 0所以M (a)是a, a 6中的较大者，若 aa 6,即 a03时，M(a)a a 3；若 aa 6 ,即 a3时，M(a)a6 a 63；所以当M (a)最小时，M (a)3 ,此时3 .【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化

29、能力和计算求解能力20.已知数列an,从中选取第ii项、第i2项、第im项(ii<i2<-yim),若21 1”，则称新数列 可，ai2， ，aim为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都 是an的长度为1的递增子列.(I)写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(n)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am,长度为q的递增子列的末项的最小值为 a0 .若p< q ,求证：amo < a-0;(出)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等 .若an的长度为s的递增子 列末项的最小值为 2s T,且长度为s末项为2s T的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2 ,)， 求数列an的通项公式.【答案】(1)135,6.(n)见解析;(出)见解析.【解析】【分析】(I)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；（n）利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;（山