2015高考真题——课标Ⅰ卷理科

1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试课标卷理科数学注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数满足，则（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：由得，故，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）（A） （B） （C） （D）【

2、答案】D【解析】试题分析：原式=，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题N，则为（A）N， （B）N，（C）N， （D）N，【答案】C【解析】试题分析：:N，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点若，则的取值范围是（A） （B） （C）（，） （D）（

3、，）【答案】A【解析】试题分析：由题知，所以，解得，故选A.考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛【答案】B【解析】 试题分析：设圆锥底面半径为，则，即，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，故选B.考点：圆锥的体积公式（7）设

4、为所在平面内一点，则（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】试题分析：由题知=，故选A.考点：平面向量运算（8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（A）Z （B）Z（C）Z （D）Z【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，解得，所以，令，Z，解得，Z，故单调减区间为（，），Z，故选D.考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（A）5 （B）6 （C）7 （D）8【答案】C【解析】试题分析：执行第1次，,，？是，循环，执行第2次，？是，循环，执行第3次，？是，循环，执行第4次，？是，循环，执行第5次，？是，循环，执行第6次，？是，循环，执行第7

5、次，？否，不循环，故选C.考点：程序框图（10）的展开式中，的系数为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：在的5个因式中，2个取因式中，剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.考点：排列组合；二项式定理（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为解得，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公

6、式；圆柱的测面积公式（12）设函数=，其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析1】试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，当时，0，所以当时，.当时，=，直线恒过斜率且，故，且，解得1，故选D.【解析2】 由题意知不等式有且只有一个整数解，当时，所以为的解，则，即，故，当时，由知，即当时，；当时，所以在上为减函数，故当时，故仅当时，有且仅有一个整数解，故选D.考点：导数的综合应用第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，

7、考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数为偶函数，则_.【答案】【解析】 试题分析：由题知是奇函数，所以，解得.考点：函数的奇偶性（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.【答案】【解析】试题分析：设圆心为，则半径为，则，解得，故圆的方程为.考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程（15）若满足约束条件则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为.考点：线性规划解法（16）在平面四边形中，°，

8、则的取值范围是_.【答案】（，）【解析】试题分析：如图所示，延长，交于，平移，当与重合与点时，最长，在中，由正弦定理可得，即，解得=，平移，当与重合时，最短，此时与交于，在中，由正弦定理知，即，解得，所以的取值范围为（，）.考点：正余弦定理；数形结合思想三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分） 为数列的前n项和.已知，.（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（）（）【解析】试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列的递推公式，可以判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；（）根据（）数列的通项公式，再用裂项相消

9、法求其前项和.试题解析：（）由，可知.可得 ，即因为，所以.又 ，因为，所以=3，所以数列是首项为，公差为的等差数列，通项公式为. 6分（）由可知，设数列前n项和为，则 12分考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；裂项相消法（18）如图，四边形为菱形，°，是平面同一侧的两点，平面，平面，.（）证明：平面平面；（）求直线与直线所成角的余弦值.【答案】见解析（）【解析】 试题解析：（）连结，设，连结在菱形中，不妨设由，可得由平面，可知又，所以，且在Rt中，可得，故在Rt中，可得在直角梯形中，由，可得 6分（）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长度，

10、建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得，所以，. 10分故.所以直线与所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值表中，.（）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（

11、）已知这种产品的年利率与的关系为.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，.【答案】（）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（）（）【解析】试题解析：（）由散点图可以判断，适宜作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.2分（）令，先建立关于的线性回归方程.由于 ， ，所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为. 6分（）（）由（）知，当时，年销售量的预报值 ，年利润的预报值 9分（）根据（）的结果知，年利润的预报值 所以当，即时，取得最大值.故

12、年宣传费为千元时，年利润的预报值最大. 12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点（）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N处的切线方程 .（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0，即可求出关系，从

13、而找出适合条件的P点坐标.试题解析：（）由题设可得，或，.又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为，即.在处的导数值为，在点处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设为复合题意得点，直线的斜率分别为. 将代入得方程整理得. . =. 当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补， 故=，所以点符合题意. 12分考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）.（）当a为何值时，轴为曲线的切线；（）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点

14、；当时，有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. 5分（）当时，从而，故在（1，+）无零点. 当时，若，则，,故是的零点；若，则，,故不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.（）若或，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点. （）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取得最小值，最小值为.若，即，在无零点.若，即，则在有唯一零点；若，即，

15、由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点. 10分综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点. （）若为的中点，证明：是的切线；（）若，求的大小.【答案】（）见解析（）°【解析】试题解析：（）连结，由已知得，.在Rt中，由已知得

16、，故.连结，则.又，所以，故，是的切线.5分（）设，由已知得，.由射影定理可得，所以，即.可得，所以.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为（R），设与的交点为,，求的面积.【答案】（）,（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为. 5分（）将代入，得，解得=，=，故，即.因为的半径为1，则的面积. 10分考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数，.（）当时，求不等式的解集；（）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值