数值分析复习大纲及课后答案

1、数值分析复习大纲编者：向穗华时间教材：数值分析（第5版）.李庆扬，王能超等编著.2008年12月第5版.第1章数值分析与科学计算引论1.1知识要点总结1. x :准确值2.*X :近似值3.*e :绝对误差4.*:误差限5.*er :相对误差* e*X6.*r:相对误差7.*X具有n位有效数字，则:8.误差 f(X) f (X* )f (X*)(X X* )9.误差限En误差Eo*(f(X ) f (X )1，则数值稳定10.计算函数值问题的条件数 Cp(X )* *X f(X )*f(x)10，则问题是变态的。11.避免误差危害，防止有效数字损失， 通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做

2、除还要注意运算次序和减少运算次数。12.秦九韶p(x)a°xnax* *an 1x an，求 p(x )和 p (x )1.2bobiCoCiao*bi庐*p(x )bnaibo*ci 1x*p(x )Cn 1课后习题参考答案1 设x 0,x的相对误差为，求In x的误差。解：令 f (x) ln(x)x的相对误差为* * *f (x)的误差为 f(x) f (x ) f (x )(x x )*x x*x所以，In x的误差为2 设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。解：令 f(x) xnx的相对误差为2%f (x)的相对误差为f(x*)f(x) f(x*)f (x*)(x*x )

3、*f(x )n 1n(x ) (x x )0.02n(x*)n所以，xn3 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x； 1.1021, x； 0.031, x； 385.6, x4 56.430,x5 7 1.0.解：x 1.1021是5位有效数字；x20.031是2位有效数字;x3385.6是4位有效数字；X456.430是5位有效数字；x57 1.0.是2位有效数字。4 .利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) X X2 X4 ,(2) X-|X2X3 ,(3) X2 / X4.其中x*,x；,x；,x4均为第3题所给的

4、数。解：5计算球体积要使相对误差限为1 %，问度量半径 R时允许的相对误差限是多少？43解：令球体体积函数f(R)R33f(R) 的相对误差限为i%所以，度量半径 R时允许的相对误差限是 0.33 %6 .设 丫0 28，按递推公式 Yn Yn 1783(n=1,2,)100计算到丫00。若取7783 27.982 ( 5位有效数字)，试问计算丫。将有多大误差？解：丁丫， Yn 1 丄 J783100依次代入后,有 丫100即 丫00丫0.783 ,若取、- 78327.982,丫。Y0 27.982丫00的误差限为1-1027 .求方程x256x 10的两个根，使它至少具有4位有效数字(-7

5、8327.982)。解: x2 56x故方程的根应为x,2 28 /783故 X128783 28 27.982 55.982Xi具有5位有效数字X2具有5位有效数字9 .正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ?2解：令正方形的面积函数为正方形的边长大约为 100cm * * * * *f (x)的误差为 f (x) f (x ) f (x )(x X ) 2x (x X )1所以，测量中边长误差限不超过时，才能使其面积误差不超过1cm211 .序列yn满足递推关系yn 10yn 1 1 (n=1,2,)，若y 2 1.41 (三位有效数字)，计算到y10时

6、误差有多大？这个计算过程稳定吗?解：设yn的误差为En, yn的近似值为yn1 8计算到y10时误差为一102这个计算过程不稳定12 .计算f (2 1)6，取 x2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?T，(3 2两3, (772?99 70、2。解：设f (x)*(x 1)6，条件数为 cp1，X 1.4设 f (x)(32x)3,条件数为cp2设 f (x)(32x) 3，条件数为cp3设 f (x)9970x,条件数为cp4通过1(3 2.2)3计算后得到的结果最好。可见，Cp3最小13 . f (x) In(x x2 1),求f(30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差

7、有多大？若改用另一等价公式。In(x x2 )ln(xx2 )计算，求对数时误差有多大?2解：令y x x 1，则 f(y) Iny所以，误差为0.3 10 2令 g(x) ln(x x21), zx2贝u g(z) In z所以，误差为0.834 1014 用秦九韶算法求多项式P(x)53x32x7在x = 3处的值。b)a。*解:由*p(x )bnbb 1x a.15.用迭代法xk 11 . 2(k 0,1,)求方程x2 x 10的正根1Xk*15x，取x°1,计算到X5，冋x5有几位有效数字。*1 V5解：x -r-0-618033988所以，0.62有2位有效数字第2章插值法

8、2.1知识要点总结1. n次插值多项式:2.已知 n + 1 个点(Xo,y。)，,(xn ,yn)n拉格朗日插值多项式 Ln（X）yk（X）k 0lk(x)(X Xo)(X Xk 1)(X Xk 1) (x Xn)(Xk X。) (Xk Xk 1)(Xk Xk 1) (Xk Xjlk（X） 为n次插值基函数。n性质：Ln(Xk)ykik(xQ ykk 03.令门 1(X) (X Xo)(X X1)(X Xn)4.拉格朗日插值余项5.牛顿均差插值多项式Pn（X） f （Xo） fXo，X1】（X Xo）fXo，X1,，Xn(XXo)(X Xn 1)均差 fXo，Xkf(Xk) f(Xo)Xk

9、Xoxkxo6.牛顿均差插值余项7. f Xo“，,Xn-f(n)()n!8.埃尔米特插值(1 )已知 p(xjf(Xi)(i0,1,2)，P")f(X1)，求 P(x)插值余项：広H3（Xk）yk,H3(xk 1)yk 1求H（2）已知3(X)H3(Xk)mk，H3(xk 1)mk 122课后习题参考答案1.当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4,求f(x)的二次插值多项式。(2 )用拉格朗日插值基底(3)用牛顿基底解:( 2)则二次拉格朗日插值多项式为(3)略。2.给出f(x) In x的数值表Xlnx用线性插值及二次插值计算In 0.54的近似值。解：由表格知，若采用线性

10、插值法计算In 0.54即f (0.54)，则 0.50.540.6若采用二次插值法计算In 0.54时，cosxO x 90的函数表，步长h 1(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播，记为(L(x)；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差，记为R(x)。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当O' x 90时,令 f (x) cosx1 , 1取 Xo 0

11、, h ()60 60 180 10800当x Xk,Xk 1时，线性插值多项式为函数表具有5位有效数字 插值余项为Xk0, hXkxk 1 m h,(xXk)(x1) m(m h)2mhm，最大值为h26.在4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长 h应取多少?解：若插值节点为 x 1,x和Xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即Xi 1Xih,Xi 1 n h设 f (t)当 f (t)t，则 t t(t h)(t0时，得t| f(t)|在h,hh) t3h2t13h；h处有顶点,若截断误差不

12、超过10 6，则8. f (x) X7 X4 3x 1,求 F 20,21-',27 及 F 20,21',28解： f(x) x7 x4 3x 1若 x2i,i0,1，,8则 f Xo,Xi，,xf(n)()n!14.求次数小于等于3的多项式P ( x),使其满足条件解:令 p(x) o(x)yoi(x)yio(x)yoi (x) yi则,yop(0) 0, yoP(0) 1,yip(i)i, yip(i) 2o (x)为二次式o(x)(ax b)(xi)2o(O)i 得 b = io(O)O 得 a = 2i(x)(ax b)x2i(i)i 得 a + b = ii(i)O

13、 得 3a + 2b =Oa= 2b = 3o(x)ax(x i)2o(x)a(x i)22ax(xi)o(O)i 得 a = ii(x)ax2(x i)i(x)2ax(x i)2 axi(i)i 得 a= i. 求一个次数不高于 4次的P(O) P'(O) i, PP'(i) i,P(2)令由由令由由令则由令则由多项式i6p(x) 次数小于等于3P ( X)，使它满足设 P(x) H3(x) A(x x°)2(x Xi)2其中，a为待定常数1 2 2从而 P(x) -x2(x 3)24第3 章 函数逼近与快速傅里叶变换3.1 知识要点总结1. c a, b 称为连续

14、函数空间cpa,b称为具有p阶连续导数的函数空间2. a1x1a2x2anxn0若 a1,an不全为o,能使上式成立，则,x1,xn 线性相关。若 a1,an全为0,才能使上式成立，则,x1,xn 线性无关。,、,»、一r亠口r人 /»、打I" 、/. -x1,xn生成的，即对x S都有3. 若线性空间 S 是由 n 个线性无关元素则x1, xn称为空间s的一组基，记为 S spanx1,xn，并称s为n维空间。系数a1,an称为x在基x(,xn下的坐标，记为(a，an)4.伯恩斯坦多项式5.若f (x), g(x) ca,b，(x)为a, b上的权函数且满足则称

15、f (x)与g(x)在a,b上带权(x)正交。6若函数族 o(x), 1(x), n(x)满足关系则称 k(x)是a,b 上带权 (x) 正交族7. 设 n(x)是a, b上首项系数an 0的n次多项式，(x)为a,b上的权函数。女口果多项式序列n(X)0满足正交函数族关系，则称多项式序列n(X)0为在a,b上带权 (X)正交，称 n(x)为在a,b上带权 (X)的n次正交多项式。8. 只 要 给 定 区 间 a,b 及权函数 (x) ， 均可由一 族线性无关 的 幂函 数1,x,x2,xn ，利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列n(x) 0n9. ( k(x), j(x)aj(f(x),

16、k(x), k 0,1, ,nj0是关于a0,a1,an的线性方程组，称为法方程。(o(x), o(x) ( o(x), i(x)(o(x), n( x)a。(i(x), o(x) ( i(x), i(x)(i(x), n(x)ai(f(x), o(x)(f(x), i(x)(n(x), n(x)an(f(x), n(x)(n (x), o(x) ( n(X), i(x)解出 a。®, ,an最佳平方逼近多项式 s(x)a0 0(x)an n(x)3.2课后习题参考答案1. f (x) sin x，给出0,1上的伯恩斯坦多项式 B(f,x)及B3(f,x)。2解：伯恩斯坦多项式为其中

17、 Pk(x): xk(1 x)n kk当n 1时，当n 3时，28.对权函数 (X) 1 x ,区间1,1，试求首项系数为1的正交多项式n(x),n 0,1,2,3.解： k(x)是首项系数为1的多项式2设 1(x) x c, 2(x) x ax bk (x)在区间1,1上带权函数(x) 1 x2正交1由(f ,g)1 f (x)g(x) (x)dx，得解得c=0解得 a = 0 b = - 2/53(X)x39x略。12设 f(x) x 3x 2, x 0,1，试求 f(x)在0,1上关于(x)1 ,2 span1, x的最佳平方逼近多项式。若取span1, x, x ，那么最佳平方逼2span1, x, x 近多项式是什么？解:f (x) x2 3x 2,