合工大电磁场与电磁波第六章答案汇总

1、第 6 章习题答案6-1 在 r 1、 r 4、0 的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是E（z,t） Em sin（ t kz ）3 若已知 f 150 MHz ，波在任意点的平均功率流密度为0.265 w/m 2 ，试求：（1）该电磁波的波数 k ? 相速 vp ?波长?波阻抗?（2） t 0， z 0 的电场 E（0,0） ?（3）时间经过 0.1s之后电场 E（0,0） 值在什么地方？ （4）时间在 t 0时刻之前 0.1s，电场 E（0,0） 值在什么地方？ 2f解：（ 1） kr 2 （ rad/m ）c8vp c/ r 1.5 108 （m/s）2 1（m） k120r 60 （

2、）r122) Sav 21 Em21Em2 0.265 10 6 Em 1.00 10 2(V/m)3E(0,0) Em sin 8.66 10 3(V/m) 33) 往右移 z vp t 15 m4) 在 O 点左边 15 m 处6-2 一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是E 10 4e j20 zex 10 4e 2ey 伏 / 米试求： （ 1）电磁波的传播方向？（ 2）电磁波的相速 vp ?波长?频率 f ?（ 3）磁场强度 H ?（4）沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？ 解：（1） 电磁波沿 z 方向传播。（2）自由空间电磁波的相速 vp c 3 108 m/s2

3、00.1(m)k 20 c20 c f 10c 3 109Hz21 7 j(20 z ) j20 z3) H 1ez E 2.65 10 7(e 2 ex e j20 zey)(A/m)1 * E E *11 24)Sav 12Re(E H*) E2E ez 2.65 1011ez(W/m2)6-3 证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在证 jkE0e jkz 0 ，即不满足 Maxwell 方程 不可能存在 E E0e jkzez的均匀平面电磁波。E E0e jkzez 的均匀平面电磁波。6-4 在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为 电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有

4、危险吗？(根据美国国家标准，人暴露在微波下的限制量为 超过 6 分钟，我国的暂行标准规定每 8 小时连续照射，不超过 3.8×102W/m 2。) 解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为1V/m ，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该 22102W/m 2不SavEe1 2.65 10 3 W/m20 377可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。6-5 在自由空间中，有一波长为 12cm 的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为 时 E 31.41V /m ，8cm，且此H 0.125A /m 。求平面波的频率以及无损耗

5、媒质的r 和 r 。解：因为 0 / r r ，所以 r r (12 / 8)2 9/4 E20.4443120 H又因为 E 120 H，所以 rr 1 ， r 2.256-6 若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度v 运动，同时一个均匀平面波也沿电荷所受的磁场力与电场力的比值。 解：设 v沿 z轴方向，均匀平面波电场为 E ，1Hez E0zv 的方向传播。试求该则磁场为电荷受到的电场力为Fe qE 其中 q 为点电荷电量，受到的磁场力为 q 0vE0EFmqv B q 0vez Hqv 0 0EqvEc故电荷所受磁场力与电场力比值为FmFe c6-7 一个频率为 f 3GHz ， e

6、y 方向极化的均匀平面波在r 2.5 ，损耗角正切值为沿正 ex 方向传播。求波的振幅衰减一半时，传播的距离； 求媒质的波阻抗，波的相速和波长；10 2 的非磁性媒质中，1)2)3)设在 x 0处的 E 50sin 6 109 ty ，写出 H (x,t) 的表示式。解：（1） tan10 2 ，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和理想介质的相同。其衰减常数为10 2 10 2 2 3 109 2.5 8 0.4972 2 2 3 108因为 e i 1/2，所以 l ln2 1.40m(2)对低损耗媒质，/ 120 / 2.5 238.4 1 3 108

7、相速 v 1.90 108 m/s2.5波长 v/ f 0.0632(m) 6.32(cm)3 108(3)6 109 2.5 99.3H (x,t) 50e 0.5x sin(6109tx)ez30.5x 90.21e 0.5x sin(6 109t 99.3x)ez (A/m)6-8 微波炉利用磁控管输出的r 40（1 0.3j） 。求：（ 1）微波传入牛排的穿透深度，在牛排内 8mm 处的微波场强是表面处的百分之几？（ 2）微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数 何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。120.0208m 20.8mm2.45GHz 频率的微波加热

8、食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数1.03(1 j0.3 10 4) 。说明为解：（1）121EE0e z/ e8/20.8 68%22）发泡聚苯乙烯的穿透深度22 3 10832 2.45 109 0.3 104 1.28 103(m)4 1.03可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。或 f 10kHz 的平面电磁波时，6-9 已知海水的 4S/m ， r 81, r 1 ，在其中分别传播 f 100 MHz 试求： ?vp ? ?解：当 f1100MHz 时，8.88410kHz 时，8.8 104故 f2 10kHz 时，媒质可以看成导体，可以采用近似

9、公式而 f1（1）12100MHz 时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。p12221 ( )2 11 ( )2 10.149 108 (m/s)37.5(Nep/m)42.0(rad/m)当 f1 100MHz 时0.149(m)2）1当 f2 10kHz 时10. 3970.397(Nep/m)0.397(rad/m)51.58 105(m/s)22 215.8(m)2p26-10 证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减 证：在良导体中， ，故 2 2l2 l因为 E E0e l E 0e所以经过一个波长衰减20lg E 20lg（e 2 ） 54.57（dB）E054

10、.54dB 。6-11 为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即d2式中 是穿透深度。试计算（1）收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。（2）电源变压器铁屏蔽罩的厚度。（3）若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？铝： 3.72 10 7 S/m ， r 1， r 1；铁：10 7 S/m ， r 1， r 104，f465kHz。）解：d 2 2 21）铝屏蔽罩厚度为d222 465 103 4 10 7 3.72 1077.60 10 4(m) 0.76(mm)2）铁屏蔽罩厚度为1.47 10 5(m) 14.7( m)d 2 2 50 4 1

11、20 7 104 107 1.41 10 3(m) 1.41(mm)3 d 铁 2 2 465 103 4 10 7 104 107d铝 2 2 7 7 7.33 10 2(m) 73(mm)2 50 4 10 7 3.72 10714.7 m ，故N 股纱包线的高用铝屏蔽 50Hz 的电源变压器需屏蔽层厚 73mm，太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚 可以选用作屏蔽材料。6-12 在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的 频电阻只有单股线的证：设 N股纱包中每小股线的半径为 r ， 单股线的半径为 R，则 R2 N r 2，即 RNr单股线的高频

12、电阻为R112R其中 为电导率， 为趋肤深度。N 股纱包线的高频电阻为RN2 rNRN RNr1R1 rNrNN6-13 已知群速与相速的关系是式中 是相移常数，证明下式也成立vg vpdvp dvgvpdvpd2证：由 得 d2 d(1)2 vg vpdvpvpdvp)d6-14 判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式(1) E jE1ejkzex jE1ejkzey(2) H H1e jkxey H2e jkxez ( H1 H2 0 )(3)E E0e jkzex jE0e jkzey(4)E e jkz(E0ex AE0ej ey) ( A为常数，0, )Em jkyEm

13、jky( 5) H ( e ex j e ez )6) E(z,t) Em sin( t kz)ex Em cos( t kz)ey（7） E （z,t） Em sin（ t kz）ex Em cos（ t kz）ey44 解：（ 1） z 方向，直线极化。（2） x 方向，直线极化。（3） z 方向，右旋圆极化。（4） z 方向，椭圆极化。（5） y 方向，右旋圆极化。（6） z 方向，左旋圆极化。（7） z方向，直线极化。6-15 证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。 证：设沿 z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex 方向夹角为 ，则E E1（cos ex

14、sin ey）e jzE1(ej e j ex ej 2je j ey)e j zE1(ejex jej ey)e j z E1(e j ex je j ey)e jz E右圆 E左圆6-16 证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿 z 方向传播的圆极化波为E (z,t) Em cos( t kz)ex Em cos( t kz )ey则坡印廷矢量瞬时值ezSE H E zE EezE ezEzEm2 cos2t kz22Em2 cos2 t kz2ezz6-17 有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：（1）如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化

15、？（2）如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化？（3）如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？ 解：（1）设 E1 E0（ex jey ）ej 1e jkzE2 E0（ex jey）ej 2 e jkz则 E E1 E2E0（ex jey）（ej 1 ej 2）e jkz故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。（2）设 E1 E0 （ex jey）ej 1e jkzE2 E0（ex jey）ej1e jkz则 E E1 E2j 1 jkz2E0exe 1 e jkz故合成波是线极化波。3)设 E1 E10 (e x jey )ej 1e

16、 jkzE2 E20(ex jey )ej 1e jkz则 E E1 E2 (E10 E20 )(e x jey)ej 1e jkz故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。6-18 一个圆极化的均匀平面波，电场 E E0e jkz(ex j ey) 垂直入射到 z 0 处的理想导体平面。试求：(1)反射波电场、磁场表达式； ( 2)合成波电场、磁场表达式；(3)合成波沿 z 方向传播的平均功率流密度。 解：( 1) 根据边界条件(Ei Er)|z 0 0 故反射电场为ErE0(ex jey )ej zHr 1 (-e z ) ErE0 ej z(jex ey)(2) E Ei Er2j

17、E0sin z (ex jey)1 1 2E H 1ez Ei 1 (-e z ) Er 2E0 cos z( jex ey )3)Sav1 1Re(E H )212Re 2jE0sin( z)(ex jey)02E0cos z(jex ey)6-19 当均匀平面波由空气向理想介质( r 1， 0 ) 质的相对介电常数 r 。垂直入射时，有84的入射功率输入此介质，试求介1解：因为 R 2 1 1 rR21r所以 R2又因为 R 2 1 84%0.16 ，故 R 0.41 0.4 21 0.45.446-20 当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时， 波腹点；若 21 ，则分界面处

18、为电场波节点。证：在分界面处的总电场为 E Ei0 Er0 Ei0(1 R) ， 电场的相位差，若相位差为零，则形成电场波腹点，若相位差若媒质波阻抗21 ，证明分界面处为电场R Er0 /Ei0 ，R 的幅角即为分界面处入射电场与反射 180o，则形成电场波节点。21R 2 1 ，对于理想介质， R 为-1,1 之间的实数。21若 2 1 ，则 R 0 ， R 的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点； 若 2 1 ，则 R 0 ， R 的幅角为 180o ，表示分界面处入射电场与反射电场反相，形成电场波节点。6-21 均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。在此墙前

19、方测得的电场振幅分布如图所示，求： 质墙的 r ；（2）电磁波频率 f。1）介解：（1）R 221r1r1R1R1.5 ，0.5，r92）因为两相邻波节点距离为半波长， 所以 2 2 4m3 108475(MHz)0.75m，试求：（1）6-22 若在 r 4 的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为该介质膜的介电常数及厚度；2）当波长为 0.42m的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。解：（ 1） 2 1 3r2 r1 r 32，0.75d0.13 m4 r2 4 2j tan d2) ef2 3 j 2 tan 2def2 2 j 3 tan 2def 1

20、Ref 1313 1 2j 1 3 tan 2d1 r 32j4 r 313 0.99j2R 0.1 ，即反射功率与入射功率之比为 0.1。6-23 证明在无源区中向 k 方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为下列方程证：在无源区中向k H Ek E Hk E 0k H 0 k 方向传播的均匀平面波可表示为E E0e jk rH H0e jkr因为H H0e jk re jk r H0 je jk r k r H0 je jk rk H0kHkE代入无源区麦克斯韦第 1 方程： 可得 同理可得 又因为EE0e jk re jk r E 0代入无源区麦克斯韦第 4 方程：E0je jk

21、r k r E0 je jk rk E0 j k E可得kE0同理可得kH06-24 已知平面波的电场强度E （2 j3）ex 4e y 3ez ej（1.8y 2.4 z） V/m 试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？ 解：（1） k1.8ey 2.4ez传播方向位于 yz平面内，与 y 轴夹角0 2.4 01800 arctan126.901.83（ 2）由于电场分量存在相位差arctan ，故为右旋椭圆极化。2（ 3）因为 E k=0，所以是横电磁波。6-25 证明两种介质（ 1 20 ）的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成R sin( i t ) ， T 2sin

22、t cos iR sin( i t )sin( i t )tan( i t ) ， 2sin t cos iR ， Ttan( i t ) sin( it ) cos( i t )式中 i 是入射角，t 是折射角。证：（ 1）因为R 2cos i1cos tR2cos i1cos t12 v1 sin i21 v2 sin t所以sin tcos i sin i cos t R sin t cos i sin i cos t -sin( i t )sin( i t )2） 1cos i 2cos tR1cos i2cos t sin i cos i sin tcos t sin i cos i

23、 sin tcos tsin2 i sin2 t sin2 i sin2 t sin( it )cos(it )sin( it )cos(it )tan( it )tan( it )3）因为所以T1sin( i t ) sin( i t )2sin t cos isin( it )24）T/2 (1 R/ )1sin t 1 sin( it )cos( i t )sin i sin( it )cos( i t )sin t sin( i t ) ( i t )sin i sin( i t )cos( i t ) sin t sin2 isin i sin( i t )cos( i t ) 2s

24、in tcos isin( i t )cos( it )6-26当平面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为/2。证：布儒斯特角 B arctan n arcsin2n2 arcco1 n21 n2折射角 sin t sin iniB1 n2 cos B所以布儒斯特角与折射角互余，即 B t6-27 当频率 f 0.3GHz 的均匀平面波由媒质 r 4， r 1斜入射到与自由空间的交界面时，试求 （ 1）临界角 c ?（2）当垂直极化波以 i 60o 入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何？相速vp ?（3）当圆极化波以 i 60o 入射时，反射波是什么极化的？1o解：

25、（ 1） c arcsin30o4（2）因为 ic 发生全反射所以折射波沿分界面传播，形成表面波。v2M3 108r sin i3 108 1.73 108m/s)3） 因为 ic发生全反射，反射系数的模R R 1，但反射系数的幅角/ 。将圆极化波分解成相位差 /2 的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变，但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。o45 。6-28 一个线极化平面波由自由空间投射到 r 4、r 1的介质分界面， 如果入射波的电场与入射面的夹角是 试问：（ 1）当入射角 i ?时反射波只有垂直极化波。（2）这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？ 解：（ 1） 布

26、儒斯特角 B arctann arctan r 63.4o 故当 i B 63.4o 平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。2）22cos i n sin iRcos in2 sin 2 i1n|i B 1 n2 |n 2 0.61垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的 ，故2PiPr1 0.62 18%20 ）时，其布儒斯特角应满tan 2 Br( r r )r r 16-29 证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（ 足下列关系而对于平行极化波则满足关系证：（1）tan2 Br ( r r ) r r 1 2cos i1cos tR2cos i1cos t当 i B

27、 时，R02cos B1cos t由折射定律可求出k1sin B k2sin tcos2 t 1 sin2 t 1 ( 1 sin B )2t t r r B（1）2）代入方程（ 1）sin 2 Br 2 1 2 r cos2 B 1 1 sin2 B r B r r B1r (1 sin2 B) 1 1 sin2 B rB r r Br1rr1cos2 Btan2 Br r rr r 1r 2 1rr ( r r )rr12） 1cos i 2 cos tR1cos i2cos t1cos B2cos t3）sin B r r sin t2）（ 3）式联立cos B与垂直极化相比较， r 与

28、 r 互换tan2 Br( r r )r r 16-30 设 z 0区域中理想介质参数为 r1 4、 r1 1； z 0 区域中理想介质参数为r 2 9、 r2 1。若入射波的电场强度为试求：E e j6 3x z （ex ey3ez ）（1）平面波的频率；（ 2）反射角和折射角；（ 3）反射波和折射波。解：（1）入射面为 xz 面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即E i e j6( 3x z)eyEi|e j6( 3x z)(e x3ez)已知 k1(xsin i zcos i ) 6 3x z 得2）sin i 32k1k112287MHz60o由 sin i k2 3

29、可得 sin t k1 21osin t t 35.3o, k2 18 33）R cos i2 / 1 sin2 i0.420cos i2 / 1 sin2 i2cos icos i 2 / 1 sin 2 i0.580R|( 2 / 1)cos i2 / 1 sin2 i( 2 / 1)cos i2 / 1 sin2 i0.04252 2 / 1 cos iT|2 1 i 0.638( 2 / 1)cos i 2 / 1 sin 2 i因此，反射波的电场强度为E r ErEr| ，其中E r0.420e j6( 3x z)eyE r|0.0425e j6( 3x z) ( ex ez 3)折

30、射波的电场强度为 E t EtEt| ，其中0.580eEEt|6-31 当一个 f 300 MHz 的均匀平面波在电子密度 N 10141/米3 并有恒定磁场 B0 5 10 子体内传播，试求该等离子体的张量介电常数 r ? 如果这个均匀平面波是往 z 方向传播的右旋圆极化波，其相速 vp ?ez 特斯拉的等离1)2)3)z 方向传播的左旋圆极化波，其相速 vprj2 1 00032Ne219 2 14 (1.6 10 19 )2 1014pm09.1 10 318.854 10e1.6 10 193gB031 5 10m9.1 10如果这个波是往解：(1)2088.79 10812 3.1

31、77 101722p1 1 22 0.8661 g2222p g2p g 2 0.053( g22)2p3 1p2 0.9120.866 r j0.0530j0.0530.8660.912) vp13 1083.33 108( m/s)0.866 0.0533) vp23 1083.13 108( m/s)0.866 0.0536-32 在一种对于同一频率的左、 右旋圆极化波有不同传播速度的媒质中， 两个等幅圆极化波同时向 z 方向传播， 一个右旋圆极化E1E me j 1z (ex je y)另一个是左旋圆极化E2E m e j 2z (ex jey)式中 2 1 ，试求（1） z 0 处合

32、成电场的方向和极化形式。 （ 2） z l 处合成电成的方向和极化形式。 解：（1） E1 E2 2Emex 合成场指向 ex 方向，是线极化波。（2） E1 E 2e j 1z)ey z j 2 1 z j 2 1 z)ex j(e 2 e 2 )ey 1 2 11 z)ex sin( 2 2 1 z)ey Em（e j 1z e j 2z）ex j（e j 2j 1 2 z j 2 1z j 2 1 Eme 2 （e 2 e 2j 1 2 z 2E me 2 cos（ 电场两分量相位差等于零 合成场是线极化波21sin（2 21 z）tan2 21cos（21 z）2故当 z l 时合成电场与 x 轴夹角为2 1l2N 1014 1/ 米 3 的等离子体，并有恒定磁场 B0 5 10 3ez 特斯拉，在 z 0半空间为真空。有一频率为 300MHz 的正圆极化波沿正 z 方向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输波 的场量为入射波的百分之几？ 解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为2 1 2116-33 设在 z 0 的半空间是电子密度为T 2 2211 2 的介质，其中 1 、 2 与 6-31 题相同，故2 0.866