13空间几何体的表面积和体积VIP

1、1.3 1.3 简单几何体的简单几何体的表面积和体积表面积和体积灵感不过是灵感不过是“顽强顽强的劳动而获得的奖的劳动而获得的奖赏赏” 主备人：王朝远主备人：王朝远 徐洪燕徐洪燕 耿玲耿玲 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小。、体积：几何体所占空间的大小。20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8时时5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8时时5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步表面积、全面积和侧面积 表面积表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它

2、的表面积。（每个面的面积相加 ） 全面积全面积： 全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和 侧面积侧面积：指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8时时5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年1 1月月2929日星期六日星期六8 8时时5959分分1616秒秒 云在漫步云在漫步棱柱、棱锥、棱台的侧面积 侧面积所指的对象分别如下： 棱柱-直直棱柱。 棱锥-正正棱锥。 棱台-正正棱台2.2.几何体的表面积几何体的表面积 （1 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是）棱柱、棱锥、

3、棱台的表面积就是 . . （2 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是是 、 、 ；它们的表面积等于；它们的表面积等于 . .各面面积各面面积 之和之和矩矩形形扇形扇形扇环形扇环形侧面积侧面积与底面面积之和与底面面积之和回忆复习有关概念回忆复习有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的底面是正多边形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是顶点在底面的射影是底面中心底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被

4、平行于底面的平面所截，被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形什么形状的图形.ABCDABCABCD直棱柱：设棱柱的高为直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则则S直棱柱侧直棱柱侧

5、 .（类比矩形的面积）（类比矩形的面积）圆柱：如果圆柱的底面半径为圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为，母线长为l，那么，那么S圆柱侧圆柱侧 .（类比矩形的面积）（类比矩形的面积）ch2rl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS )（直棱拄侧直棱拄侧habcabchh棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图底侧表面积SSS2思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把

6、圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rlr2 长长宽宽llSSr2 长长方方形形圆圆柱柱侧侧 圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 底侧表面积SSS2正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为为c，斜高为，斜高为h，则，则S正棱锥侧正棱锥侧 .（类比三角形的面积）（类比三角形的面积）圆锥：如果圆锥的底面半径为圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长，母线长为为l，那么，那么S圆锥侧圆锥侧 .（类比三角形的面积）（类

7、比三角形的面积）rl(2)锥体的侧面积锥体的侧面积12ch把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？hh12Sch正棱锥侧棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？/h/h正三棱锥的侧面展开图正三棱锥的侧面展开图侧面展开正五棱锥的侧面展开图正五棱锥的侧面展开图底侧表面积SSS思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圆圆锥

8、锥侧侧213602圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形r2lOr2()Srrlr rl 正棱台：设正正棱台：设正n棱台的上底面、下底面棱台的上底面、下底面周长分别为周长分别为c、c，斜高为，斜高为h，则正，则正n棱台棱台的侧面积公式：的侧面积公式：S正棱台侧正棱台侧 . 圆台：如果圆台的上、下底面半径分圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为别为r、r，母线长为，母线长为l，则，则S圆台侧圆台侧 l(rr)(3)台体的侧面积台体的侧面积注注：表面积侧面积底面积：表面积侧面积底面积1) 2cc h（把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）（类比梯形的面积）

9、hh1) 2Scc h正棱台侧 （侧面展开hh正四棱台的侧面展开图正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？下底上底侧表面积SSSS 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么侧面展开图是什么 r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环扇环22()Srrr lrl 思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关

10、系？1r2rllrrSS)21 （扇环扇环圆台侧圆台侧 r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr lS侧侧()()r lxr xrlrxr x()r lrl lOrO r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？之间有什么关系？lOOrrr上底扩大上底扩大lOrr0上底缩小上底缩小2222 ()Srrlr r l 2()Srrlr r l 22()Srrrlrl 棱柱棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是它们的侧面展开图还是平面图形平面图形，计算它

11、们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的，各面均为等边三角形的四面体四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，ABCBCSD 例2：一个正三棱台的上、下底面边

12、长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积. 分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形O1ODABCC1A1B1D1E例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角.32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800练习1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;答：60练习2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积79答：练习3： 圆台

13、的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式)cc21hS（正正棱棱台台C=021chS三三棱棱锥锥C=CchchS 直直棱棱柱柱S圆柱侧= 2rlS圆锥侧= rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧侧=所有侧面面积之和所有侧面面积之和几何体占有空间部分的大小叫几何体占有空间部分的大小叫做它的体积做它的体积一、体积的概念与公理一、体积的概念与

14、公理:公理公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体长方体= abc推论推论1 、长方体的体积等于它的底面积、长方体的体积等于它的底面积s和高和高h的积。的积。V长方体长方体= sh推论推论2 、正方体的体积等于它的棱长、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。的立方。V正方体正方体= a3公理公理2 2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。面的面积总相等，那么这两个几何体的体积

15、相等。PQ祖暅原理祖暅原理定理定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s 和高和高 h 的积。的积。V柱体柱体= sh二：柱体的体积二：柱体的体积推论推论 ： 底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱= r2h三三:锥体体积锥体体积如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S S, ,高为高为h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成 棱锥棱锥A-D1DC, 棱锥棱锥A-D1C1C, 棱锥棱锥A-BCD. 问：（问：（1 1）从）从A

16、 A点出发棱柱能点出发棱柱能分割分割成几个三棱锥？成几个三棱锥？ 定理定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是推论：如果圆锥的底面半径是，高是，高是， 那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 3131圆锥圆锥 Shss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体= =1 1h(s+ss+s)h(s+ss+s)3 3上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则（包括圆台）（包括圆台）五五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公

17、式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0SS分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小(1)(1)长方体长方体的体积的体积V V长方体长方体abcabc . .( (其中其中a a、b b、c c为长、宽、高，为长、宽、高，S S为底面积，为底面积，h h为高为高) )(2)(2)柱体柱体( (圆柱和棱柱圆柱和棱柱) )的体积的体积V V柱体柱体ShSh. .其中，其中，V V圆柱圆柱 r r2 2h h( (其中其中r r为底面

18、半径为底面半径) )Sh知识点二柱、锥、台、球的体积知识点二柱、锥、台、球的体积(3)(3)锥体锥体( (圆锥和棱锥圆锥和棱锥) )的体积的体积V V锥体锥体 . .其中其中V V圆圆锥锥 ， r r为底面半径为底面半径13Sh r2h13(4)(4)台体的体积公式台体的体积公式V V台台 注：注：h h为台体的高，为台体的高，S S 和和S S分别为上下两个底分别为上下两个底面的面积面的面积其中其中V V圆台圆台 注：注：h h为台体的高，为台体的高，r r 、r r分别为上、下两底的分别为上、下两底的半径半径(5)(5)球的体积球的体积V V球球 . .1 1h(s+ss+s)h(s+ss

19、+s)3 3h(r2rrr2)1 13 3R31 13 3例从一个正方体中，如图那样截去例从一个正方体中，如图那样截去4 4个三棱锥后，得个三棱锥后，得到一个正三棱锥到一个正三棱锥A ABCDBCD，求它的体积是正方体体积，求它的体积是正方体体积的几分之几？的几分之几？1求空间几何体的体积除利用公式法求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法题的常用方法几何体的体积小结几何体的体积小结2计算柱体、锥体、台体的体积关键计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据

20、条件找出相应的底面面积和高，要充是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题空间问题转化为平面问题RROORR球的体积：球的体积：一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为后，所得的几何体的体积与一个半径为R的的半球的体积相等。半球的体积相等。探究球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR2222

21、1 1 RR-RR- RRRR3 3第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格， 表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：设设“小锥体小锥体”的体积的体积为：为：iViVnVVVVV.321iSO O知识点三、球的表面积和体积知识点三、球的表面积和体积（O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积RSVii31 如

22、果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的体积球的体积: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。设球的半径为设球的半径为R，则球的体积公，则球的体积公式为式为V球球 .例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面积之比面积之比4，则它们的半径之比，则它们的半径之比_. R34 43 3(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2

23、 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。例例2 2：2422:134: 1例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面

24、积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果

25、球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系OABCO 例例4：已知过球面上三点：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例例5、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一一球切于正方体的各侧棱球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的一球过正方体的各顶点各顶点,求这三个球的体积之比