第二章_利息度量

1、1第一章 利息理论的起源第一节 利息的产生和性质第二节 西方利率理论第三节 马克思的利率理论2生活中的利息理论生活中的利息理论储蓄利率的问题储蓄利率的问题信用卡计息的问题信用卡计息的问题住房贷款的问题住房贷款的问题投资国债的问题投资国债的问题3第二章第二章利息的度量利息的度量本章主要从利息的基本概念理解出发，来掌本章主要从利息的基本概念理解出发，来掌握利息相关度量工具的计算及应用，为以后握利息相关度量工具的计算及应用，为以后各章学习奠定基础。各章学习奠定基础。4第一节第一节 积累函数与贴现积累函数与贴现一、利息的基本概念一、利息的基本概念1 1、利息、利息（InterestInterest）:

2、 :在一定时期内，资金所有人在一定时期内，资金所有人将其使用资金的自由权转让给借款人后所得到的报将其使用资金的自由权转让给借款人后所得到的报酬。用酬。用“I”I”来表示。来表示。2 2、本金、本金（PrincipalPrincipal）：将每项业务开始时投资的）：将每项业务开始时投资的初始金额称为本金。用初始金额称为本金。用“P”P”来表示。来表示。3 3、投资期、投资期（TermTerm）：运用本金特定时期称为投资）：运用本金特定时期称为投资期，用字母期，用字母“n”n”来表示。来表示。4 4、计息期、计息期（PeriodPeriod）：两个计息期日之间的时期）：两个计息期日之间的时期称为计

3、息期。称为计息期。55 5、利率、利率（Rate of InterestRate of Interest）：单位时间，单位）：单位时间，单位本金所获得的利息，一般用利息与本金的百分数比本金所获得的利息，一般用利息与本金的百分数比率表示。一般情况下，如无说明通常指的是年利率，率表示。一般情况下，如无说明通常指的是年利率，用字母用字母i i表示。表示。6 6、积累值、积累值（Accumulated ValueAccumulated Value）：投资开始一段）：投资开始一段时间后，回收的资金总和。又可称终值。时间后，回收的资金总和。又可称终值。例例2.1.1 2.1.1 甲向乙借款甲向乙借款100

4、100元，从元，从20082008年年1 1月月1 1日起，日起，到到20082008年年1212月月3131日归还，且归还时一次性支付利息日归还，且归还时一次性支付利息1010元。元。乙的投资乙的投资2008-1-1 2008-12-31100元元110元元6二、积累函数二、积累函数单位积累函数单位积累函数设一个单位的本金投资，我们定义该项投资在时刻设一个单位的本金投资，我们定义该项投资在时刻t（t0t0）的积累值为单位积累函数，用）的积累值为单位积累函数，用a(t)a(t)表示。表示。1 1、当、当t=0t=0时，即投资初始时刻，时，即投资初始时刻， a(0)=1a(0)=1。2 2、 一

5、般情况下，一般情况下，a(t)a(t)为单调递增函数。为单调递增函数。3 3、若、若a(t)a(t)为常数，则利息为零。为常数，则利息为零。思考：思考：如果在如果在t=0t=0、1 1、2 2、等时刻观察积累函数等时刻观察积累函数a(t)的取值，由此得到一系列积累值的取值，由此得到一系列积累值a(0)=1、a(1)、等，那么在等，那么在时刻时刻0 0、1 1、2 2、之间，积累函数之间，积累函数a(t)的的取值如何变化的？取值如何变化的？7总量积累函数总量积累函数实际中投资不止一个单位而是实际中投资不止一个单位而是k k个单位的本金，个单位的本金，则总量积累函数为则总量积累函数为A(t)A(t

6、)。则：。则： A(t)= k a(t)A(t)= k a(t) （2.1.12.1.1）当当k=1k=1时，时，A(t)= a(t)A(t)= a(t)当当t=0t=0时，时，A(0)= kA(0)= k8).3(),2);(),1, 152)(2Ata：tttA：求已知例解：解：1 1） 2 2） A A（3 3）=18+15+1=34=18+15+1=34 152)(2ttta9三、利息三、利息我们将从投资日期第我们将从投资日期第t个计息期得到的利息金额为个计息期得到的利息金额为I It t则则 I It t=A(t)- A(t-1)=A(t)- A(t-1)，t1t1，且，且t t为整

7、数为整数 2.1.22.1.2我们要注意我们要注意I It t 与与A(t)A(t)间的区别。间的区别。0 1 2 t-1 t n-1 n I I1 1 I I2 2 I It-1 t-1 In InAt-1 At10422),2),1, 152)(iI：tttA：求已知例解：解：1 1）I I2 2=A=A（2 2）-A-A（1 1）=19-8=11=19-8=11 2 2）i i4 4=I=I4 4/A/A（3 3）=19/34=19/3411练习1、已知52)(tttA求：)4(),3).;3(),2);(),1iIta2、已知batta2)(如果在0时投资100元，能在时刻5积累到18

8、0元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值？12第二节第二节 单利与复利单利与复利一、单利一、单利假定一个单位的投资在每个单位时间得到的利息是假定一个单位的投资在每个单位时间得到的利息是相等相等的，而的，而利息不再投资利息不再投资，按这种方法计算的利息，按这种方法计算的利息我们称为单利。我们称为单利。(Simple Interest)(Simple Interest)，i i为单利率。为单利率。第第t t期所获得的利息为期所获得的利息为 It=pi It=pi （2.2.12.2.1）到第到第t t期末的利息为期末的利息为pitpit第第t t期末的积累值为期末的积累值为 A A（t

9、t）=p=p（1+it1+it） （2.2.22.2.2）注：注：i i和和t t的单位必须一致。的单位必须一致。13例例2.2.12.2.1如果年单利为如果年单利为8%8%，初始投资为，初始投资为20002000元，求：元，求：1 1）3 3个月后的总利息金额？个月后的总利息金额？2 2）4 4年后的总利息金额？年后的总利息金额？3 3）4 4年后的本利和？年后的本利和？解：解：1 1）I=pit=2000I=pit=20008%8%3/12=403/12=40（元）（元） 2 2）I=pit=2000I=pit=20008%8%4=6404=640（元）（元） 3 3）A A（4 4）=2

10、640=2640（元）（元）例例2.2.22.2.2在单利率在单利率7.8%7.8%条件下，条件下，10001000元累计到元累计到16241624元需要多少年？元需要多少年？14单利的性质：单利的性质： 不同的时期所获利息金额的大小只与所经历不同的时期所获利息金额的大小只与所经历的时期的长短有关系，而与该时期的具体位的时期的长短有关系，而与该时期的具体位置无关。即有置无关。即有 a(s+t)-a(t)=a(s)-a(0)=a(s)-1,t0，s 0即：单利情况下，即：单利情况下，t至至t+s时期所赚取的总利息时期所赚取的总利息与时间长度与时间长度s成正比，与开始时间成正比，与开始时间t无关。

11、无关。15二、复利二、复利（Compound Interest) 指将本期利息转入下期本金（俗称指将本期利息转入下期本金（俗称“利滚利利滚利”），下期），下期按按本利和本利和总额计息的总额计息的计息方式计息方式。复利计算的本利和公式的推导 第1年本利和： FlP十PiP(1+i) 第2年本利和： F2P(1+i)十P(1+i)iP(1+i)2 第3年本利和： F3P(1+i)2+P(1+i)2iP(1+i)3 式中，P为本金；i为复利利率。复利本利和公式为： 推出推出tiPtA)1 ()(16由上可知：由上可知：第第t期可获得的利息为期可获得的利息为iiPt 1)1 (（2.2.32.2.3）

12、t期末的本利和为期末的本利和为tiPtA)1 ()(（2.2.42.2.4）第第t期末总共获得的利息为期末总共获得的利息为pipIt)1 (（2.2.52.2.5）17例例2.2.32.2.3如果年复利为如果年复利为8%8%，初始投资为，初始投资为20002000元，求：元，求：1 1）3 3个月后的总利息金额？个月后的总利息金额？2 2）4 4年后的总利息金额？年后的总利息金额？3 3）4 4年后的本利和？年后的本利和？解：解：1 1） pipIt)1 (=38.85=38.85元元pipIt)1 (2 2）=720.98=720.98元元3 3）tiPtA)1 ()(=2000=2000（

13、1+8%1+8%）=2720.98=2720.984我们发现，在短于一个计息期中，单利获得利息大于复利我们发现，在短于一个计息期中，单利获得利息大于复利所得利息；大于一个计息期中，单利获得利息小于复利所所得利息；大于一个计息期中，单利获得利息小于复利所得利息。我们可以证明如下。得利息。我们可以证明如下。18假设单位投资，以单利计息的积累函数为假设单位投资，以单利计息的积累函数为以复利计息的积累函数为以复利计息的积累函数为tita)1 ()(2)1 ()(1itta)(1ta)(2tat t1+i1+i11（1，1+i）i我们可以得到结论：在一我们可以得到结论：在一个度量期内（个度量期内（t1t

14、1），单），单利的积累值大于或等于复利的积累值大于或等于复利的积累值；如大于一个利的积累值；如大于一个度量期度量期（t t1 1），），单利的积单利的积累值会小于复利的积累值。累值会小于复利的积累值。19单利计算与复利计算的区别单利计算与复利计算的区别 若若 单利率单利率=复利率复利率=i，则，则 当当t=0时，时， 单利单利=复利复利=0 当当0t复利复利 当当t=1时，单利时，单利=复利复利=I 当当t1时，单利时，单利复利复利注：注：1、短期两者差异不大，长期两者有显著差距、短期两者差异不大，长期两者有显著差距 利率小则差异不大，利率大则差异显著利率小则差异不大，利率大则差异显著 2、复

15、利几乎用于所有的金融业务、复利几乎用于所有的金融业务 3、除特别声明，一般使用复利计算方式除特别声明，一般使用复利计算方式20例例2.2.4已知银行的定期存款利率为，半年期的年利已知银行的定期存款利率为，半年期的年利率为率为2.07%，一年期年利率为，一年期年利率为2.25%，2年期的年利年期的年利率为率为2.7%。现有一笔。现有一笔1万元的金额，若投资期分别万元的金额，若投资期分别为半年、为半年、1年、年、2年，问其最终本利和为多少？年，问其最终本利和为多少？从以上单利复利含义得出以下结论：从以上单利复利含义得出以下结论：在单利下，每期增长的利息为常数在单利下，每期增长的利息为常数pipi；

16、在复利下，每期增长相对比率为常数在复利下，每期增长相对比率为常数i i。单利下：单利下：I=a(t+1)-a(t)=1+(t+1)i-(1+ti)=iI=a(t+1)-a(t)=1+(t+1)i-(1+ti)=i复利下：复利下：ti)1 ( ti)1 ( 1)1 (ti-a(t+1)-a(t)a(t+1)-a(t)a(t)=(1+i)-1=i=(1+i)-1=i21练习练习1、若在单利、若在单利3%的条件下，的条件下，1000元在元在0.5年、年、1年、年、5年末的积累值分别为多少？年末的积累值分别为多少？2、若在复利、若在复利3%的条件下，的条件下，1000元在元在0.5年、年、1年、年、5

17、年末的积累值分别为多少？年末的积累值分别为多少？22第三节第三节 实际利率与名义利率实际利率与名义利率一、一、实际利率实际利率是指一个度量期内得到的利息金额与该度量期开始是指一个度量期内得到的利息金额与该度量期开始时投资的本金额之比。用字母时投资的本金额之比。用字母i in n（从投资日算起的（从投资日算起的第第n n个度量期的实际利率）表示，是百分数。个度量期的实际利率）表示，是百分数。以下几方面去把握该含义以下几方面去把握该含义1 1、“实际实际”表示每个计息期支付一次利息的利率，表示每个计息期支付一次利息的利率，是与是与“名义利率名义利率”相对的。相对的。“名义利率名义利率”是一个计是一

18、个计息期内支付多次利息的利率。息期内支付多次利息的利率。2 2、在该计息期本金数额保持不变。、在该计息期本金数额保持不变。3 3、实际利率是一种计息期末支付利息的度量。、实际利率是一种计息期末支付利息的度量。23根据实际利率的定义，我们可知它与积累函数之间根据实际利率的定义，我们可知它与积累函数之间的关系。的关系。i in n = =InInA A（n-1n-1）=A A（n-1n-1）A A（n n）- -A A（n-1n-1）n1n1（2.3.12.3.1）特别地当特别地当n=1n=1时，时，i i1 1= =I I1 1A A（0 0）= =ka(1)-ka(0)ka(1)-ka(0)k

19、a(0)ka(0)=a(1)-1=i (2.3.2)=a(1)-1=i (2.3.2)1、当利率以单利计息时，、当利率以单利计息时，2.3.1式可表示式可表示i in n = =i i1+i（n-1）实际利率会随着时间的增加而减少，实际利率会随着时间的增加而减少，即恒定的单利意味着递减的实际利率。即恒定的单利意味着递减的实际利率。（2.3.32.3.3）242 2、当利率以复利计息时，则、当利率以复利计息时，则 i in n=i =i （2.3.42.3.4）复利与实际利率是相同的。复利与实际利率是相同的。例例2.3.12.3.1以单利以单利8%8%计息，初始投资为计息，初始投资为1 1万元，

20、求万元，求1 1）5 5年后的积累值？年后的积累值？2 2）第一年、第二年的实际利率？）第一年、第二年的实际利率？解：解：1 1）1000010000（1+51+58%8%）=14000=14000元元 2 2）i i1 1=8%=8% 3 3）i i2 2=7.4%=7.4%上例以复利计息时，利用实际利率的含义来解？上例以复利计息时，利用实际利率的含义来解？25例例2.3.22.3.2在某账户中，第一年实际利率为在某账户中，第一年实际利率为7%7%，第二年实际利率为第二年实际利率为6.5%6.5%，第三年实际利率为，第三年实际利率为6%6%，以后每年保持不变，求账户中投资，以后每年保持不变，

21、求账户中投资1 1万元万元5 5年后的终值。年后的终值。解：解：1000010000（1+7%1+7%）（1+6.5%1+6.5%）（1+6%1+6%）（1+6%1+6%）（1+6%1+6%）=13582.22=13582.22元元26二、二、名义利率名义利率问题问题 储蓄、保险、债券投资等金融业务通储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括3个个月、月、 6个月、个月、1年、年、2年、年、3年和年和5年六个档期，年六个档期，银行挂牌的利率到底是什么意思？不

22、同期限银行挂牌的利率到底是什么意思？不同期限的利率相互之间如何比较？的利率相互之间如何比较？272013年人民币存款利率项目年利率（）整存整取三个月2.85六个月3.05一年3.25二年3.75三年4.25五年4.7528思考思考 三个月的利率为三个月的利率为2.85，一年的利率为，一年的利率为3.25 ，是否可以通过存四次三个月期获得，是否可以通过存四次三个月期获得超过一年期的利息？超过一年期的利息？ 考虑在考虑在1年期间存了取，再存再取，总共可年期间存了取，再存再取，总共可以存上四个以存上四个3个月定期，按照复利公式计算，个月定期，按照复利公式计算，可得到可得到1年下来年下来1000元的本

23、金的累计值为元的本金的累计值为1118.97元，从而利息收入为元，从而利息收入为118.97元，超过元，超过一年定期的利息收入一年定期的利息收入32.5元。元。29五年期定期的利率仅为五年期定期的利率仅为4.75，而，而1年期定期的利率年期定期的利率为为3.25 ，会有人存五年的定期吗？连续存，会有人存五年的定期吗？连续存5个个1年年定期不是可以得到更多的利息吗？定期不是可以得到更多的利息吗？注：这样理解银行所给出的不同期限的利率是不对的。注：这样理解银行所给出的不同期限的利率是不对的。银行给出的挂牌利率实际上不是实利率而是名义利率银行给出的挂牌利率实际上不是实利率而是名义利率510001 3

24、 251000 1 17341 1173 41(.).30名义利率名义利率一个计息期内支付多次利息或多个计息期支一个计息期内支付多次利息或多个计息期支付一次利息，此时一个计息期的利率称为名付一次利息，此时一个计息期的利率称为名义利率。义利率。我们用我们用i i 表示每一计息期支付表示每一计息期支付m m次利息的名次利息的名义利率，义利率，m m 1 。所谓名义利率，指每。所谓名义利率，指每1/m1/m个个度量期上的实际利率为度量期上的实际利率为i /mi /m。（m）（m m）312013年人民币存款利率项目年利率（）整存整取三个月2.85六个月3.05一年3.25二年3.75三年4.25五年

25、4.7532如如i =8%i =8%的名义利率指的是每季度的实际利率为的名义利率指的是每季度的实际利率为2%2%，称做每年计息称做每年计息4 4次的年名义利率次的年名义利率8%8%。如上，当如上，当m=1/12m=1/12时，表示一个计息期支付时，表示一个计息期支付1/121/12次利次利息，若息，若i =1%i =1%的名义利率指的每的名义利率指的每1212个月，即个月，即1 1年支年支付一次利息，且每年的实际利率为付一次利息，且每年的实际利率为（4）（1/12）1%112=12%33例例 三个月银行定期存款利率（挂牌利率）三个月银行定期存款利率（挂牌利率） 为为即每个季度计息时的实利率为即

26、每个季度计息时的实利率为2.854=0.71251000元存满三个月可得利息元存满三个月可得利息7.125元元例例 连续存连续存4个三个月定期和存一个一年期定期，哪个更合个三个月定期和存一个一年期定期，哪个更合算？（算？（ 2.85，3.25 ）假设本金为假设本金为1000元，连续存元，连续存4个三个月定期，可得利息为个三个月定期，可得利息为28.8元，而存一个一年期定期可得元，而存一个一年期定期可得32.5元利息。元利息。注：注：一年期的挂牌利率即为一年期的实利率。一年期的挂牌利率即为一年期的实利率。42 85( ).i34例例 连续存连续存2个半年定期和存一个一年期定期，个半年定期和存一个

27、一年期定期，哪一个更合算？（哪一个更合算？（3.05，3.25）假设本金为假设本金为1000元，连续存元，连续存2个半年期定期，个半年期定期，可得利息可得利息30.7元，存一个一年期更合算。元，存一个一年期更合算。35例例 已知已知2年期、年期、3年期、年期、5年期定期存款的挂牌利率年期定期存款的挂牌利率分别为分别为 求相应求相应2年期、年期、3年期、年期、5年期的实利率各为多少？年期的实利率各为多少？ 例例 比较比较1000元连续存元连续存5个个1年期定期和一次存年期定期和一次存1个个5年期所得利息的差异。（年期所得利息的差异。（3.25 ，4.75 ）1000元连续存元连续存5个个1年定期

28、可得利息为年定期可得利息为117.34元元1000元一次存元一次存1个个5年期可得利息为年期可得利息为237.5元。元。1113523 754 254 75( )( )().,.iii, ,36例例2.3.3已知年名义利率已知年名义利率8%，按季复利，求，按季复利，求500元的元的投资在投资在5年后的终值？年后的终值？解：解：元97.7424%81 50054FV37设一个计息期的名义利率为设一个计息期的名义利率为 ，相应的实际利率为，相应的实际利率为i，在，在0时刻有单位投资，求一个计息期后的终值。时刻有单位投资，求一个计息期后的终值。mmmiFV1 )(1按名义利率计算，终值为按名义利率计

29、算，终值为按实际利率计算，终值为按实际利率计算，终值为iFV12()mi38由等价的定义我们可知：由等价的定义我们可知：FVFV1 1=FV=FV2 2，则则1()()(1)111mmmmiimiim或例例2.3.32.3.3已知年实际利率为已知年实际利率为4.04%4.04%，求每半年复利一次，求每半年复利一次的名义利率？的名义利率？解：解：%4 1%)04. 41(221)2(i39练习练习1 1、已知年实际利率为、已知年实际利率为8%8%，求按季度转换的名，求按季度转换的名义利率？义利率？40第四节第四节 实际与名义贴现率实际与名义贴现率41贴现贴现是一个与积累完全相反的过程。是一个与积

30、累完全相反的过程。积累是已知积累是已知0 0时刻的初始投资本金，求其在时刻的初始投资本金，求其在t t时刻的时刻的积累值的过程。而贴现指已知积累值的过程。而贴现指已知t t时刻的积累值，求时刻的积累值，求0 0时刻的初始投资本金的过程。下面我们通过例题来时刻的初始投资本金的过程。下面我们通过例题来说明。说明。例例2.1.22.1.2某项投资，若已知某项投资，若已知t t时刻的积累值为时刻的积累值为1 1，求，求开始时投资的本金。开始时投资的本金。解：设投资本金为解：设投资本金为k k，A(t)= 1=ka(t)A(t)= 1=ka(t)注：时刻注：时刻t t的的1 1个货币单位在时刻个货币单位

31、在时刻0 0的价值称为折现的价值称为折现函数，用函数，用k=a（t）1=a（t）-1a（t）表示。）表示。-142由上可知，当初始投资为由上可知，当初始投资为 时，则在时，则在t期末的期末的积积累值为累值为1，即，即 表示表示t期末支付期末支付1的现值，我们的现值，我们称之为折现函数。特别地当称之为折现函数。特别地当t=1时，时， 称为折称为折现因子，并记为现因子，并记为v；相应的，；相应的， 也可称为也可称为t期期折现因子。折现因子。又引入了一个新概念现值。为了在又引入了一个新概念现值。为了在t期末得到某个积期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的累值，而在开始时投资的本金

32、金额称为该积累值的现值（现值（Present Valute). 是在是在t期末支付期末支付1的现值，而在的现值，而在t期末支付期末支付k的现值则相应地为的现值则相应地为a（t）-1 -1a （t） -1a （t） -1a （1） -1a （t） -1ka （t）43例例1 1 求求t t期末给付期末给付1010元的现值？元的现值？解：根据在解：根据在t t期末支付期末支付k k的现值为的现值为 则在则在t t期末给付期末给付1010元的现值为元的现值为1010例例2 2 在给定年利率为在给定年利率为2.5%2.5%条件下，若想在条件下，若想在1010年后获年后获得得1 1万元，问现在应投资多少

33、？万元，问现在应投资多少？解：解：P=10000/P=10000/（1+2.5%1+2.5%）=10000=100000.7811980.781198 =7811.98 =7811.98元元 -1ka （t）tv1044一、现值一、现值我们前面已定义了贴现函数我们前面已定义了贴现函数 ，它表示，它表示t t期期末支付末支付1 1的现值。当的现值。当t=1t=1时，时， 称为贴现因称为贴现因子，用小写字母子，用小写字母v v表示。表示。若利率以单利计算，则要想在若利率以单利计算，则要想在t t期末获得终值为期末获得终值为1 1的现值为的现值为 -1a （t） -1a （t）itta11)(1（2

34、.4.1）45若以复利计算，则：若以复利计算，则：ttvita)1 (1)(1以后若无特别说明，均使用复利。以后若无特别说明，均使用复利。例例2.4.1 在年单利在年单利9%条件下，条件下，3年末本利和为年末本利和为1000元元的投资现值为多少？若是复利，又是多少？的投资现值为多少？若是复利，又是多少？解：解：元4 .787311000) 3(10001iaPV（2.4.2）元18.772)1 (1000) 3(100031iaPV46二、实际贴现率二、实际贴现率是一个度量期内赚取的利息量（贴现量）与期末投资量是一个度量期内赚取的利息量（贴现量）与期末投资量比率，用小写字母比率，用小写字母d

35、d表示。表示。 表示第表示第n n期的实际贴现率。期的实际贴现率。注注1 1、涉及贴现率时，贴现量与利息量可互换使用；、涉及贴现率时，贴现量与利息量可互换使用；2 2、不使用本金，因为本金指的是期初的，不是期末的；、不使用本金，因为本金指的是期初的，不是期末的；3 3、实际利率中的利息在期初余额基础上支付，而实际贴现、实际利率中的利息在期初余额基础上支付，而实际贴现中的贴现在期末余额基础上支付。中的贴现在期末余额基础上支付。贴现率的公式如下：贴现率的公式如下：)() 1()()() 1()()(nanananAnAnAnAIdnn（2.4.32.4.3）nd47例例2.4.2，某人到银行存款存

36、入，某人到银行存款存入1000元，第一年末他存元，第一年末他存折上的余额为折上的余额为1050元，第二年末的余额为元，第二年末的余额为1100元，问元，问第一年、第二年的实际贴现率分别为多少？第一年、第二年的实际贴现率分别为多少？解：解：12(1)(0)504.762%(1)1050(2)(1)504.55%(2)1100AAdAAAdA48思考：思考：1 相应单利的各期实贴现率是否变化？相应单利的各期实贴现率是否变化？2 相应复利的各期实贴现率是否变化？相应复利的各期实贴现率是否变化？49对于等价的实际利率对于等价的实际利率i和实际贴现率和实际贴现率d有如下关系式：有如下关系式：1121)d

37、ididi50实际贴现率与实际利率很相似，如果本金在同样的实际贴现率与实际利率很相似，如果本金在同样的投资期内，在利率或贴现率下产生相同的终值，则投资期内，在利率或贴现率下产生相同的终值，则称这称这两个利率或贴现率两个利率或贴现率是是等价等价的。的。若某人以实际贴现率若某人以实际贴现率d d借款借款1 1元，那么实际借到的资元，那么实际借到的资金为金为1-d1-d，则支付的利息量（贴现量）为，则支付的利息量（贴现量）为d d，根据实，根据实际利率的定义：际利率的定义：iidddi11推出（2.4.4）式式2.4.42.4.4可以这样理解，以实际利率可以这样理解，以实际利率i i借款借款1 1元

38、，则在元，则在期末要归还本利和期末要归还本利和1+i1+i元，根据实际贴现率的定义可元，根据实际贴现率的定义可得，即与实际利率得，即与实际利率i i等价的实际贴现率为等价的实际贴现率为i/i/（1+i1+i）5134)dividid52贴现率贴现率d d与贴现因子与贴现因子v v有一个重要关系有一个重要关系 d=iv d=iv （2.4.52.4.5）可这样理解，单位投资在一个计息期内所赚得的利息可这样理解，单位投资在一个计息期内所赚得的利息若在期初支付为若在期初支付为d d，期末支付为，期末支付为i i，则将期末的利息，则将期末的利息i i贴贴现到期初应为现到期初应为d d。由（。由（2.4

39、.52.4.5）式还有：）式还有：iddiididiivd。davviiiiid)1 (16 . 4 . 21) 1 (1111111由于的现值式两边均代表期末支付或（2.4.62.4.6）（2.4.72.4.7）53例例 假设期初借款人从贷款人处借入假设期初借款人从贷款人处借入10000元，元，并约定一年到期时还并约定一年到期时还10500元（即年利率元（即年利率i=5）。如果借款人希望期初时即付给贷款人）。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，利息，1年到期时偿还本金年到期时偿还本金10000元，问期初元，问期初借款人实际可得金额是多少？借款人实际可得金额是多少？54类似于定义单利来定义单

40、贴现，即每一期得的贴类似于定义单利来定义单贴现，即每一期得的贴现为常数。于是在现为常数。于是在t t时，产生积累值为时，产生积累值为1 1的原始本金的原始本金为为dtdtta10 ,1)(1（2.4.8）为保证每期贴现量为正数，故要求为保证每期贴现量为正数，故要求t t有以上条件。有以上条件。式式2.4.82.4.8所定义的称为单贴现。所定义的称为单贴现。若若d dn n表示第表示第n n期的实际贴现率，则在单贴现情况下期的实际贴现率，则在单贴现情况下见下页公式见下页公式 （2.4.92.4.9）55dndnddnndnananadn) 1(1)1 () 1(1 )1 ()() 1()(111（2.4.9）我们发现，随着时间的增加，实际贴现率是递增的。我们发现，随着时间的增加，实际贴现率是递增的。56若在复贴现情况下，若在复贴现情况下，则有：则有：1( )(1)ttatvdddddnananadnnnn)1 ()1 ()1 ()() 1()()1(（2.4.102.4.10）我们发现，复