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文档简介

1、 3. 已知 f (0 = - 1 2 , 确定 f ( x 使 ò p2 P1 e + f ( x ydx - f ( x dy x 与路径无关，并求当P1，P2分别为(0 , 0 , (1 , 1 时此积分的值. 解：令 P ( x , y = e x + f ( x y , Q ( x , y = - f ( x , 要曲线积分与路径无关，必须 ¶P ¶y = ¶Q ¶x , x 即 e + f ( x = - f ¢( x . x 由此得 f(x 满足的微分方程： f ¢ ( x + f ( x = - e . 解得

2、 f (x = e 1 2 1 - ò dx ò - e × e x ò dx dx + c = - 1 2 e x 1 2 e + ce x -x . 由 f (0 = - Þ c = 0 , f (x = - ò (1 , 1 (0 , 0 (e - x e ydx + x 1 2 2 e dy = x ò 1 0 0 dx + 1 ò 2 1 0 edy = 1 2 e . 4. 计算曲面积分 其中S是由曲面 z = ¶P ¶x ¶Q ¶y I = ò

3、2; S 2 2 x zdydz + yzdzdx - z dxdy 2 2 x + y 与 z = 2- x - y 2 2 所围立体W表面外侧. 解: I = òòò W ( + + ¶R ¶z dxdydz p = òòò W ( 2 z + z - 2 z dxdydz = òòò W z dxdydz p = ò 2p 0 dq ò 0 4 0 sin j d j ò . 2 0 r cos j × r dr 2 = 2p ò 4 0 sin j cos j d j ò 2 r dr = 3 p 2 5. 计算曲面积分 ÑL ò 其中L是圆周 2 xdy - ydx x + y 2 2 2 x + y =1 按逆时针转一周 6. 计算曲面积分 Ñ òò S xd zd y + yd zd x 2 2 其中S是曲面 x 2 + y + z = 1 外侧 7. 计算曲线积分 ò L ( x 2 + 2 xy 2 d x + ( 2 x 2 y - 其中L是沿曲线 y =e sin x y d

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