实变函数第二章习题解答

1、第二章习题参考解答第二章习题参考解答1:证明：有理数全体是 R 中可测集，且测度为0.证：（1）先证单点集的测度为 O.-x三R ，令E =x. - ; .0,- n三NX 尹），因为m*COE 二 in f v |丨 JIn -1OOI n为开区间 <oCx In丄1 n丨.故m * E二0 .所以E可测且mE二0 .n丄2 nIn 二 E， n -11第二章习题参考解答#第二章习题参考解答（2）再证：R中全体有理数全体Q测度为0.设rn n x是R冲全体有理数，-n.= N，令En =4.则 En是两两不相交的可测集列，由可测的可加性有:QO=m( En)n AoO=Z 0 = 0.

2、n -A法二：设 Q 二nn；，- n N ，令 ln，（ncd-、mEn -1rn ），其中；是预先给定的 n2 n切#第二章习题参考解答#第二章习题参考解答CO与n无关的正常数，则：m * Q =inf | 1 n |COI0i 二 Q汀 II i I = '= ”.由得n ±ii -1jy 2任意性，m * Q = 0 .2.证明：若E是Rn有界集，则m* :.证明：若E是Rn有界.则日常数M > 0，使X/ x=（xX2，Xn）E，有| E =< M，即X/i （1兰i c n）,有Xi |兰M ，从而nE | Xj - M ,Xj M .i 土nn所以

3、m * E 三 m * | Xj - M , XjM 乞 ' 2M = （2M ）:二i =1i T3至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？解：不能.事实上，设E Rn， E中有一个内点xCXj-Xn），EV 0 ,使得d，Xi2drn d 6 ) :_ E .则 m * E 丄 m * | (Xj - 一，Xj ，)2y22 所以m * E = 0.4. 在a,b上能否作一个测度为b _a，但又异于a,b的闭集？ 解：不能事实上，如果有闭集 Fa, b使得mF =b 一 a .不失一般性，可设 a F且b F .事实上，若 a F，则可作 F * 二 a F，F * 二a , b.

4、且 mF * 二 m a mF mF .这样，我们可记 F * 为新的 F，从而a, b _ F = (a,b) _ F = (a, b) _ F (a, b).如果a, b -F = ，即 x 三a,b - F = (a, b) - F，而(a,b) - F 是开集，故 x是a,b-F 的一个内点， 由 3 题，m * ( a, b - F ) = m( a, b - F ) = m(a, b) - mF = 0 .这与 mF = b - a 矛盾.故不存在闭集F二a,b且mF =b -a5. 若将§ 1定理6中条件"m( En)：:二"去掉，等式- m(lim

5、 En) : lim mE n是否仍QonJSC成立？解：§ 1定理6中条件"m( En)："是不可去掉的.n迭0事实上，n N，令E n n 1, n)，贝U Enn是两两相交的可测集列，由习题一得15 题：lim En = lim E n = 一.故 m (lim E n) = 0，但 n N , mE n = mn -1, n) = 1 .所以 n护n护lim mE n = 1 .从而 lim mE m(lim En).n ,n ,n_ .6. 设E! ,E2,是0,1)中具有下述性质的可测集列：- ； 0 , N使mEk J - ；，证明：m ( E i

6、) =1i zi证：事实上，一； 0 ,因为 Tk N , mE k 1 - ；1 丄 m 0,1二 m ( E i )亠 mE k - 1 -；i比7. 证明：对任意可测集 A, B，下式恒成立.m( A B) m(A B)二 mA mB .证明：A B=(A B-A) A 且(A BA) A 二一故 m(A B)=m(A B-A)mA.即 m(A B)mA=m(A B-A)=m(B-A)又因为 B =(B _A) (BA).且(B _A) (B A) = ，所以 mB =m(B _ A) - m(B A)故 m(A B)_mA 二 mB_m(A B),从而 m(A B) m(A B)二 m

7、A mB8. 设是Ai , A2是0,1中的两个可测集且满足 mA mA? 1，证明：m(Ai A2) 0 .证：m( AA2) m( A1 A2) = mA1 mA2.又因为 m( A A2) _ m (0,1) = 1所以 m (A1A2) = mA1 mA2 - m( A A2) _ mA1 mA2 - 1 . 09. 设A,， A2， A3是0,1中的两个可测集，且 mA, mA2 mA3 . 2，证明：m( At I A2 I A3) . 0证：m(AA2 A3) m( A! A2) A3=m(A!A2) - mA 3 =m(AJ、m(A2)亠 m(A3) -m(AtA2).所以 m

8、(At A2) m( A,A2 A3) = m(A,) m(A2) m(A3-m(A, A2 A3)又因为m(A1 A2)(A2A3)(A3A1)=m(A1A2)(A1A2 A3)=m(AtA2) ' m( A1 A2A3)- m(A1 A2)( A1 A2A3)= m (A1 A?)*m( A1 A2) A3m(A1A2A3.所以 m(At A2A3)=m(A1 A2) m( A1 A2 A3)-m(A1 A?)gA3) (A3 A1)=m(AJ m(A2) m(A3)- m(A! A2Aa m( A1A2) (A2A3) (A3A1)因为 m( AA2 A3) _ m0,1 =1m

9、( A1A2) (A2 A3) (A3 AJ _ m0,1 =1 .所以m( A1A2 A3) _ m (At) m ( A2) - m (A3) 一1 一 1 = m (At) m (A2) m( A3) - 2 - 0 .10. 证明：存在开集G，使mG mG证明：设几二是0,1闭区间的一切有理数，对于一“ N，令11 :、In =(rn, rnn 2)，并且GIn是R冲开集1垃辺122mG _ ' ml nnrrn An 4 2.11 222n11而，G 二:0,1，故 mG _m0,1 =1mG .2211.设E是RA是R 中的零测集，证明：E CA不可测证明：若E CA可测因

10、为E A二A，所以m * ( E A)乞m * A = 0 即卩m * (E A) = 0 故E A可测从而E = (E A) (E CA )可测，这与E不可测矛盾故E CA不可测12. 若E是0,1中的零测集，若闭集 E是否也是零测集解：不一定，例如： E是0,1中的有理数的全体E =0,1.mE =0,但 mE =m0,1 =1.13. 证明：若E是可测集，则- ； 0，存在G .型集G _： E， F；一型集F _： E，使m( E F ) ：: ； ， m (G F )：:；证明：由P51的定理2,对于E Rn，存在G型集G二E，使得mG二m * E .由E得可测性，m * E =mE

11、 .则-； 0 . m(G - E)二 mG - mE = 0 .即-；0 , m(G - F )：；.再由定理3，有F；型集F使得F二E .且m(E - F ) =mE -mF =0 ：:15.证明：有界集E可测当且仅当-；0，存在开集G _： E，闭集F _： E，使得m(G 一 F )：: ' 1 证明：(.二)-n N ,由已知，存在开集Gn _： E，闭集Fn _： E使得m(Gn - Fn).noO令 G = G n，贝U G _： E n N ， m * (G - E)乞 m * (G n - E)乞 m * (G n - Fn)oO因为 m * E 二 inf| Ini

12、n ±n 9方体序列 I n n，使得 一 I n _： E .有 m * E ： T | I n | :： m * E .一ynJ2另一方面，由E得有界性，存在R n中闭长方体I _： E .记S = I _ E，则S是Rn中有界可测集.并且mS = ml - mE .由S得有界可测性，存在开集G_： S 有 m(G * _ S) .因为 I 二 E，故G * I _： S . 2因此一m(G * I -S)2=m(G * I ) -mS = m(G * I) _ (ml-mE )=mE - (ml - m(GI)令，F =I -G是一个闭集，并且由G* I，有.因此m(E-F )

13、 = mE - mF = mE - m(I-G * I ):，从而，存2在开集G _： E，闭集m(G F) = m(G E) (E _F)乞 m(G E)由；的任意性知,m * (R 0) = 0 .即R 0是零测集.从而，位于ox轴上的任意集E _ R 0，因此,E为零测集.16.证明：若EmRn是单调增加集列(不一定可测)且"Em，则nV00m* ( Em) =lim m * Emn mmoO证明：E = Em，即，E有界并且E!n z+E2 E3二 二 En故 m*E _m*E2 _m*E3 一_m*E“ 一<，即m * Em乙单调递增有上界.所以，lim m * E

14、m存在并且m_limm * E mm_下证：limm * E m - m * E . mJpC由于E有界,可作一个开长方体:G i , -i)，有 一"，En E ：.i =1QOIi使得 Iin 士O0En 二 inf 7 I Ii ±En，且 m * EnoCI i =： E n， I i为开长方体.故，存在开长方体序列 n ±CO°OQO< m * ( I i ) 二 m T i | I i |：: m * En ;. 心i±y令Gn =( li)厶，贝V Gn为有界开集，且En二Gn二； n 土O0m*En _m*Gn _m*(

15、In) < m* E ;.i 4qQqQ-n N，又令 AnG k (n = 1,2,).且 A An，则由 En 二 An 二二知，n去n三6第二章习题参考解答E En 二、 An 二 A 二.-： n -1n -1An是单调递增的可测序列，由P46的定理4，=m lim Ann .=lim mA n n_ .#第二章习题参考解答#第二章习题参考解答又由，An G n ( -n e N )，有 mAn_mGn：m*En 亠：.从而lim mA n _ lim m * E n 亠；.故 m * E _ lim m * E n 亠二由:得任意性，即得n ,n ,n_ .mA n - lim

16、 m * E n .从而，mA n=m*( En)=limm*En.n '> : -m 1n_ ,17.证明：Rn中的Borel集类具有连续势证明：为了叙述方便，我们仅以n =1为例进行证明：用a,b表示R 上的开区间，用(a,b)表示上的一个点 A表示R 上的所有开区间的集合；Q表示R 所有闭集；厂和二 :分别表示所有的F；_型集，所有G、.型集因为 A = a,b a, b w R ( a, b) | a,b w R：a cb u R 上 R"，又因为R"a,b aRUA.故 R"兰 AER*r' = c .所以 A = C 0 = =又

17、因为A 5 0 |存在可数个开区间Ik，有01汀.所以A _ Q 又定义映射k =4nnoO： A ' Q，j I iA：'，有( Ii)二1 k Q 故' 是一个满射.所以i 土i -4k ztC=A_Q= (A：)_A：:=C .故 A = C nn又定义：-：:Q一;， :Q一打Oi)二 Oi,(| Oi)二 Oii =1i =i则t与.都是满射所以C乞Q(Q二)乞Q ：二C 即，二：-C 同理，1一 - C 记1时R 上的Borel集的全体因集合的“差”运算可以化成“交”运算，例如：A-B=A Bc 因此，中的每个元都是 1.中可数元的并，交后而成故C-(1 1

18、 厂从而，1 =C 即，R 上 Borel集的全体的势为C .18.证明对任意的闭集 F，都可找到完备集 F F，使得mF mF .19. 证明：只要mE . 0，就一定可以找到x .二E，使对- /. . 0，有m（E 0（x,、：）.0.维长方体1证明：设E Rn， mE . 0 .首先将Rn划分成可数边长为的左开右闭的nn二 m)| mi Z.则=E U (i丄 22） | mi e Z互不相交且至多可数.不2 k SA ， A1 N .因 E ： _ l ：'iL(1)八mEkk (1 )0 .故k N，有mE - 0 .又因nEkLJi 土mi mi 亠1(F二)| mi 2

19、2Z互不相交且至多可数.故可记r =Ek2）k. a2，其中A2二N，又由,Ej 二kEk2).故 mE：1)=7 Ek2)- 0 ,所以,kk?A?二 N ,有证k2）- 0这样下去得一个单调递减的可测集列(0)(1)E 二 E k 丿二 E k'k0k1(2)Ek?其中:_j - NEjnj t mi mi 1mi二EkU (十，一:)二E U (,-i土 2j2jnmimi +1) y 22 jnmiFjmi亠1.2故闭集列Fjj 土单调递减且-j N , 0 : m（Ek（ j）)ZmF=（2）j0（j >:）2由闭集套定理，！x"Fj .j=1 1 .对于一

20、0，因 mF j _( -) j ,取 jo N ,21 .使（亦）j0 :-.则nmi mi 1X Fj0 二E Lt r,) O(x,、Q E ,722故 m(E 0 (x,、 )_ mF j°- 0 .20. 如果 E R 可测，'丄-0，记:E =（-：汶1,，爲Xn） |（X1,，Xn） E 证明：:E可测，且 m（E） - n mE证明：（1）先证：m* （二£）二-O0因为 m* (E) =inf、T lj |i"r =： : E , I i为开长方体,对于开长方体序列 I n乙,i A若"l _： 1E，则.ll i _： E ,

21、i 2i 1 ：二E也是开长方体序列，且i 4 :QOv' |li |.即:-i QOm * E _ * | I i | .因此圧iCOm * E 空 infh |iL =： : E，I i为开长方 i £另一方面，-；.0 ,因为m * E =inf0、TIii -4QOIi 二 EiI i为开长方体.故存在开长方体序列 7 | I| ： m * E r .所以：l.< aI i -： : E，故0*ad*m * (: E ) = 7 |I i | = v : n | I i | ：:n m * E 亠.由；得任意性，知i ±i 土m * ( ： E ： n

22、 m * E .从而 m * (E) =n m * E(2)再证:E可测111事实上， -TRn， T=Rn，由 E 得可测性， m(T)=m*( T E)-aaaQ0cOoOoq送 I li +X。 |=送 | li |所以 m*(E +x。) Q nf送 |li I Ul： =)E , I i 为开长方体= i .1i 1i _1：-m * E 即 m* (E x0) < m * E .下证：m* E < m * (E x0)令E E Xo，由上面的证明知，m * (E! _Xo) < m * E! 所以m* E m* (E! _x。) < m* Em * (EXo).从而，m* (E - x。) = m* E .21. 设f (x) =x2， E二R l是零测集，证明：f (E) = f (x) =x2 | x E