高等数学课后习题答案第一章

1、高等数学习题解答黑龙江科技学院利民校区郭润玺习题1-1（ A）1、设A=(-,-5)(5,+) B=-10,+3)，写出AB，AB，ABA(AB)的表达式解： AB=(-,-5)(5,+)-10,+3)=(-,+3)(5,+)AB=(-,-5)(5,+)-10,+3)=-10,-5)AB=A(AB)=(-,-10)(5,+)A(AB)=-10,-5)222、设全集I=R A=xx+x-20 B=xx-2x<0 CCCC写出AB，BA，(AB)C，A，B以及AB 22解：A=xx+x-20=-2,+1，B=xx-2x<0=(0,+2) AB=(0,+1 ，(AB)C=(-,0(+1,

2、+)，BA=(+1,+2) AC=(-,-2)(+1,+)， BC=(-,0+2,+)，ACBC=(AB)C=(-,+1(+1,+)3、求下列函数的定义域（1）、y=1x+4解：解不等式3x+4>0得x>-4，所以函数的定义域就是不等式3x+4>0的解集 34D=(-,+) 3（2）、y=-x222解：解不等式16-x0得-4x4，所以函数的定义域就是不等式16-x0的解集D=-4,+4（3）、y=x+1x-2解：解不等式组x0得解集为0,+2)(2,+)，所以函数的定义域就是不等式组的x-20解集0,+2)(2,+)（4）、y=4-x+natcra1 x解：解不等式组4-x

3、0得解集为-,0)(0,+4)，所以函数的定义域就是不等式组的x0解集-,0)(0,+4)(icasr（5）、y=nx-3)解：解不等式-1x-31得解集为2,4，所以函数的定义域就是不等式的解集 D=2,+4x+1+n(l1-3x) 2x+1-11得解集为-3,1)(-,+1)=-3,+1)，所以函数的定义解：解不等式组2331-3x>01域就是不等式组的解集-3,+) 31（7）、y= nisx-oscxscra（6）、y=o解：解不等式sinx-cosx0得解集为xk+4xk+5,kZ，所以函数的定4义域就是不等式组的解集xk+4xk+5,kZ 4lx2+x) （8）、y=ln(x

4、2+x)0(x2+x)11-1+(-,+) 解：解不等式组即解得解集为2222x+x>0x+x>0所以函数的定义域就是不等式组的解集(-,1-1+5,+) 224、下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？（1）f(x)=lgx，g(x)=2lgx3 2解；不同，定义域不同，Df=(-,0)(0,+)，Dg=(0,+)（2）f(x)=x，g(x)=x2解；不同，虽然定义域相同，f(-1)=-1，g(-1)=1（3）f(x)=x4-x3，g(x)=xx-1解；相同，定义域同，对任意的xR，有f(x)=g(x)（4）f(x)=1，g(x)=sec2x-tan2x解；不同，定义

5、域不同，Df=(-,+)，Dg=xx+k,kZ 2所以f()=1 g()没有意义 225、设f(x)=4+x2，求下列函数值1f(0)，f(1)=，f(-1)，f()，f(x0)，f(x0+h) a解：f(0)=4+02=2，f(1)=4+12=，f(-1)=4+(-1)2=4a2+1 1124a2+11=f()=4+()=2aaaa2f(x0)=4+x0，f(x0+h)=4+(x0+h)2sinx6、设(x)=0解：()=sinx<3，求()，()，(-)，(-2) 644x3=66212 ，()=sin，(-)=()= =4442242(-2)=07、讨论下列函数的奇偶性is（1）、

6、f(x)=x+nx，解：由于f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sinx)=-f(x)，所以是奇函数os（2）、f(x)=a+bcx，解：由于f(-x)=a+bcos(-x)=a+bcosx=f(x)，所以是偶函数（3）、f(x)=x2+x，解：由于f(-x)=x2-xf(x)并且f(-x)-f(x)，所以是非奇非偶函数nt（4）、f(x)=ax+cos3x，解：由于f(-x)=-tanx+cos3xf(x)并且f(-x)-f(x)，所以是非奇非偶函数（5）、f(x)=n(l+x2-x)， 1+x2-x=-+x2-x)=f(x)， 解：由于f(-x)=+x2+x)=ln所以是奇函数（6）

7、、f(x)=(1+x)-x， 1+x1-x+x=-x2， =-x2，f(-x)=(1-x)1+x1-x解：由于f(x)=(1+x)所以是偶函数8、讨论下列函数在指定区间内的单调性（1）、y=x x(-,1) 1-x解：任意取x1,x2,且x1<x2<1, 于是有f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x2)>0，所以在指定的区间是单调增加的。 (1-x2)(1-x1)122（2）、y=x(x-1) x0,解：任意取x1,x2,且0x1<x21, 222于是有f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(x2+x2x1+x1-1)<0，所以在指定的区间是单调减少的。（

8、x2-x1>0,0x2+x2x1+x1-1223-1<0） 49、下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期o(s（1）、y=cx-2)解：由于f(x+2)=cos(x-2+2)=cos(x-2)=f(x)，所以y=cos(x-2)是周期函 5数，周期T=2os（2）、y=c4x 解：由于f(x+2)=cos4(x+2)=cos4x=f(x)，所以y=cos4x是周期函数，周期T=2isx （3）、y=1+n解：由于f(x+2)=1+sin(x+2)=1+sinx=f(x)，所以是周期函数，周期T=2sc（4）、y=xo（5）、y=nis2x 解：不是周期函数 x解：由于f

9、(x+)=sin2(x+)=sin2x=f(x)，所以是周期函数，周期T=（6）、y=x-x解：由于f(x+1)=x+1-x+1=1+x-x-1=f(x)，所以是周期函数，周期T=110、求下列函数的反函数（1）、y=nis2x 解：y=x+1 解：由y=x+1 解得x=y3-1 改写为y=x3-1 所以y=x+1的反函数是x=y3-1（2）、y=解：由y=1-x 1+x1-x1-x1-y 解得x= 改写为y= 1+x1+x1+y所以y=1-x1-x的反函数是y= 1+x1+x,+ 221y1x解：由y=2sin3x 解得x=arcsin 改写为 y=arcsin 32321x所以y=2sin

10、3x的反函数是arcsin x-2,+2 32is（3）、y=2n3x x-2x（4）、y=x 2+1x2xy解：由y=x解得x=log2 改写为y=log2 1-x1-y2+1x2x所以y=x的反函数是y=log2 1-x2+1(lx+2) （5）、y=1+n解：由y=1+ln(x+2)解得x=ey-1-2 改写为y=ex-1-2所以y=1+ln(x+2)的反函数是y=ex-1-2（6）、y=ex+1解：由y=ex+1解得x=lny-1 改写为y=lnx-1所以y=ex+1的反函数是y=lnx-111、求下列各题中，求由所给定的函数构成的复合函数，并求所构成的复合函数的值，x2= 63132

11、22= 解：y=sinx y(x1)=sin=，y(x2)=sin6434isu，u=2x，x1=，x2= （2）、y=n842（1）、y=u，u=sinx，x1=解：y=sin2x y(x1)=si2222=1 ，y(x2)=sin=482（3）、y=，u=1+x，x1=1，x2=2 解：y=+x2 y(x1)=+12=22，y(x2)=+22= u（4）、y=e，u=x，x1=0，x2=1解：y=ex y(x1)=1，y(x2)=e2（5）、y=u，u=e，x1=-1，x2=1 x2解：y=e y(x1)=e2x-2，y(x2)=e 22（6）、y=，u=2+v，v=cosx，x1=0，x

12、2=4 解：y=2+cos2x y(x1)=2+co2s0=， y(x2)=2+cos24= 212、下列函数由哪些函数复合而成（1）、y=(1+x)20 解：y=u20,u=1+xnis（2）、y=3x 解： y=3u,u=sinxnt（3）、y=lnaat（4）、y=n（5）、y=cos（6）、y=nis32x 解：y=lnu,u=tanx xx2 解：y=u,u=tanv,v= 33+x2 解：y=cosu,u=v,v=1+x2 5x 解：y=u3,u=sinv,v=5x13、设函数f(x)的定义域D=0,1，求下列函数的定义域22（1）、f(x)，解：D=xx0,1=-1,+1 （2）

13、、fnis(x)，解：D=xsinx0,1=x2kx+2k,kZ 2（3）、f(x+a)，解：D=xx+a0,1=-a,1-a（4）、f(x+a)+f(x-a),(a>0)， 解：D=xx+a0,1xx-a0,1=-a,1-aa.1+a 如果0<a<如果a=1,D=-a,1-aa.1+a=1-a.a 211,D=-a,1-aa.1+a= 221,D=-a,1-aa.1+a= 21-x114、设f(x)= 求f(x+1)，f() 1+xx如果a>11-(x+1)x1x=x-1 =-解：f(x+1)=，f()=1x+11+(x+1)2+xx1+x1-x 求f f(x) 1-

14、xxxx解：f f(x)=f( )=1-x=1-x1-2x1-1-x15、设f(x)=16、已知f(x+2)=x2-x+3，求f(x)解：设t=x+2有x=t-2f(t)=(t-2)2-(t-2)+3=t2-5t+9f(x)=x2-5x+917、设正圆锥的高是H，底面半径是R，先有正圆柱体内接于正圆锥体（圆柱体的底面在正圆锥体底面上），设圆柱体底面半径是r，高为h，体积为V，求h(r),V(r) rH-h= RHHH(R-r) V(r)=r2h=(R-r)r2 解得 h=RR解：由题设有18、某运输公司规定货物的吨公里运费为，在a公里之内（含a公里），每公里k元，超过a公里，超过部分每公里ks

15、4解：m=ka+k(s-a)5(B) 4k元，求每吨货物运费m元与里程s（公里）间的函数关系 50saa<s1、 用分段函数表示下列函数（1）、f(x)=x+-x-解：当x<-3 f(x)=x+3-x-3=(-x-3)-(3-x)=-6当-3x<3 f(x)=x+3-x-3=(x+3)-(3-x)=2x当3x f(x)=x+-x-3=(x+3)-(x-3)=6x<-3-6所以得f(x)=2x-3x<36x3（2）、f(x)=2-2-x解：当x<0 f(x)=2-(2-x)=x=-x当0x<2 f(x)=2-(2-x)=x=x当2x<4 f(x)=

16、2-(x-2)=4-x=4-x当4x f(x)=2-(x-2)=4-x=x-4x<0-xx0x<2所以得f(x)=4-x2x<4x4x-42、（1）设f(x)在(-,+)有定义，证明：f(x)+f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数（2）、证明在-a,+a定义的函数可以表示成一个偶函数与奇函数的和证明：（1）设F2(x)=f(x)+f(-x) F2(x)=f(x)-f(-x)于是有F1(-x)=f(-x)+f(x)=F1(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数F2(-x)=f(-x)-f(x)=-F2(x)，所以f(x)-f(-x)是奇函数（2）、设(x)在-a,+

17、a定义的任意函数则由上面的证明有(x)+(-x)是偶函数，(x)-(-x)是奇函数11(x)+(-x)+(x)-(-x) 22ax+b(ad-bc0)的反函数，在什么条件下，反函数与直接函数相等 3、求分式函数y=cx+d于是有 (x)=解：由y=ax+bdx-bdy-b解得x=，改写为y=就是所求的反函数 cx+da-cxa-cy设ax+bdx-b2=得到-c(a+d)x+(a+d)(a-d)x+b(a+d)=0，所以当a+d=0 cx+da-cx时反函数与直接函数相等。x24、设f(x)=x1-2x0，求f(x)反函数 x>02解：当x0由y=x解得x=-y，(y0），改写为y=-x

18、x当x>0，由y=1-2解得x=log2(1-y)，（y<0)改写为y=log2(1-x)所以f-1log(1-x)x<0 (x)=2x0-x-1x<01，求f(x-1) x+10x25、设f(x)=解：由题设可知道：当-1x-1<0有0x<1，此时f(x-1)=1当0x-12有1x3，此时f(x-1)=(x-1)+1=x所以有f(x-1)=10x<1 x1x36、设f(x)=sgnx,g(x)=x2-x-2，求f g(x)，g f(x)x<-110x=-10x<02解：f g(x)=sgn(x-x-2)=-1-1<x<2 g

19、f(x)= -2x00x=2x>2117、设f(x)=0-1解：f g(x)=fex<1x=1 g(x)=ex 求f g(x)，g f(x) x>1()xe1x<0=0x=0=-sgnx g f(x)=1-1x>0e-1x<1x=1 x>1x8、设函数f(x)对任何xR，满足等式2f(x)+f(1-x)=e，求f(x)1-t解：设1-x=t得x=1-t，由题设有2f(1-t)+f(t)=e2f(x)+f(1-x)=ex1x1-x=-2e-e f(x)于是得解得1-x3f(x)+2f(1-x)=e9、把半径为R的一圆形铁皮，剪去中心角为的圆扇形，然后将剩

20、余部分卷成一个无底的圆锥容器，将这个圆锥容器的体积表示成的函数解：剪去中心角为的圆扇形的弧长R，所以卷成圆锥容器的底面圆的周长为 R(2-)，于是得到底面半径为r=R(2-)（1） 2圆的半径就是圆锥的母线，所以得到圆锥的高为：RR2R-r=R-2(2-)2=242224-2（2）R2Rh=2(2-)2所以V()=3423r2R3224-=(2-)4- 224210、收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为了鼓励销售，决定凡是采购量超过100台以上的，每多采购一台售价就降低0.05元，但是最底售价为75元（1）、将每台收音机的实际售价p(x)（元）表示成订购量x（台）的函数（2）、将厂方获

21、得的利润P(x)（元）表示成订购量x（台）的函数（3）、某商行订购了1000台，厂方获得的利润是多少？解：（1）、当售价为75元时，厂方实际销售时400台，于是得900<x100p(x)=90-0.05(x-100)100<x<40075x40030x0<x1002100<x<400 （2）、P(x)=xp(x)-60x=35x-0.05x15xx400（3）当x=1000 P(x)=15000（元）习题1-2（A）1、通过观察，判断下列数列的敛散性（1）、xn=1 收敛于0 n4n-1（2）、xn=(-1)1n 收敛于0（3）、xn=(-1)nn2 发散（

22、4）、xn=n+3 收敛于1 n+1（5）、xn=(-2)n 发散2n2+1（6）、xn= 收敛于2 n2is（7）、xn=nn 发散 32n-(-1)n（8）、xn= 收敛于0 n（9）、xn=111 收敛于0 + +1223n(n+1)12+1+13+2n（10）、xn=+ +1n+n+1 收敛于0 2、如果limxn=a，则必有limxn=a，事实上由xn-axn-a可知道 n反之若limxn=a未必有limxn=a nnn反例如下：数列(-1)n，limxn=lim(-1)=lim1=1，而limxn=lim(-1)不存在 nnnnnn3、若数列xn有界，而limyn=0，则limxn

23、yn=0，事实上由0xnynMyn可知nn道4、如果xnyn，limyn=0，则必有limxn=0，事实用定义用定义容易证明 nn由limyn=0可知道>0,NN+,n>N:yn< n于是有xnyn<（B）1、设xn=解：由xn=n+1-n，判断其是否收敛 n+1-n=1n+1+n<1n0可知道收敛2、设数列xn是正数列，且limxn+11=，则数列从某一项起是单调减少的 nx2n证明：由数列极限的性质limxn+11x=<1，所以存在NN+,n>N:n+1<1 nx2xnn就是xn+1<xn3、用定义证明：limn2n=0证明：>0

24、估计2n-0=2n2n<解得n>2n42 所以取N=4+1,n>N:2-0=<所以limn2n=0=a且limx2n-1=a，则limxn=a nn4、如果limxn2n证明：由题设可知>0,N1N+,n>N1:x2n-a<（1） 对上面同一个>0,N2N+,n>N2:x2n-1-a<（2）取N=MaxN1,N2，n>N（1）与(2)同时成立， 所以>0,NN+,n>N:xn-a<，所以limxn=a n习题1-3(A)1、通过观察，判断下列函数极限是否存在il（1）、mx24x=8 （2）il、lim(5x+

25、2)=12 （3）、mx2x1x2+x-2=3 x-1il（4）、mx4ecsilx=2 （5）、mx0+gnsx=1 （6）il-x=-1 、mx0il（7）、mnisxxx=0 （8）mil、x2x2+2不存在 x-2sc（9）、lim(1+ox2x2-1x)不存在 （10）=2 、 lim2xx+12、画出函数的图象。观察x0时，函数的几下是否存在？若存在，指出它们的极限（1）、f(x)=-xx<0 2xx0x0x0f(x)=0 limf(x)=0，所以limf(x)=0 观察得知lim-+x0x2+1x<01（2）、f(x)=x=02x>0x2f(x)=f(x)=li

26、mx=0，所以limf(x)不存在 lim(x+1)=1 lim观察得知lim-+-x0x0x0x0x0cosx-x<02（3）、f(x)= nisx0x2sinx=0，所以limf(x)不存在 f(x)=limcosx=1 limf(x)=lim观察得知lim+-+x0x0x0x0x01（4）、f(x)=x2x0x<0 x0x0x0f(x)=lim-1=1 limf(x)=lim2x=1，所以limf(x)=1 观察得知lim-+x0x03、设f(x)=x，求f(x0-0)f(x0+0)解：如果x0=n 则f(x0-0)=n-1=x0-1 f(x0+0)=n=x0如果x0n 则存

27、在n，使n-1<x0<nf(x0-0)=n-1=x0 f(x0+0)=n-1=x04、如果limf(x)=A，是否必有limf(x)=A？反之是否成立？ xx0xx0解答：由于f(x)-Af(x)-A，所以如果limf(x)=A，则必有limf(x)=A xx0xx0反之未必成立。反例如:下：1x<0 f(x)=-1x>0f(0-)=1 f(0+)=-1所以limf(x)=A不存在 x0但是 limf(x)=lim1=1 x0x05、如果在x0的去心邻域内，f(x)g(x)，且limg(x)=0，是否必有limf(x)=0 xx00xx0解答：由于limg(x)=0，根

28、据定义有>0,>0,x:0<x-x0<有g(x)< xx0于是f(x)g(x)<，所以limf(x)=0 xx0（B）1xsin1、设有函数f(x)=x2a+xx0x>0x<0，要使limf(x)存在，应该如何选择常数a x02f(x)=f(x)=limlima+x=a limxsi=0，解：lim所以a=0时有limf(x)-+-+x0x0x01xx0 15存在2、试给出x函数极限局部有界性定理的叙述设：limf(x)=b，则M>0,A>0,x:x>A,有f(x)M x2、试用函数极限的定义证明lim(3x-2)=7 x3证明

29、：>0,估计不等式(3x-2)-7=3x-3<解得x-3<取=3 3,x:0<x-3<，有(3x-2)-7<，所以lim(3x-2)=7 x3x2+11= 3、试用函数极限的定义证明limx2x22x2+11x2+1-x2111-=x>证明：>0,估计不等式解得 <<22222x2xx2xx2+11-< 取A=,x:x>A有22x21x2+11= 所以limx2x22习题1-4(A)1、计算下列极限（1）、limx1x+4x15= x+2lim(x+2)3x12lim(x2+4)il(x2+2x+3)2x2+2x+3mx-

30、1il=（2）、m=1 22x-1x+12mil(x+1)x-1mil（3）、x-2x+32x1=lim(x-2)x1limx+3x1=1 222x-21=m（4）、lim2il= x3x+2x233+2x1-il（5）、mx2x-2x2-4x+4mil=0 =2x2x+2x-412+24x+2xx（6）、lim4=mil=0 xx-x+1x111-3+4xx2x+46x2+2x-8(x+4)(x-2)=6 =lim= lim（7）、lim2x2x-1x2x-3x+2x2(x-1)(x-2)1x-21x2-3x+2(x-1)(x-2)=- =lim= lim（8）、lim2x1x+3x1x+2

31、x-3x1(x-1)(x+3)4mil（9）、nisx-nisa=limxaxan(isx-a)2nisx-ax+aosc=miloscxan(isx-a)nisx+alimxa2n(isx-a1x-a2 1x-a)x-a1=cosa=cosa 1(x+h)2-x22xh+h2mil=lim=lim(2x+h)=2x （10）、x0x0x0hht3-t2+4tt2-t+4=lim=4 （11）、lim2t0t0t+1t+t（12）、limx4cosx-nisx=milocos2x(sxc412cosx-nisxil= =mcsx+nisx2x-nisxco()sx+nisx)xo4（13）、m

32、ilx4(2x+1)-92212x+1-3il= =m=limx4x-4(x-4)(2x+1+3)x42x+1+363x4-x3+2x+3x2+4mil=（因为lim4=0） （14）、xxx-x3+2x+3x2+4（15）、lim(2+)(3-t1t111)=mil(2+)lim(3-)=6 tttt2t2（16）、lim(x2112x+2x+4-12(x-2)(x+4)-3)=lim=lim= x2(x-2)(x+2x+4)x2(x-2)(x+2x+4)x-2x-8limx2x+463= x+2x+4105mil（17）、x+x-xx0=milx0+x+-x2x(+x+-x)=1 =lim

33、x022(1+x)-(1-x)（18）、lim3x+4x+x+123+il=mx+4xx+11+2xx=3（19）、lim(n+1-n)n+x111)=limn+x22n+1+n=limx1+1+1n+111=1= 2n22（20）、milx+x(x2+1-x)=limxx2+1+xx+=lim1+1+12xx+=1 2(B)1、两个无穷小的商是否为无穷下？试举例说明各种情况（1）、f(x)=x，g(x)=sinx，当x0，两者都是无穷小，limx0f(x)=1 g(x)f(x)=2 g(x)f(x)=0 g(x)（2）、f(x)=2x，g(x)=sinx，当x0，两者都是无穷小，limx0（

34、3）、f(x)=x2，g(x)=sinx，当x0，两者都是无穷小，limx0is（4）、f(x)=nx，g(x)=x2，当x0，两者都是无穷小，limx0f(x)= g(x)因此两个无穷小的商是未定式。 2、当x0，函数f(x)=-cosx极限存在吗？说明理由sinx2sin2x112x24()22=12sinxx解：存在。因为limx0-cosx=limx0sinx2sin2sinxx2=limx0x2-x+b3、如果lim存在，求其中常数b的值x2x-2x2-x+b解：由于lim，所以分子中必含因式(x-2)， x2x-2于是x2-x+b=(x-2)(x-s)=x2-(2+s)+2s，对比

35、系数得2+s=1.b=2s，b=-2 x2-x+b=lim(x+1)=3 此时limx2x2x-2x2-ax+b=2存在，求其中常数a,b的值 4、要使limx11-xx2-ax+b=2可知道所以分子中必含因式(1-x)，于是 解：由limx11-xx2-ax+b=(1-x)(s-x)=x2-(s+1)x+s，对比系数得s=b s+1=a，就是a=b+1 x2-ax+b=lim(s-x)=s-1=2解得s=3 a=4,b=3 而limx1x11-xx2+1-ax-bx)=0，如何人选择a,b 5、要使lim(xx+1x2+1(x2+1)-(x+1)(ax+b)-ax-bx)=0所以lim=0就

36、是 解：由于lim(xx+1xx+1(1-a)x2-(a+b)x+(1-b)lim=0，所以必有1-a=0,a+b=0解的得a=1,b=-1 xx+16、求下列极限(1+2x)(1+3x)-16x2+5x=mil=lim(6x+5)=5 （1）、limx0x0x0xx1n(n-1)2(1+x)n-1x+ +xn)=n(nN+) =lim(nx+（2）、limx0xx02!x(1+mx)n-(1+nx)mmil（3）、 2x0x=limx01n(n-1)m(m-1)2n1+n(mx)+(mx)+ +(mx)-1+m(nx)+(nx)2 22!2!x+ +(nx)m=limx01n(n-1)m(m

37、-1)m(m-1)(m-2)2n2(mx)+ +(mx)-(nx)-(nx)3 22!2!3!x- -(nx)m=limx0n(n-1)m(m-1)m(m-1)(m-2)(m)2+ +(mx)n-2-(n)2-(nx) 2!2!3!- -(nx)m-2=n(n-1)m(m-1)mn(m)2-(n)2=(n-m) 2!2!2!2xn(atilnat（4）、mx4nis2x-x)=limc4os2xx4n(isco(s4-x)-x)n(is=limx-x)4cos2x42=1 =lim-4x242x)4sin(2-4xsin()（5）、limnis(x+-4xx+1-nisx)=lim2nisx+

38、2x2+1-xcos2x2+1+x) 21x2+1-xx2+1+x由于lim2sin是有界的，所=0而cos=lim2sin2x+x+22x+x+x以x2+1-xx2+1+x=lim2sincos=0 x+22（6）、mil3-x-21+xx-1=lim-(1+x)(1-x+x2)(1+x)(-x+2)x-1=lim-(1-x+x2)3-x+2x-13=-4习题1-5 (A) 1、计算下列极限il（1）、mnis2x2sin2x= lim=2x0x0x2xmil（2）、nisx1=x0xnisxxxcotx=limx0(3)、lim+x0xsinxcosx=1nis3xnis3x6x31=mi

39、l= xnat6xx3xnat6x62x2nis21-oscx1(x)21=1 =m（5）、limilx0xnx0x2nisx2isxx22()2xxnisxx=x is=m（6）、limnnilnnnx1n（4）、lim（7）、limnatxnisx11nisy=lim=limmil=1= x11-xx1ox1oscx1-xscxy0yu（8）、lim(1-x)tanx1x2=limsinx1x2lim221-xu=lim=lim= x1xu0uu0usincossin2222sc(（9）、limxox22-1)=milx2(-2nisxx1nis2u)=mil(-2)2=-2 u0xux+

40、a 2mil（10）、x-nisa=limxaxax-ax-asincosx+a=cosa =limxax-a22nis2nisx-ax+acos=miloscxax-a2、计算下列极限（1）、lim(x1+x4x1)=lim(1+)x4=e4 xxx1xmil(1+3x)=mil（2）、x0(1+3x)=e3213x3x01x-1（3）、lim(2x-1)x112(x-1)=lim1+2(x-1)=e2 x11x-3（4）、mil()=limx3x3x-25+xx111+(x-3)1x-3=1 e5x53x3（5）、lim(1-3x)x0=mil(1-3x)mil(1-3x)=lim(1-3

41、x)=e3 x0x0x03(1+)33e3n+3nil()=lim=2=e （6）、mnnn+2ne2(1+)22n(l1+（7）、limnln(n+1)-lnn=limnnnn1n)=1 nn(l1-2nismil（8）、x0xx)=limn(lx01-2nisx)-1-xn2isxn2isx=elimx0+x+-x2=13、利用夹逼准则证明：il（1）、mnn111+ +=1 222n+1n+2n+n111n2n2+ +2xn=2证明：设xn=n2，有 2 n+1n2+2n+nn+nn+1n2n2=1 =1 lim2而 lim2nn+nnn+1所以limnn111+ +=1 n2+1n2+

42、2n2+n（2）、limn1n+112+1n+2+12+ +1n+n12=1nn+n2证明：设xn=n+1n2n+22+ +nn+12n+n=12，有xn=nn+12而 linn+n12=1 limn所以 limnn+1nn2+1n+21n2+ +1n+n2=1（3）、lim(1+2+3)=3nn证明：设xn=1+2+3，有 (3)xn(33)nnnn1nn1n(3)=3 lim(33)=13=3 而 limnn1nn1nn1n所以 lim(1+2+3)=3nnnnx=1 （4）、lim+x01x证明：当x>0有1111-1<，所以1-x<x1 xxxx1lim(1-x)=1

43、limx=1 ，所以x0+x0+x(B)1、计算下列极限2x2nis（1）、limx112nis+3nisx3nisx+mx=2+0=2 il=milxx1xxx2il（2）、mnis2x03x-nisxnisxxnisxnis23xx=9-1=8 -lim=lim9x0x0(3x)2xnisx1(1+)xex+1x-2x=e)=lim（3）、lim( x3xx+3xe3(1+)33xnt（4）、lim(1-ax0x)1nis2xnisxnis=lim(1-)x0cosx2socxnisxsocxxn2is1xsocx=e 12mil（5）、nis2x0x-antxnisxco(sx-1)co

44、sx-1=mil=mil=milx0cx0x0xnisxxnis3xos2xxnis3x222-2nisx x2xcos2-sin=limx0x1=-1 x222-x2(l1-)2-2=-2 （6）、limxln(x-2)-lnx=limnxxxn(isx2-4)n(isx2-4)x2-4sin(x2-4)(x-2)(x+2)=mil2（7）、lim2 =lim22x2x2x-x+2x2x-4x-x-2(x-2)(x+1)x-4=4 3（8）、limx(+nisx2il-1)=mxxxnis1+nis22nisx=1 =milx22+1xx11n+)=e nnn21111证明：注意到 <

45、+2< nnnn-11n11n1n) 所以有 (1+)<(1+2)<(1+nnnn-111n1n-11lim(1+)n=e lim(1+)=lim(1+)(1+)=e nnnnn-1n-1n-111n所以由夹逼准则得：lim(1+2)=e nnnx+ax)=9，其中的常数a应该如何选择？ 3、要使lim(xx-ax+ax)=e2a，所以应该e2a=9，解得a=ln3 解：很容易求得lim(xx-a2、利用夹逼准则证明：lim(1+4、设x1=2 xn+1=2+xn，证明数列xn收敛，并求极限 证明：用单调有界定理证明x1=2<2，设xn<2，则有xn+1=2+xn

46、<4=2，由数学归纳法得知数列xn有上界另外，当n=1有x1=2<2+2=x2 设当n=k有xk<xk+1，于是有当2+xk<2+xk+1有2+xk<2+xk+1，所以 xk+1<xk+2，表明数列xn单调上升根据单调有界定理数列xn收敛。设limxn=a，根据保号性，有a>0 x2于是有a=2+a解得a=2，所以limxn=2 x21+xn14、设x1= xn+1=，证明数列xn收敛，并求极限 22证明：用单调有界定理证明11+()2111=x 当 n=1有x1=<+=22282设 当n=k有xk<xk+1，于是有以 xk+1上升 221

47、+xk1+xk+1=<=xk+2，表明数列xn单调22另外，当 n=1 有x1=1<1 2设当 n=k有xk<1，于是有 xk+121+xk1+1=<=1，表明数列xn有界 22根据单调有界定理数列xn收敛。设limxn=a，根据保号性，有a>0 x2于是有1+a=2a解得a=1，所以limxn=1 x6、证明不等式14n<(2n-1)!<(2n)!12n+1证明：用数学归纳法证明之（1）、(2n-1)!<(2n)!12n+1 当n=1,(2n-1)!111(21-1)!=,=<，所以成立(2n)!22n+1(21)!5(2k-1)!<

48、;(2k)!12k+11 121+1 设当n=k时有于是(2k-1)!(2k+1)<(2k)!2k+22k+1 2k+12k+2而 2k+12k+1， =2k+12k+22k+22212由于 4k+7k+3<4k+8k+4就是(2k+1)(2k+3)<(2k+2) 所以 (2k+1)!2k+12k+11，表明<=<2(k+1)!2k+12k+22k+22k+3112n+1成立 12(k+1)+1 所以(2n-1)!<(2n)!14n<（2）、(2n-1)! (2n)!当n=2,(2n-1)!3121(22-1)! =,=，所以成立<(2n)!84

49、n8(22)!4214k<(2k-1)! (2k)!设当n=k时有于是12k+1(2k+1)! <4k2k+2(2k+2)!3232而 16k+32k+16k<16k+32k+17k+4 因式分解后得到4k(2k+2)2<(2k+1)2(4K+4)就是14k+4所以 <12k+1 4k2k+214(k+1)14n14n<<(2k+1)! 2(k+1)!所以得到(2n-1)! (2n)!(2n-1)!<(2n)!12n+1 综合有 <7、设投资60000元的年利率为3%，若连续计算复利，试问投资者一年可得利息多少？投资多少年后总资金可翻一翻？

50、解：（1）如以年为单位计算则有利息p=600000.03=1800 0.0312)-60000=1824.96（元） 120.03365)-60000=1827.2（元） 如果以天为单位计算，则p=60000(1+3650.03365t)=2，解得t=24（年） （2）、设过t年后翻番则：(1+365如果以月为单位计算，则p=60000(1+习题1-6 (A)1、计算下列极限（1）、当x0，2x+x与x-x比较，哪个是高阶无穷小？ 2334x3-x4x-x23423x0x-x2x+x=lim=0解：由于lim2 所以、当，是的高阶无x02x+x3x02+x穷小（2）、当x1，x-1与x-3x+

51、2比较，哪个是高阶无穷小？ 23x-1x3-3x+2lim=0 所以、当x0，x3-3x+2是x2-1的高阶无=解：由于lim2x1x+1x1x-1穷小（3）、当x0，(1-x)a-1与3x是等价无穷小，其中常数a应该如何选择？ (1-x)a-1=1，所以应该有 a为整数如果为正整数则 解：由于limx03x(1-x)-1=limx0x03x这超出目前所学，设a=-n lima-nx+n(n-1)2x+ +(-1)nxnn2!=-=1 推出n=-3 3x3(1-x)a-11-(1-x)nlim=lim=limx0x03x(1-x)nx03xn=-3，所以a=-3 nx-n(n-1)2x+ +(

52、-1)n+1xnn2!=1 3x3（4）、当x1时，k(1-x3)与1-x是等价无穷小，求常数kk(1-x3)解：由题设有 li=1 x11-x1k(1-x)(1+x+x2)(1+3x+x2)于是有lim解得k= =lim=9k=1x1x19(1-x)1-x5、利用等价无穷小求极限 k(1-x3)nis4x4x4=mil= x0nx0at7x7x7niscraxxil=mil=1 （2）、mx0nx0xisx（1）、limil（3）、mx2x(e-1)=lim=2 n1xnarcsin(1-x)1-x=lim=limx1x1t0lnxlnx2x（4）、lim1n(l1-t)1t=lim1=-1 y0lne-1（5）、mil1-osct1+cosxmil=m=ilt0x1(x-1)2t0t22nis2tt2t2()222=lim= t02t2(ex-1)2ex-