2020年中考二轮复习讲义二次函数与平行四边形存在问题(无答案)

1、平行四边形存在问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题多以压轴题形式出现，具包涵知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对 学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的“热点”，更是难点。存在性问题类型很多，今天研究分析平行四边形存在性问题的常规方法。以函数为背景的平行四边形存在问题，是代数几何综合题中难度较大的一类问题，也是近几年陕 西中考24题常考的综合题型，不少学生遇到这类问题，总感觉无从下手，谈之色变！希通过对平行四边形存在性问题的探究，让学生积累起以函数为背景的平行四边形 存在问题的常规解题方法，在后面的中考复习中到能有所帮助。两个

2、重要结论，解题的切入点1.线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点A坐标为（xi,必），点B坐标为（X2, y2）,则线段的中点坐标为/ xi +x 2 yi+y 2)2，22.平行四边形顶点坐标公式：（简称 ：“对点法”）平行四边形ABCD勺顶点坐标分别为 A （xD (x D,y d),贝U： xa+xc=xb+xd； yA+yc=yA,y a) , B (x B,y b) , C (x c,y c)B+yD.17平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之 和也相等.平面直角坐标系中的平移平面内，线段 AB平移得到线段 AB,贝U AB/ AB, AB=AB; AA /

3、 BB , AA= BB.B到A的平移法则与 B到A的平移法则相同； A到点A与点B到点B的运动 法则也是相同。Xa-X产X* XXa f R-X殊途同归y=y*y*y* =y6一yE卜 1女E-Xa=Xw -X* f Xr -XA=Xb -xb_y*=丫鼠-y* yv -ya=y* 一丫氐结果的表述可以化成同一种形式xa+xb =xb+xa ； yA+yB =yB+yA .即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.【问题呈现】如图，线段AB平移得到线段 A B,已知点A (-2 , 2) , B (-3 , -1) , B (3,方法一：(平移法)解析思路：AB/ AB,AB=A

4、B,由平移的性质知：线段 AB是由线段AB按照某个方向平移一定 距离得到的，只要找到平移的方向以及平移距离那问题就可以解决。平移后 A对应A, B对应B。- B (-3, -1) , B (3,1 ).二点B向右平移|-3-3|或|3- (-3) |个单位,再向上平移|-1-1|或|1- (-1) |个单位得 到。即点B向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B将A(-2, 2)向右平移6个单位，再向上平移2个单位可得A (4, 4),即A (4,4) 也可以看作是由线段 AA平移得到BB, A平移后对应B,A对应B,由A(-2 , 2),B(-3 , 1)找到平移的方向和距离，再根据相同的

5、平移法则求出A即可。方法二：(对点法)解析思路：= AB/ AB , AB=AB四边形ABBA是平行四边形设 A ( xa ,y A )又. A(-2 , 2),B(-3 , -1),B (3,1 )-2+3=-3+x a ;2+1=-1+yA-2+3=-3+x a ;2+1=-1+yA Xa =4, yA =4A (4,4)也可以用中点坐标公式来求，先说明四边形ABB A是平行四边形，则对角线交点为 E, E点既是AB中点，也是BA中点；根据A (-2,2 ) B (3,1 )求出AB的中点坐标 E(0.5 , 1.5)因为中点 E (0.5,1.5 ) ,B(-3 , -1 ),所以可知

6、A (4,4 )对点法实际上就是由中点坐标公式推导而来的。模型分布在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：(1)已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”)；(2)已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构 成平行四边形(简称“两定两动”)；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。学生在拿到 这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误： 一是确定动点位置时出现遗漏,二是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。实际上，这类题型的解法是有 章可循的，

7、就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。平行四边形存在性问题解题策略1 .基本思路：(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有 所不同)；(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置)；(3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)。可以把 存在性问题的基本思路叫做“ 三步曲”：一 “分”二“作”三“算”。2 .平行四边形题型攻略：(1)如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点；(2)如果为“两定两动

8、”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点 连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。3 .平行四边形解题技巧：(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行 四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方 程求解；(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决；(3)灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单.典例分析模型1 :三定一动【问题呈现】例1:如图1,平面直角坐标系中，已知 A (-1 , 0), B (1 , -2) , C (3, 1),点D是平 面内一动

9、点，若以点 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点 D的坐标是“三定一动”确定平行四边形的方法已知不在同一直线上的三点 A B C,在平面内另找一个点 D,使以A B G D为 顶点的四边形是平行四边形.答案有三种：以AB为对角线的口 ACBD以AC为对角线的 ABCD以BC为对角线的口 ABDC.解析：第一步：首先我们”分清题目模型”；. A (-1 , 0), B (1 , -2) , C (3, 1),这三点均为定点，点 D位置不确定，可知是“三 定一动”模型。第二步：寻找分类标准，进行分类讨论并作图。A、B、C三定均为定点，则AR AG BC为定线，以AB AG BC分别为对角

10、线分类讨 论；作图：过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线；三 条直线相交于D,D2, Q;第三步：计算，(代数法求解点 M的坐标)D3 方法一：(平移距离法)设点Di(m,n),利用平行四边形对边水平距离相等和竖直 距离相等可得n-1=0+2;m-3=-1-1n=3, m=1Di (1,3)设 D2 (a,b),则 a-1=-1-3,b-(-2)=0-1a=-3,b=-3. D2 (-3, -3)同理可得D3 (5,-1 )方法二：(平移法)如图，过 ABC三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要 求的点D.1)因为DC/ AB,且D1C=AB

11、那么沿BA方向平移点C可以得到D1;点B (1,-2)向左平移2个单位，再向上平移2个单位可以与点A (-1,0 )重合；所以点C (3,1)向左平移2个单位，再向上平移2个单位可以得到点D1 (1,3);2)因为D2A/ BG DA=BC那么沿CB方向平移点A可以得到D2；点C (3,1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位可以与点B (1,-2)重合;点A (-1,0 )向左平移2个单位，再向下平移3个单位可以得到点D2(-3 , -3);3)因为D3C/ AB, DC=AB那么沿AB方向平移点C可以得到D3;点A (-1,0 )向右平移2个单位，再向下平移2个单位可以与点B (1,-2)

12、重合;点C (3,1)向右平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到D3 (5,-1)反思：通过定线平移方向，找出两定点的平移规律，确定另外两点的平移规律；方法三：(对点法)设点D (m,n)1)若 AC为对角线时，则有：Xd+Xb=Xa+Xc , y D+yB=yA+ycm+1=-1+3,n-2=0+1m=1,n=3. Q (1,3)2)若 AB为对角线时，有：xd+xc=Xa+xb , y D+yc=yA+yBm+3=-1+1,n+1=0-2m=-3,n=-3D2 (-3 , -3)3)若 BC为对角线时，贝有：xd+xa=xb+xc , y D+yA=yB+ycm-1=1+3 ,n+0=-

13、2+1m=5,n=-1.D3 (5, -1 )反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形 顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角 线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论 .若AB为对角线时，取 AB中点Q则Q点坐标为(0, -1 )点D与点C关于点Q对称- C (3,1)D2 (-3 , -3)若BC为对角线时，取BC的中点W则W勺坐标为(2, -0.5 )- A (-1 , 0) D3 (5, -1 )方法四(中点坐标公式)， 若AC为对角线时，取 AC 中点O- A (-1,0 ) , C (3,1)

14、 则。点坐标为(1,0.5 ) B点与D点关于点。对称. B(1,-2)所以 D (1,3)变式训练11.已知抛物线 L: y=ax2+bx+c(aw0)经过 A(3, 0),B (-1,0) , C (0,3)三点(1)求抛物线解析式(2)求该抛物线顶点坐标(3)在坐标平面内是否存在点D,使以A、B G D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由;变式训练2如图，二次函数L:y =2x2 -1x的图形经过AOC勺三个顶点，其中A(-1,m), B33(n,n)；(1)求A、B两点的坐标(2)在坐标平面上找点C,使以A、Q B、C为顶点的四边形是平行四边形这样的点

15、 C有几个？(3)能否将抛物线L平移后经过A C两点，若能求出平移后经过 A、C两点的一条抛物线解析式；若不能，说明理由？模型2:两定两动两定两动模型的分类标准：先确定定线，以定线为边或以定线为对角线进行分类讨论。【问题呈现】例2 如图5,在平面直角坐标系中，抛物线 A(-1,0), B(3,0), q。，-1)三点.(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点 Q P、A、B为顶点的四边形是平 行四边形，求所有满足条件点 P的坐标.解：(1)易求抛物线的表达式为 y = 1x2 - 2x-1 33(2)解析：第一步：首先我们“分析清题型”A (-1,0) , B (

16、3,0)是两个定点，而P,Q点位置不确定，可知是“两定两动”模 型；第二步：寻找分类标准，进行分类讨论并作图; 丁点A B为定点，连接AB,则AB为定线；分类标准：1)以定线AB为平行四边形边；2 )以定线AB为平行四边形对角线；第三步：利用“几何特征计算”，分析几何特征，建等式求解点P坐标。方法一：(平移距离法)由题意知点Q在y轴上，设点Q座标为(0, t)；点P在抛物线上，设点P坐标为(m ；m2-3m-1)要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则分以下情况讨论；1）若以AB为边时，则AB/ PQ, 则点B到点Q的水平距离就等于 |-1-m|=3-0 . 1+m=31 1+m=-

17、3 m=2,（舍去）m=-4 Pi （-4,7 ）,yiP11Q1l /|Xa-Xp| a O|Xb-Xq| . bxAB=PQ，点 A到点P的水平距离,y/ 七一甲1/ / |Xa-Xp| a C |Xb-Xq| bxc J点A到点Q的水平距离等于点 B到点P的水 平距离m-3=1,所以 m=4 p2 (4,5/3 )2)若以AB为对角线时，则AQ/ PB,AQ=PB点A到点Q的水平品目离等于点P到点B的水平品喃 . 1=3-mm=2 P3 (2, -1 )C1, /“ 、7 ”B XCP3综合以上这样的点有3个，分别是Pi (-4,7),5. _.P2 (4, ,P3 (2,-1)方法二：

18、(把特殊直线上的点看作定点，转化“三定一动”)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0, t)；点P在抛物线上，设点P坐标为(m , 1m2- 2m-1). 33点Q在y轴上，是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了.当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m, -m=-4, - 1(-4,7);当以 BQ为对角线时，得：-1+m=3+0, ； m=4, ； P2(4,5/3);当以AB为对为线时，得:-1+3=m, . . m2RQ, -1).综上，满足条件的点 P为 R(-4,7)、P2(4,5/3)、P3(2, -1).反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物

19、线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在 y轴上，横坐标为 0,则用平 行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例 中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设.另外，把在定直线上的动点看成一个定 点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类， 分三种情况讨论. 方法三：(对点法) 第一步：根据各点特征，设出各点坐标- A (-1,0 ) , B (3,0)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0, t)；点P在抛物线上,设点P坐标为(m 1m2-

20、2m-1).33第二步：以其中一个定点与其余三个点相对(对角线)，利用对点法建立方程求解;要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分以下情况讨论;当点B与点A相对时，则有3 - 1 = m + 00+0=t+1m2- 2 m - 1 33当点B与点Q相对时，则有3 + 0 = -1 + m0+t=0+1m2- 2 m - 1 33当点B与点P相对时，则有3 + m = -1 +00 + 1 m2 - 2 m - 1 = 0 + t33m=2 P1 (2, -1 )m=4, P2 (4,5/3 )m=-4, P3 (-4,7 )综合以上这样的点P有三个，分别是R(2,-1) 、P2(4,

21、5/3) 、P3(-4,7).方法四：(几何性质 +中点公式)- A (-1,0 ) , B (3,0);由题意知点 Q在y轴上，设点 Q坐标为(0, t);点P在抛物线上, 设点P坐标为(m 1m2 - 2m-1). 33要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则分以下情况；当 AB为边时，则 AB/ PQ AB=PQ=4因为点Q的横坐标为0,则PQ=4,.点P的横坐标为4或-4当 x=4 时，则 y=16/3-8/3-1=5/3P1 (4,5/3 )当 x=-4 时，则 y=8-1=7; P2 (-4,7 )当AB为对角线时，取AB中点H, 则 H (1,0)点Q的横坐标为0,点Q

22、与点P关于点H对称;则P点的横坐标为2 P3 (2, -1 )综合以上,则这样的点 P有3个，分别是 P1 (4,5/3 ) ,P2 (-4,7 ) , P3 (2, -1 );函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，可以用坐标平移法从“几何”的角度解决问题，需要先画出图形，再求解，才能使问题直观呈现，问题较简单 时，优越性较突出，动点多时，不容易画出来。变式训练31 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y= x2+2x+3与x轴交于A、B两点, 点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M A B为顶点的四边形是平行四2 .如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线 交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点