用数学归纳法证明不等式第1课时

1、1 第四讲:数学归纳法证明不等式 1课时: 数学归纳法编写 谢卫群学习目标: 1. 掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明过程 .2. 学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题中的应用 .知识线索 关于正整数 n 的命题 (相当于多米诺骨牌 , 我们可以采用下面方法来证明其正确性:10. 验证 n 取 时命题 ( 即 n =n 时命题成立 (归纳奠基 ;20. 假设当 时命题成立,证明当 n=k+1时命题 (归纳递推 .30. 由 10、 20知,对于一切 n n 的自然数 n 命题 ! (结论要诀 : 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .【知识建构】1. 数学归纳法的本

2、质:无穷的归纳有限的演绎(递推关系2. 数学归纳法公理:(1 (递推奠基 :当 n 取第一个值 n 0结论正确;(2 (递推归纳 :假设当 n =k (k N *,且 k n 0 时结论正确; (归纳假设证明当 n =k +1时结论也正确。 (归纳证明由 (1, (2可知,命题对于从 n 0开始的所有正整数 n 都正确。课时目标呈现课中师生互动 课前自主预习 高二数学选修 4-52 典例透析例 1:已知数列 , , , , , , 13(23110717414114321S S S S n n 计算 (, +-根据计算结果, 猜想 的表 达式 n S ,并用数学归纳法进行证明。解:变 式 :数

3、 列 an 中 , 1n na a +>,a 1=1且211( 2( 10n n n n a a a a +-+=(1求 234, , a a a 的值;(2 猜想 an 的通项公式,并证明你的猜想。例 2:证明 能够被6整除。变式 求证:n 为奇数时, x n +y n 能被 x +y 整除 .例 3平面上有 3 个点,其中任何三点都不在同一条直线上。过这些点中任 意两点作直线,这样的直线共有多少条?证明你的结论。变题:平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交与两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆把平面分成 n 2-n+2个部分。课堂小结 数学归纳法证题 4、应用数学归纳

4、法要注意以下几点:(1 第一步是基础 ,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的;(2 第二步是证明传递性 ,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳法;(3 n 0是使命题成立的最小正整数 , n 0不一定取 1,也可取其它一些正整数;(4 第二步的证明必须利用归纳假设 ,否则不能称作数学归纳法。34 1、已知 112a =, 133n n n a a a +=+, 则 2345, , , a a a a 的值分别为 ,由此猜想 n a =_. 12(1(61941. 12+=+n n n n 用数学归纳法证明2 1( 13(1037241. 2+=+n n n n 用数学归纳法证明证

5、明你的结论。 边形有多少条对角线? 凸 n . 35用数学归纳法证明 : 1*5231( n n n A n N -=+能被 8整除 .课后训练提升5 第四讲:数学归纳法证明不等式 2课时:数学归纳法证明不等(二 编写 谢卫群学习目标:1. 进一步 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明问题基本步骤 ;2. 会运用数学归纳法证明含有如意正整数 n 知识线索 :关于正整数 n 的命题 (相当于多米诺骨牌 , 我们可以采用下面方法来证明其正确性:10. 验证 n 取 时命题 ( 即 n =n 时命题成立 (归纳奠基 ;20. 假设当 时命题成立,证明当 n=k+1时命题 归纳递推 .30. 由 10

6、、 20知,对于一切 n n 的自然数 n 命题 ! (结论【知识建构】1.数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P (n .(1证明当 n 取第一个值 n 0时,结论正确,即验证 P (n 0正确;(2假设 n=k(k N 且 kn 0时结论正确,证明当 n=k+1时,结论也正确,即由 P (k 正确 推出 P (k+1正确,根据(1 , (2 ,就可以判定命题 P (n 对于从 n 0开始的所有自然数 n 都正确.2.有的问题需要先作等价变换。课时目标呈现 课中师生互动 课前自主预习 高二数学选修 4-5例 2 证明不等式 |sin |sin |( n n n

7、 N *例 3:证明贝努利不等式 . (1 1(1, 0, , 1 n x nx x x n N n +>+>->随堂检测:1:试证明:不论正数 a 、 b 、 c 是等差数列还是等比数列, 当 n >1, n N *且 a 、 b 、 c 互不相等时, 均有 a n+c n>2b n.2:用数学归纳法证明2*22( n n n N +>. 2:; 2:.1, ? . n n n n n a n b a b =例 观察下面两个数列 从第几项起 始终小于 证明你的结论 1,4,9,16,25,36,49,64,81, 2,4,8,16,32,64,128,25

8、6,512,1、 用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、 作商比较法、 综合法、 分析法和放缩法, 以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P (n . (1证明当 n 取第一个值 n 0时,结论正确,即验证 P (n 0正确;(2假设 n=k(k N 且 kn 0时结论正确,证明当 n=k+1时,结论也正确,即由 P (k 正确 推出 P (k+1正确,根据(1 , (2 ,就可以判定命题 P (n 对于从 n 0开始的所有自然数 n 都正确.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点:(1

9、在从 n=k到 n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征;(2瞄准当 n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3活用起点的位置;(4有的试题需要先作等价变换。 第 7课时训练题 姓名 班号 座位号: - 1、已知 f(n=(2n+7·3n +9,存在自然数 m, 使得对任意 n N, 都能使 m 整除 f(n,则最 大的 m 的值为 ( A.30B.26C.36D.62、 . 观察下列式子:222221311511171, 1, 1222332344+<+<+< 则可归纳出 _ _.。(下列不等式都成立

10、的一切正整数 证明:对大于 1 131211(321, 2. 32-+n n nn n课后训练提升的范围。的正整数 求满足不等式(成立?证明你的结论; 对哪些正整数 不等式 n n n n n n n <+> 1122 1.(44都成立。,不等式 的正整数 于任意大于 用数学归纳法证明:对 nn nn 1131211. 5222-<+ 第四讲:数学归纳法证明不等式第 3课时:数学归纳法证明不等式 (三编写 谢卫群 1. 掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明过程 . 2. 对数学归纳法的认识不断深,初步体会数学归纳法的综合应用 . 知识线索 :1. 关于正整数 n

11、的命题 (相当于多米诺骨牌 , 我们可以采用下面方法来证明其正确性: 10. 验证 n 取第一个值时命题成立 ( 即 n =n 时命题成立 (归纳奠基 ; 20. 假设当 n=k时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立 (归纳递推 . 30. 由 10、 20知,对于一切 n n 的自然数 n 命题都成立! (结论 要诀 : 递推基础 不可少 , 归纳假设 要用到 , 结论写明 莫忘掉 .2.不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇,综合考查运用不 等式 知识解决问题的能力,在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点 . 需要灵活运用各分支的数学知识 . 课时目标呈

12、现课中师生互动 课前自主预习 高二数学选修 4-5典例透析例 1 证明 : 如果 (n n 为正整数 个正数 12, , , n a a a 的乘积 121n a a a =,那么它们的和 12n a a a n + .例 2 证明 :222111112(, 2. 23 n N n n n+<-例 3(2005年江西第 21题第(1小题,本小题满分 12分 已知数列n a , :的各项都是正数 且满足 0111, (4, . 2n n na a a a n N +=-(1证明 ; , 21N n a a n n <<+ (2求数列 n a 的通项公式 a n.随堂检测： 1.

13、 已知 n Î N , n ³ 2, 证明： < 1 2 1 1 + + n +1 n + 2 + 1 < 1. 2n 2当 n 2 时,求证: 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n > n； 课堂小结： 近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。 对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。 达标导练 课后训练提升 1.证明：当an = 1 · 2 + 2 · 3 + L + n(n + 1 (n是正整数）时，不等式 n(n + 1 (n + 1 2 < an < 对一切正整数 n都成立。 2 2 11 2.已知a1 , a 2 , a 3 , L, a n Î (0, p , n是大于 1的正整数，求证 sin(a1 + a 2 + L + a n < sin a1 + sin a 2 + L + sin a n。 3 （05 年辽宁卷.19 本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x = x+3 ( x ¹ -1 设数列 an 满足 a1 = 1, an+1 = f (an ， bn 满足 x +1 bn =| an - 3 |, Sn = b1 + b2 + （ ）用数学归纳法证明 bn £ + bn (n