7-1 向量的内积与欧氏空间ppt课件

1、第一节第一节 向量的内积与欧氏空间向量的内积与欧氏空间一、欧氏空间的定义一、欧氏空间的定义 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念。的概

2、念。 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。我们取内积作为基本的概念。定义定义 1 设设V是实数域是实数域R上的线性空间，对上的线性空间，对V中任中任意两个元素意两个元素，确定一个实数（，确定一个实数（, )，如果它具有以下性质如果它具有以下性质 (1) );,(),( (2) );,(),( kk (3) );,(),(),( (4) 当且仅当 时,),(0 0 ;),(

3、0 这里这里，是是V中任意的向量，中任意的向量，k是任意实是任意实数，数，这样的线性空间称为欧几里得空间，这样的线性空间称为欧几里得空间， 称为称为与与的内积。的内积。),( 例例 1 对于对于n 维向量空间维向量空间Rn中的向量中的向量TnTnbbbaaa),.,(,),.,(2121 定义定义 niiinnbabababa12211.),( 则数（则数（, ）被唯一确定，并且满足）被唯一确定，并且满足（1）; ),(),( niniiiiiabba11 （2）; ),()(),( niiiniiikbakbkak11 （3假设假设 ,),.,(Tnccc21 ),( 那那么么);,(),(

4、)()( niniiiiiiiicbcacba11（4）,),(012 niia 当且仅当当且仅当0 ia时时;),(0 所以向量空间所以向量空间Rn在所定义的内积下在所定义的内积下构成一个欧氏空间。构成一个欧氏空间。二、向量的长度和夹角二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹角的概念。角的概念。定义定义 2 非负实数非负实数 称为向量称为向量的长度，记的长度，记为为 。显然。显然 。),( kk 定理定理1 （Cauchy-Schwarz不等式对于欧氏空不等式对于欧氏空间中任意两个向量间中任意两个向量，有有 ),(当且仅当当且仅当， 线性相关时，等号成立。（证线性相关时，等号成立。（证略）略）定义定义 3 设设， 是欧氏空间中的两个非零向量，是欧氏空间中的两个非零向量，规定规定 ),(arccos )( 0为向量为向量与与的夹角。的夹角