高等数学曲面积分与曲线积分重点难点

1、第十二章 曲线积分与曲面积分 一基本要求 1正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两类曲面积分之间相互关系。3掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握二元函数全微分方程的求解方法。4掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。 5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、功及流量等）。 二主要内容(见第二页至第十三页 1 主要内容联系（框图）2 曲线积分和曲面积分（表格）3 曲线和曲面积分的解题步骤（框图）4

2、 格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格）5 在平面区域G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6 全微分方程（框图） 7 注解（注一至注十）（表格） 三考点与难点考点：1两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算方法。2格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。3应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。4曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点：应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。 四例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例1至例15五部

3、分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五）六试卷（见第三十一页至第三十八页）试卷(A 、试卷(B 、试卷(C 七试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷(A 、试卷(B 、试卷(C 答案及题解二主要內容 1。主要内容联系（框图） 2曲线积分和曲面积分（表格） （B ）两类曲面积分及相互之间联系 第6页 共46页 3曲线积分和曲面积分的解题步骤（框图） (A曲线积分(直接法 第7页 共46页（B ）曲面积分（直接法） 第8页 共46页第9页 共46页 5在平面区域G 上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 第10页 共46页第11页 共46页 7注解（注一至注

4、十）（表格） 第12页 共46页第13页 共46页 四例题及题解（一）曲线积分和格林公式：例1 计算曲线积分(x +y ds ，其中L 是顶点为A (1, 0, B (0, 1, O (0, 0 的三角形LABO 的边界。解：AB :y =1-x , (0x 1. BO :x =0, (0y 1. OA :y =0, (0x 1.(x +y ds =L(x +y ds +(x +y ds +(x +y ds=例2 计算曲线积分12dx +ydy +dx =2+111(x +y dy ，L 为上例曲线的有向曲线，方向取逆时针。L解法一：。L =+。：y =x , x ：10，：x =0, y ：

5、10，：y =0, x ：01。垂直y 轴, 即OA(x +y dy =0=dy +y d y +0=11012(x +y dy =L1AB(x +y dy +(x +y dy +(x +y dyBOOA1。0121解法二：由L 围住的三角形区域D 的面积为。P (x , y =0, Q (x , y =x +y 。2=dy +ydy +0=应用格林公式：L(x +y dy =(DQ P 1- dxdy =(0-1 dxdy = x y 2Dx 2y 2+=1的线密度为=(3x +2y +1 2写出曲线弧长l 的例3 椭圆曲线弧L ：49定积分形式。求曲线弧L 的平均密度。 解：由弧长的曲线积

6、分的物理及几何意义，ds 曲线弧的质量为m =ds ， 弧长l =ds ，则=dsLLLLx =2cos t ,椭圆曲线弧L 的参数方程：(0t 2 。y =3sin t ,ds =x ' t 2+y ' t 2dt =4(-sin t 2+9(cost 2dt =4sin 2t +9cos 2t dt（dt >0）第14页 共46页弧长l =ds =L24sin 2t +9cos 2t dt=(3x +2y +1 2=(3x +2y 2+6x +4y +1=9x 2+4y 2+12xy +6x +4y +1当(x , y L 时，=12xy +6x +4y +37，因为

7、曲线弧关于x 轴和y 轴对称，12xy +6x 关于x 轴、4y 关于y 轴为奇函数，在L 上积分为零，故ds ds =(12xy +6x +4y +37 ds =37ds =37ds ，=ds =37。LLLLLLx 2y 2+=1在第一象限部分顺时针方向例4 计算x dx +dy 。其中L ：椭圆曲线L 942的一段。解法一：直接计算L ：椭圆曲线参数方程x =3cos t (0t y =2sin t 2由方向知t :由计算法20x 2dx +dy =9cos 2t (-3sin t dt +2cos t dt =822L解法二：利用格林公式。曲线为非封闭，补充曲线作BO , OA 作C

8、=L +BO +OA ,O (0, 0, A (0, 2, B (3, 0 为点O , A , B 坐标。因为P Q=0, (P =x 2, Q =1 。故x 2dx +dy =0即+=0C L BO OA y xx 2dx +dy =x 2dx +dy =x 2dx +dy =8。OBAO23L（二） 曲面积分和高斯公式：例5 计算f (x , y , z dS 。其中是xoy 平面上方的抛物z =2-(x 2+y 2 。且f (x , y , z 分别等于（A ） 1; （B ）x 2+y 2; （C ） 3z .并给出上述每种几何或物理解释。解：坐标面选取xoy 平面，投影区域D ：x

9、+y 222z =z (x , y =2-(x 2+y 2 ，z x =-2x , z y =-2y第15页 共46页面积元素dS =+z x +z y dxdy =+4(x +y dxdy . 解 (A 当f (x , y , z =1，22dS =+4(x +y dxdy =d D0222222+4r 2rdr =13。 3表示曲面的面积，也表示面密度为1的曲面的质量。 解(B 当f (x , y , z =x 2+y 2，(x 2+y 2 dS =(x 2+y 2 +4(x 2+y 2 dxdyD=d r 3+4r 2dr =21493表示面密度为x 2+y 2的曲面的质量，也表示面密度

10、为1的曲面 对z 轴的转动惯量。 解(C 当f (x , y , z =3z3zdS =3(2-xD 22-y 2 +4(x 2+y 2 dxdy11110=d 3(2-r 2 +4r 2rdr =表示面密度为3z 的曲面的质量。 例6 计算f (x , y , z dxdy ，为上例有向曲面，取下侧方向。f (x , y , z 分别22等于(A 1， (B x +y ， (C 3z22解：在xoy 坐标面的投影区域D ：x +y 2。上侧取负号。 解(A 当f (x , y , z =1。22f (x , y , z d x =d y d =x -d yD。 =d -x d 2y解(B 当

11、f (x , y , z =x +yf (x , y , z dxdy =(x 2+y 2 dxdy=-(x 2+y 2 dxdy =-d r 3dr =-2D22解(C 当f (x , y , z =3zf (x , y , z dxdy =3zdxdy =-3(2-x 2-y 2 dxdyD=-3(2-x -y dxdy =-3d (2-r 2 rdr =-3。D222例7 计算(x 2+y 2 dydz ，：由锥面z =x 2+y 2，平面z =1及x =0所围在第一、四卦限部分闭曲面外侧。解法一：直接法， =1+2+3。 1：z =x 2+y 2。2：x =0，3：z =1。3在yoz

12、 平面上投影为零。1、2在yoz 平面上投影为三角形区域。D ：-z y z , 0z 1，1为前侧(x =z 2-y 2 ， 2为后侧(x =0 。1z1z(x 2+y 2 dydz =z 2dydz -y 2dydz =dz z 2dy -dz y 2dy =DD-z-z13解法二：利用高斯公式。 注意到P (x , y . z =x 2+y 2, Q (x , y , z =0, R (x , y , z =0P Q R=2x , =0, =0。曲面为外侧，为所围住的空间区域，应用x y z高斯公式。1(x +y dydz =2xdxdydz =d rdr 2r cos dz =0r -

13、3222211（三）斯托克斯公式及两类曲面积分之间联系：例8 设C 为xoy 平面上的闭曲线，C ：(x , y =0z =0曲面为平面x +y +z =2被柱面(x , y =0所截有限部分的下侧。C 所围区域D 面积为。计算(y +2z dydx +(z +3x dzdx +(x +y dxdy解：平面x +y +z =2取下侧的单位法向量n = o1,1,1,将原式化为对面积的曲面积分，然后再化到关于x , y 坐标的二重积分。 原式=13D(4x +2y +3z dS =1(x -y +6 dS =-(x -y +6 dxdy 3D=-6dxdy =-6。例9 计算I =L(y 2-z

14、 2 dx +(2z -x 2 +(3x 2-y 2 dz ，其中L 是平面x +y +z =2与柱面x +y =1的交线，从正轴正向看去，L 为顺时针方向。解：可知L 所围成的曲面为平面托克斯公式得x +y +z =2上L 所围成部分的下侧。由斯I =(y 2-z 2 dx +(2z -x 2 +(3x 2-y 2 dzL=(-2y -4z dydx +(-2z -6x dzdx +(-2x -2y dxdy=-2(y +2z dydx +(z +3x dzdx +(x +y dxdyD ：x +y =1，z =0。 区域D 的面积=2。由上例知原式=-2(-6 =24。（四）关于曲线积分与

15、路径无关条件及全微分求积：例10 已知Q (x , y 在xoy 平面具有一阶连续偏导，2xydx +Q (x , y dy =dU (x , y 且Q (0, y =y 2 L 是从点A (0, 1 至点B (2, 3 的曲线弧。 求（1）确定Q (x , y 。（2）求U (x , y 。（3）计算2xydx +Q (x , y dyL解：（1）设P (x , y =2xy ，由曲线积分与路径无关条件Q Q P=2x =x x yQ (x , y =x 2+(y 02+(y =Q (0, y =y 2(y =y 2即Q (x , y =x +y 。 （2）U (x , y =22y 0(x

16、 , y (0,0P (x , y dx +Q (x , y dy =P (x ,0 dx +Q (x , y dy22x y=（3）y 3(x +y dy =x y +32L2xydx +Q (x , y dy =U (2, 3 -U (0, 1 =12+9-12=20 33例11 设区域G =(x , y x +y 0。微分方程微分方程：(x +2y dx +ydy =0（1） 验证1是所给微分方程在G 上的积分因子。(x +y 2（2） 利用曲线积分求(x +2y dx +ydy的全微分函数u (x , y 。 2(x +y （3） 写出所给微分方程的通解。 解（1）设P =P Q -2

17、y x +2y y。(x , y C , Q =223y x (x +y (x +y (x +y (x +2y dx +ydy 1是全微分方程。故是微分方程积分因子。 22(x +y (x +y （2）(x +2ydx +ydy (x +2y dx +ydy是全微分方程。故在区域G 22L (x +y (x +y 内与路径无关。取(1, 0 到(x , y 的折线（折线属于G ）u (x , y =x 1(x , y (1, 0P (x , y dx +Q (x , y dy =P (x , 0 dx +Q (x , y dy1x yy x 1y y x y x +y x+=+-dy 2222

18、0100x x (x +y (x +y (x +y yx =ln x 1+ln(x +y 0+x +yxy=ln x +ln(x +y -ln x +x-1 x +y=ln(x +y +x-1 x +y或取(0, 1 到(x , y 的折线（折线属于G ）u (x , y =x 0(x , y (0, 1P (x , y dx +Q (x , y dy =P (x , y dx +Q (0, y dy1x yy y x x +y x y 1x +2y y +2=+dx +1y 0(x +y 20(x +y 21y (x +y 2xy y y=ln(x +y 0-+ln y 1=ln(x +y

19、-ln y -+1+ln yx +y 0x +yx=ln(x +y +xx +yx=C 。C 为任意常数。 x +y（3）通解为ln(x +y +（五）对弧长的空间曲线积分例12 计算x ds ，其中：2x 2+y 2+z 2=a 2x +y +z =0解：由积分曲线对于坐标的轮换对称性可得x ds =2y 2ds =z 2ds因此x 2ds =112222(x +y +z ds =a ds 33由于是以原点为中心，半经为a 的圆。其周长为ds =2a故x ds =22a 。 3例13 设空间曲线弧为球面x 2+y 2+z 2=2，及平面x =y 的交线。曲线弧 的线密度(x , y , z

20、=x 2，求曲线弧的质量m 。x =sin t解： 化为参数方程：y =sin t 0t 2。 曲线弧的质量z =tm =x 2ds =sin 2t cos 2t +cos 2t +2(-sin t 2dt =422sin 2tdt =22。（六）选择题例14 设为平面2x y z 4+=1的第一卦限部分，则(z +2x +y dS =（ ）。2343dy ， （B ）x34612dx dy ， 003y（A ）4dx x3(1-203(1- 346124612(3-12（C ）dx dy ， （D ）dx dy030030解：选C ，z =4-2x -446122y ，dS =+z x +z

21、 y =+(-2 2+(- 2=333被积函数f (x , y , z =z +2x +4y =4，(x , y 3(z +2x +4461y dS =4dS =dxdy 33Dx2投影区域D ：0y 3(1-, 0x 2。 故选C例15 设：x 2+y 2+z 2=a 2，1是在xoy 平面的下半部分，2 为在第一卦限中的部分，则有（ ）。（A ）（C ）1xdS =4xdS （B ）ydS =4ydS2121zdS =4zdS （D ）zdS =-4zdS212解：选D 。(A 与(B 的右端由对称性为零，左端被积函数大于零，左端大于零。故(A 与(B 错。设3为在第五卦限中的部分，因1关

22、于x , y 对称。z =-R 2-x 2-y 2关于x , y 为偶函数。故zdS =4zdS13在2上z =R 2-x 2-y 2，在3上z =-R 2-x 2-y 232zdS =-zdS ，故(C 与(D 中选D 。五。部分习题题解（一）圆周x 2+y 2=R 2上任一点(x , y 的线密度与该点到点(R , 0 的距离成正比（比例常数为k ），求其质量。22解：线密度=k (x -R +y ，圆周的参数方程为L ：x =R cos ,(02 。y =R sin , 质量为kL (x -R +y ds =k 22222R 2-2R 2cos R 2d =kR 22（二）。计算I =2

23、sin2d =4kR 2sin tdt =8kR 2。xdy -ydxL x 2+y 2，其中L 为（1） 不包围也不通过原点的任意闭曲线； （2） 以原点为中心的正向的圆，半径为； （3） 包围原点的任意正向闭曲线。y x P Q y 2-x 2解（1）P =-2。, Q =2=2, (x 2+y 20 222y x x +y x +y x +yL 所包围的区域D 内无原点，由格林公式：I =(DQ P- dxdy =0 x y2（2）L ：x +y =I =22，且正向。D ：x 2+y 22。xdy -ydx 1x d y -y d x =L x 2+y 2L 2=22dxdy =D22

24、=2。 2（3） 作以原点为中心，半径为（充分小）的圆周，使完全落在L 内，取为顺时针方向，则在L +为边界的区域D 内无原点，由格林公式：xdy -ydx Q P=(- dxdy =0。 L +x 2+y 2x y D即I =xdy -ydx xdy -ydx xdy -ydx =-L x 2+y 2L +x 2+y 2x 2+y 2 xdy -ydx xdy -ydx 1 =-2=2-x 2+y 2=0+2dxdy =D 122=2 2(D 1：x 2+y 22 。（三）。在过点O (0, 0 和点A (, 0 的曲线族y =a sin x (a 0 中求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A

25、 的积分解：I (a =L(1+y 3 dx +(2x +y dy 的值最小。(1+yL3dx +(2x +y dy=(1+a 3sin 3x +(2x +a sin x a cos x dx=4a 3(1+a sin x +2ax cos x dx =+-4a333I '(a =4a 2-4=4(a 2-1 =0a =-1（舍去）a =1。曲线为y =sin x 。（四） 计算Lxydx ，其中L 为圆周(x -a 2+y 2=a 2(a 0 及x 轴所围成的第一象限内的区域的整个边界按逆时针方向绕行。x =2a cos 2, 解：直接法，L 的参数方程：:0。2y =2a cos

26、sin ,Lxydx =22a cos 22a cos sin 2a 2cos (-sin d =-16a32353a 3(cos-cos d =-16a (- =-。446442463格林公式，D ：(x -a +y a (y 0 ，极坐标形式D ：0r 2a cos , 02222。Lxydx =(-x dxdy =-2cos d D2a cos 8a 3r rdr =320cos d 8a 33a 3=。3442（五）。设位于点(0, 1 的质点A 对质点M 的引力大小为质点M 之间的距离），质点沿曲线y =kk 0为常数，r 为质点A 与2r2x -x 2自B (2, 0 运动到O (

27、0, 0 , 求此运(-x 2+(1-y 2=x 2+(y -1 2，动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功。 解：设质点M 的坐标为M (x , y ，r =k 0kx k (y -1j 。 引力F =2MA =-3i -r r r 3L ：y =2x -x 2，自B (2, 0 运动到O (0, 0 。k (xdx +(y -1 dy k kx k (y -1d ( =-dx -dy ， 。因为333Lr r r rk (xdx +(y -1 dy-与路径无关。L r 3功为W =-(0, 0 k (xdx +(y -1 dy k k (xdx +(y -1 dy=-= -(2, 0 L

28、 r r 3r 3(0, 0(2, 0(0, 0=k x +(y -122(2, 0=k (1-15。(六 。设函数具有连续的导函数，试计算曲线积分 I =BmA(y cos x -y dx +'(y sin x -dy 。其中BmA 是直线段AB 下方的，连接A (, 2 与B (3, 4 的任意光滑曲线，方向从B 到A ，另外已知该曲线于直线段所围区域的面积是6。x解：设曲线于直线段所围区域为D 。AB ：y =+1, x :3。I =I 1+I 2=BmA(y cos x dx +'(y sin x dy +(- BmAydx +dy因为d (y sin x =(y co

29、s xdx +'(y sin xdy ，所以BmA(y cos x dx +'(y sin x dy 与路径无关。I 1=BmA(y cos x dx +'(y sin x dy =(y sin x (3, 4 =0(, 2I 2=(-BmAydx +dy +(- ydx +dy +(- ydx +dyABBA=(- (-1x 1(0-1 dxdy +(- (+1+ dx D3=-6+ =-6+223(x + 22(x +1 dx =-6+23+(3-1(162-42 +2=2。 2（七）证明Lf (x +y (dx +dy =a +bf (x dx ，其中L 为从(0

30、, 0 到(a , b 的一条逐段光滑的曲线，f (u 具有连续的导函数。证明：证明1：设P =f (x +y , Q =f (x +y ，P Q=f '(x +y ， y x所以Lf (x +y (dx +dy 与路径无关。ab(a , b (0, 0af (x +y (dx +dy =f (x +0 dx +f (a +y dybaa +ba=f (x dx +f (a +y dy =f (x dx +0f (y dy =a +bf (x dx 。证明2：记F (u =所以uf (t dt ，则dF (x +y =f (x +y (dx +dy ，Lf (x +y (dx +dy

31、与路径无关。(a , b a +bLf (x +y (dx +dy =F (x +y (0, 0 =F (a +b -F (0+0 =f (x dx 。（八）。 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其解： （1）y 2(x -3y dx +(1-3y 2x dy =0， 解：方程两边乘以11dy 2，则(x -3y dx +(1-3y x dy =xdx +-3(y d x +x d y y 2y 2y 2x 21x 21=d +d (- -3d (xy =d (-3xy =0。2y 2y1x 21故2是积分因子，通解：（C 是任意常数）。 -3xy =C 。2y y（2）2ydx -3xy

32、 dx -xdy =0，解：方程两边乘以x ，2xydx -3x y dx -x dy =ydx -x dy -3x y dx =022222222112x 2121223两边再乘以2，dx -2dy -3x dx =dx +x d -dxy y y y yx 2=d (-x 3 =0。yx x 2故2是积分因子，通解：（C 是任意常数）。 -x 3=C 。y y（九）。计算xyz ，其中为z =x 2+y 2被平面z =1所截下部分。2222解：z =x 2+y 2，dS =+z x +z y dxdy =+4(x +y dxdy ，D ：x 2+y 21。D 1：x 2+y 21, x 0

33、, y 0。由对称性xyz dS =xy (x 2+y 2 +4(x 2+y 2 d x d yD=4xy (xD 12+y 2 +4(x 2+y 2 dxdy1=4 =2cos sin d r 5+4r 2dr1r 4+4r 2dr 2=t 2+4t dt11=34(u -1172521u du =3452325(u1552-2u +u du3212=12u 4u u -1(-+ =。 375342041h a 2a 2x 2+y 2的侧面积。 （十）。求圆柱面x +(y - =界于平面z =0及锥面z =a 242a 2a 22解：曲面为，设1：x +(y - =，(x 0 即x =ay

34、-y 。242h a 2a 2h x 2+y 2消去x z =x +(y - =和z =a 242y ，在yoz 平面上投影区域D ：0z h ay , 0y a 。侧面积为22dS =2dS =2+x +0dydz =a y 1D1ay -yaD21a -y=a a1ay -ya2haydz =a h ay ay -ya 02=a h =a h 1a -y=a h (-2 a -y =2ah 。（十一）。计算f (x , y , z +x dydz +2f (x , y , z +y dzdx +f (x , y , z +z dxdy其中f (x , y , z 为连续函数，是平面x -y

35、 +z =1在第四卦限部分的上侧。 解：平面x -y +z =1（上侧）在点(x , y , z 处的单位法向量为13, -11，33,将原式化为对面积的曲面积分。D ：0y x -1, 0x 1。 原式=1f (x , y , z +x -2f (x , y , z -y +f (x , y , z +z dS1 =1(x -y +z dS =dS =1D3dxdy =dxdy =D1。 2（十二）。设对于半平面x 0内任意的光滑有向闭曲面，都有xf (x dydz -xyf (x dzdx -e 2x zdxdy =0。x 0+其中函数f (x 在(0, + 上具有连续的一阶导函数，且li

36、m f (x =1， 试求f (x 。解：由高斯公式得对任意的光滑有向闭曲面所围成的区域。(xf (x -xyf (x -e 2x z dv x y z=f (x +x f '(x -xf (x -e 2x dv =0。1e 2x的解。 x f '(x +(1-x f (x =e 求微分方程y '+(-x y =x x2x1x e x ln x -x x -ln x=x ， =因为 -(-x dx =x -ln x ，e ，ex e xe x e 2x x e xy =(c +x dx =(c +e x 。由lim f (x =1c =-1x 0+x x e x e x

37、 x(e -1 。 即f (x =x(十三 。设为一光滑闭曲面，n 为上点(x , y , z 处的外法向量，r =x i +y j +z k ，在下列情形：（1） 曲面不包含原点；（2）曲面包含原点。cos(r n dS 计算r 2解：n 0=cos , cos , cos 为上点(x , y , z 处的外单位法向量。 r =r =x 2+y +z 2，围成的空间闭区域为，方向为外侧。r n r n 01c o s r (, n =(x c o s +y c o s +z c o s ，r n r r cos(r n 1dS =(x cos +y cos +z cos dS 23r r1=

38、3(xdydz +ydzdx +zdxdy rx y z r 3-3x 2r r 3-3y 2r r 3-3z 2r+ （1）(3 + ( +(3=+r 6r 6x r y r 3z r r 63r 3-3(x 2+y 2+z 2 r 3r 3-3r 3=0，(x 2+y 2+z 20 =66r r围成的空间闭区域无原点，由高斯公式：cos(r n 1dS =r 2r 3(xdydz +ydzdx +zdxdy =x y z(3 +(3 +(3dxdydz =0。 x r y r z r（2） 作以原点为中心，半径为（充分小）的圆球面1，使1完全落在内，取1为内侧方向，则在+1为边界的区域内无

39、原点。由高斯公cos(r n 1dS =(xdydz +ydzdx +zdxdy 23+1+1r r式：x y z(3 +(3 +(3dxdydz =0 x r y r z r cos(r n cos(r n cos(r n dS =dS -dS 即222+11r r r cos(r n 1dS =(xdydz +ydzdx +zdxdy =0+23-1-1r r=1-13(xdydz +ydzdx +zdxdy =13(1+1+1 dxdydz1343=4（1：x 2+y 2+z 22） =3。 3（十四）。设u (x , y , z , v (x , y , z 是两个定义在闭区域上的具有

40、二阶连续偏导数的函数，u v, 依次表示u (x , y , z , v (x , y , z 沿的外法线方向的方向导数，证明 n n(u v -v u dxdydz =(uv u -v dS n n其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫格林第二公式。 证：因为方向导数u v v v v=cos +cos +cos ， n n x y z其中cos , cos , cos 是在点(x , y , z 处的外法线向量的方向余弦，故曲面积分uv v v vdS =u (cos +cos +cos dSn x y z v v vcos +(u cos +(u cos dS 。 x y z=(u利

41、用高斯公式，即得uv dS n=v v v(u +(u +(u dxdydz x x y y z zu v u v u v+ dxdydz , （1） x x y y z z=u vdxdydz +(（即可得格林第一公式）。 vu v u v u v udS =v udxdydz +( + dxdydz , （2）n x x y y z z v udS -v dS =u vdxdydz -v udxdydz +0。n n (1 -(2 ，则有u即得(uv u-v dS =(u v -v u dxdydz ，命题得证。 x n （十五） 利用斯托克斯公式，计算222ydx +zdy +xdz其中

42、：x +y +z =a , x +y +z =0， 若从x 轴的正向看去，这圆周2取逆时针方向。解：取所张的曲面为：x +y +z =0，曲面是以原点为中心，半径为a 的圆。 面积dS =a2点(x , y , z 处的单位法向量为131, 1, 1，设A =y , z , x ，i rot (A x y j y z k =(0-1, (0-1, (0-1 =-1, 1, 1 z x由斯托克斯公式和两类曲面积分之间联系，有ydx +zdy +xdz =-dydz +dzdx +dxdy =-3dS =-3a 2。六。试卷试卷(A （一） 选择题1设L 是顶点为A (1, 0, B (0, 1,

43、 O (0, 0 的三角形ABO 的边界。则曲线积分。 (x +y ds 的值为（ ）L（A ）-2+1；（B ）2+1，（C ）2-1，（D ）-2+12设L 是椭圆x =a cos t ，y =b sin t 沿顺时针方向x 轴上面一半的有向曲线，则曲线积分（A ）Ly 2dx +x 2dy 的值为（ ）。42444a b ， （B ）-a 2b ， （C ）ab 2， （D ）-ab 2。 3333。 zdS =（ ）3设为z =2-(x 2+y 2 在xoy 平面上方部分，则（A ）（C ）2d 2-r 20222（B ） d (2-r +4r rdr ，(2-r 2 +4r 2rdr

44、 ，222d (2-r 2 rdr ， （D ）d (2-r 2 +4r 2rdr224设为球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面取下侧，则（A ）-zdxdy =（ ）。R2d R0RR 2-r 2dr ， （B ）d 20rR 2-r 2rdr 。 R 2-r 2rdr 。（C ）。-2d R 2-r 2d r， （D ）2d 5若在区域D 内总有线L 总有（ ）。P (x , y Q (x , y =，则对于D 内任意一条封闭曲 y x（A ）Q (x , y dx +P (x , y dy =0 （B ）L P (x , y dx +Q (x , y dy 0L（C ）（二） 填

45、空题P (x , y dx +Q (x , y dy =0 （D ）前述结论都不对。L1偏心圆L ：则曲线积分x +y -2x =0，2设曲线积分22(xL2+y 2-2x +y ds =_。Lydx -xdy =a 。L 为平面上闭曲线，a 为常数，方向为逆时针。则闭曲线所围住区域S 的面积为_3。设为空间曲面，曲面薄片上任一点面密度的大小等于该点到原点的距离，则曲面薄片的质量为曲面积分_.4设为平面x -y -z +1=0在第二卦限部分取上侧的曲面积分dydz +2dzdx +3dxdy =_。225。L 是曲线x +y =4上04的一段弧。则eL x 2+y 2ds =_。（三）计算Ly

46、ds ，其中L 为抛物线y 2=4x 上点A (1, 2 到点B (0, 0 的一段弧。（四）设变力A (x , y , z =(y -z i +(z -x j +(x -y k 构成力场，试确定质点在力的作用下沿圆柱螺旋线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 。（a , b 为常数） 参数t 从0移到2的一段弧时所作的功。 （五）设微分方程：2x (1-e y dx +(1+x 2 e y dy =0（1） 验证1是所给微分方程在平面上的积分因子 22(1+x 2x (1-e y e y（2） 求全微分函数u (x , y ，使du (x , y =dx +dy 2

47、22(1+x 1+x（3） 写出是所给微分方程的通解（六）计算+4z dS ，其中为z =x 2+y 2上z 1的部分。（七）利用高斯公式证明向量A =x i +y j +z k 通过围住任意体积V 的闭曲面的流量等于体积的三倍。 （八）计算e z x 2+y 2dxdy ，其中为锥面z =x 2+y 2(1z 2 之间的外侧。 （九）求抛物柱体y =32x 被平面z =0，x =0，z =x ，y =6所围成的（第一卦8限）部分的侧面积。试卷(B （一）选择题1f (u 在0, 2上连续，L 为圆周： x 2+y 2=4，I =则下面正确的是（ ）。 （A ）I =（C ）I =Lf (x

48、2+y 2 ds 。L2d f (r 2 dr （B ）I =22d f (r 2 dr2f (4 ds =4f (4 （D ）前述结论都不对2设L 是椭圆曲线x 2+4y 2=1的顺时针方向，L 1为L 中y 0的部分， 。 L 2为L 中x 0, y 0的部分。L 1和L 2与L 的方向一致，则有（ ）（A ）（C ）L 1xdx =2xdx （B ）ydx =2ydxL 2L 1L 2L 1xdy =-2xdy （D ）ydy =-2ydy 。L 2L 1L 23设是球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧，1是在xoy 平面的下半部分 。 2是上的第一卦限部分，1和2与的方向一致，则有（ ）（A ）（C ）11xdxdy =4xdxdy （B ）ydxdy =4ydxdy212212zdxdy =4zdxdy （D ）zdxdy =-4zdxdy4设是长方体0x a , 0y b , 0z c