《双星、三星问题探究》教学设计

1、双星、三星问题探究史亚东教学分析：天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等， 12。三维目标：知识与技能1、了解双星、三星模型。2、理解双星、三星模型的特点及其运动规律。3、会用万有引力定律及相关公式解决简单问题。过程与方法1、 通过双星、三星动画模型的演示，让学生对双星、三星模型有直观的认识。2、 通过对双星三星问题

2、的处理，加强学生运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。情感态度与价值观通过双星、三星问题的学习活动，体会科学方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用。教学重点：1、 双星、三星模型的基本特点。2、 双星、三星模型的分析与求解。教学难点：双星、三星模型的分析与求解。教学方法：引导、讨论、归纳教学过程：复习导入：请同学们回顾处理天体问题的两天思路。第一条：忽略天体自转的前提下，在天体表面附近的物体受到的重力近似等于万有引力。第二条：环绕天体或者卫星绕中心天体公转的向心力来源于中心天体对环绕天体的万有引力。宇宙中有这样质量相当的两个恒星，地位相同，两颗恒星

3、相互绕着两者连线上某固定点旋转的现象,叫双星。推进新课：展示双星模型让学生观察，并思考以下问题：(1)两恒星的角速度、周期有什么关系？(2)两恒星圆周运动的向心力由谁提供？二者有什么关系?(3)两恒星间的距离和二者的轨道半径是否相同？尝试找出对应的轨道半径与两者间距离的关系?讨论回答：(1)两星具有相同的旋转周期 T,相同的角速度 ；(2)靠它们间的相互吸引力作为向心力，所以它们做圆周运动的向心力相等；(3)两星轨道半径之和等于两星间的距离；门+2=L。(同学们学习过传动装置和万有引力定律，应该不难回答出以上问题，两个半径则需要采用万有引力定 律来推导完成，以习题的形式开展)两个恒星的转动半径

4、并不相等，貌似和质量有着一定的关系，具体有着什么样的关系呢，我们进行 下面的例题处理。例：如图所示，质量分别为 ml和m2的两个星球 A和B在引力作用下都绕 O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为 L。已知A、B的中心和。三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为Go(1)求A、B两星球受到的万有引力分别为多少。(2)求星球A和B各自的转动半径ri和r2。(3)求两星球做圆周运动的周期To(4)若只能观测到 A、B两星球中心的距离为 L,其运动周期为 T,求两星球的质量之和。解：(1)由万有引力定律可知,A受到的万有引力为FbaB受到的万有引力为FabGm1 m2L2Gm1m2L

5、2可发现A、B受到的万有引力相等，即F= FbaGm1m2L2=FABGmim2L2(2) A、B绕着中间一点 。转动时需要的向心力分别由二者受到的万有引力来提供，由万有引力提供向 心力可知,对A列方程Gm1m2L2对B列方程Gm1m2L2m2；联立解得A的转动半径为m2miriL m2miB的转动半径为2Lmimb(3)两星球的运动周期为L3G(m1 m2)经过处理可知,m1r2v2m2rivi可见，双星的转动半径和自身的质量成反比,运行速率和质量成反比。A和B,月球绕其轨(4)联立解得4 2L3GT2例：如图所示，质量分别为 m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕 。点做匀速周运动， 星球

6、A和B两者中心之间距离为 L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为Go求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 道中心运行为的周期记为 Tio但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期丁2。已知地球和月球的质量分别为5.98 1024kg和7.35 M 022kg 。求T2与Ti两者平方之比。(结果保留3位小数)A和B的向心力相等。A和B绕。做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则B和O始终共线，说明 A和B有相同的角速度和周期。因此有2r M 2R,m对A根据牛顿第二定律和

7、万有引力定律得GMmm .L , r 一Mm/2 、2 M m()T M化简彳导T 2L3G(M m)将地月看成双星，由得 T12L3:G(M m)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMmL2m(率)2L化简得2L3GM所以两种周期的平方比值为(T2)2T1_24_ 225.98 107.35 105.98 10241.01所以这样的近似是合理的。例：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式一种是三颗星位于同一直线上两颗星围绕中央星在同一半径为Rm(1)试求第一种

8、形式下，星体运动的线速度和周期(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少解析(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F_Gm2F F2Gm22(2R)2L2一 一 2，一Fi+F2=mv/ R运动星体的线速度:v=GmR2R周期为T,则有T=2在 vT=4兀叵, 5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为R' = r/2,由力的合成和牛顿运动cos 30由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供定律有:l-Gm2F 合=2 cos30r2匚 4冗F 合=m-

9、2- RT21所以 r=(12)3R5课堂小结：通过上面的学习，可以发现天体物理中的双星，三星的相互作用同样遵循万有引力的规律, 他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行 周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的，抓住这条思路就可以解决双星、三星问题。(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等;(2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等;(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 + r2= L.双曲线及其标准方程教学设计设计理念1. 课标解读:普通高中数学课程标准(实验)

10、中指出：(1)高中数学课程应设立“数学 探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。(2)高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提

11、倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容， 加强数学教学与信息技术的结合。 （ 4） 高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识的评价。基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。2. 高考解读：解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大

12、的比例，对运算能力有较高的要求， 但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。3. 教材解读：本节课的教学内容是数学选修2-1 第二章圆锥曲线与方程§ 3.1 “双曲线及其标准方程” ，教学课时为 1 课时。圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分考虑到了知识学习由易到难

13、的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主要内容是：探求轨迹（双曲线） ；学习双 曲线概念；推导双曲线标准方程；学习标准方程的简单求法，在学习过程中 应注意双曲线与椭圆的区别与联系。教学目标：1. 知识与技能：（ 1） 能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（ 2） 能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。（ 3） 能根据已知条件求双曲线的标准方程。2. 过程与方法：（ 1） 经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。（ 2） 在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。3.情感、态度

14、与价值观：(1)经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。(2)通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。(3)经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知 识的积极态度3、 教学重点和难点：1 .教学重点：(1)双曲线的定义。(2)双曲线的标准方程。2 .教学难点(1)由双曲线的标准方程确定焦点位置。(2)根据条件求双曲线的标准方程。4、 学习者分析1 .知识结构：双曲线是圆锥曲线中最后学习的曲线，再此之前学生已经学习了椭圆 曲线，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲 线的定义及标准方程不太困难。2 .认知结构：高二

15、学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂问题 的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨 引领效果。3 .授课班级学生特点：本节课教学对象是南校区文科普通班学生，学生的知识技能 基础较弱，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过 程不在课堂完成，而是设计为 A类学生的必做作业及其他学生的兴趣作业。5、 内容分析：本节内容主要分为：1 .复习引入：复习椭圆的定义，提出问题“将椭圆定义中之和改为之差，轨迹是什 么？通过拉链动画演示探究双曲线的轨迹，引入课题“双曲线及其标准方程”.2 .课程讲解：(1)双曲线的定义：在这一环节采用启发式教学

16、法探究双曲线的定义，学生 要理解双曲线定义中“差的绝对值”和“常数大于0小于两定点距离”的条件。(2)双曲线的标准方程：在这一环节进一步体会解析几何中求曲线方程的一 股方法，根据本班的具体情况，弱化方程的推导过程，直接给出方程，让学生类比椭圆的方程进行理解学习，特别注意椭圆和双曲线焦点位置判断和a、b、c关 系的不同。3 .知识应用：在这一环节通过例题向学生示范规范解题过程，通过练习检测巩固学生是否 突破难点：即通过双曲线的标准方程确定焦点位置和根据条件求双曲线的标准方 程。4 .课堂小结：在这一环节要求学生回顾本节课主要内容，考查学生对课堂目标的掌握情况,同时展示学习目标，帮助每个学生反思是

17、否完成学习目标。6、 教学方法和评价本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生 主要通过自主探究和小组协作的方法完成学习。7、 教学资源：1 .传统的排式教室，投影仪和黑板。2,课本及配套课件。8、 教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习引入【知识复习】复习提问“椭圆的定义是什么？”举手回答椭圆的定 义复习椭圆的定义 并引入新课题【新课引入】1.设问：“若将椭圆定义中 的之和改为之差， 结果如何？理解问题，产生探究 兴趣由和变差，快速引 入新课2.轨迹探究：(1)解释拉链探究轨迹原 理：拉链在拉开和合拢过 程中，两边长度相等，现 将拉链的一边的端点固 定，另一边选

18、择一点固定。引发学生思考：拉链 咬合处到固定的两点的长 度有什么美系，拉链在拉 开和合拢过程中咬合处到思考发现：到一个定 点距离比另一个定 点距离长多余的那设计的需要学生 思考的两个问题 是拉链画双曲线 轨迹中两个很关 键的点，通过这 两个思考问题，理 解借助拉链画出 来的轨迹上的点 满足到定点的距 离之差是常数，从两个固定点的距离如何艾 化？说明现在拉链的咬 合处放一支笔，那么在拉 链拉开或合拢过程中笔尖 留卜的轨迹上的点满足到 定点跑离之差为定值。F分；距离在变大 或者变小，但距离之 差不斐。理解拉链回 双曲线的原理。而能够顺利的理 解后面的双曲线 的定义。(2)动画演示双曲线轨 迹，说明

19、点的轨迹是左右 两支曲线，取名双曲线观看轨迹的形成过 程及结果使用动画既能形 象直观的展示轨 迹形成过程，帮助 学生顺利理解双 曲线上点的特点， 同时节省了时间。3.引入课题并板书“双曲 线及标准方程”目标展小课件展示学习目标了解学习目标学生了解学习目 标，目标做指引， 学习更图效【双曲线的定义探究】1.提问：你能否给双曲线下个定义？双曲线下定义学生在下定义时 会错误的给出“距 离之差是常数”， 设计让学生先试 误，对知识记忆深 亥IJ。2.分析：右支是到定点Fi、 F2距离之差为2a的点的 集合，左支是跑离之差为 -2a的点的集合，两支则为 距离之差的绝对值为2a定值的点的集合。理解双曲线定

20、义中 常数是“差的绝对 值”。通过对错误的更 正，学生对定义中 “差的绝对值”理解更深刻。(1)给出双曲线的初步定 义“平间内到两个定点Fi、 F2距离之差的绝对值是常根据建构主义的 学习观，学生对知 识理解后才能自 主建构为自己的新课讲解数的点的集合叫双曲线”。(2)提问：类比椭圆定义， 椭圆中要求常数大于F1F2 之间距离，双曲线定义中 的常数有没有条件限制？(3)提问：等于F1F2的 轨迹是什么？(4)思考：若常数为0, 轨迹是什么？(5)课件展示双曲线的完 整定义，同时给出焦点和 焦距的定义。思考并回答：常数要 小于F1F2；并解释原 因：三角形中两边之 差小于第三边。思考回答：两条射

21、线 思考回答线段 F1F2 的中垂线理解掌握：双曲线定 义及焦点焦距概念知识。设计的这几 个思考问题能帮 助学生理解双曲 线定义中常数的 条件。对于条件限 制，由学生先猜 想，再分析不满足 条件时点的轨迹， 证明猜想，培养学 生严谨的数学思 维。【双曲线标准方程探究】1 .回忆求曲线方程的一般 步骤2 .双曲线焦点在x轴的标 准方程的探究(1)建系：提问：双曲线 如何建系？分析Fi、F2点 的坐标(-c, 0) (c, 0)(2)设点：设 M (x, v) 为双曲线上任意一点(3)列式：首先给出定义 式 IMFi MF2 2a，由定 义带入点坐标列式。(4)化简：分析和椭圆刻 式的异同点，点拨

22、化简思， 给出化简结果。3 .双曲线方程与标准方程 的比较：提出问题：比较 双曲线与椭圆A.标准方程 有何异同点；B.a, b , c 的关系有何异同点？4 .双曲线焦点在y轴的标回答：一般步骤：建 系、设点、列式、化 简回答：”以F1F2所在 直线为x轴，以F1F2 中垂线为y轴建立 直角坐标系”的建系 过程。和椭圆刻式比较，发 现异同点，回忆椭圆 方程的化简思路，感 兴趣的同学课后推 导。回答标准方程的：相通过双曲线的建 系说明进一步体 会对称建系的原 则根据建构主义学 习观，采用先行组 织者策略，将新知 识与所学知识建 立联系，学生能够准方程：给出方程，要求 A类学生和其他感兴趣的 同学

23、课卜证明。5 .焦点在x轴和在y轴的 两类双曲线方程比较：课 件给出双曲线的两类方 程，板书同时提问：如何 通过双曲线的方程判断焦 点的位置。6 .巩固练习课件展示练习1:求 双曲线的焦点坐标同点：形式一样/、同点：两式运算一 减一加，a2始终对应 系数为正的一式 a,b,c关系：相同点：都有一数平 方等于另两数平方 和关系/、同点：双曲线中 c2=a2+b2, c 值最大, a、b大小关系不确 定;椭圆中a2=b2+c2, a值最大，b、c大小 关系不确定更顺利的学习新 知识，同时建立清 晰的知识网络关 系。通过练习检测是 否突破难点：由双 曲线方程判断焦 点位置习题练习【例题讲解】例1.已知双曲线的焦点为 F1(-2,0)、F2(2,0)，双曲