《新编基础物理学》(上册)第三章习题解答和分析

1、新编基础物理学上册第三章课后习题答案习题三3-1 半径为R 、质量为M 的均匀薄圆盘上,挖去一个直径为R 的圆孔,孔的中心在12R 处,求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量。分析:用补偿法(负质量法求解,由平行轴定理求其挖去部分的转动惯量,用原圆盘转动惯量减去挖去部分的转动惯量即得。注意对同一轴而言。解:没挖去前大圆对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为:2112J M R =由平行轴定理得被挖去部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为:2222213(2424232c M R M R J J m dM R =+=+=由式得所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴

2、的转动惯量为:2121332J J J M R =-=3-2 如题图3-2所示,一根均匀细铁丝,质量为M ,长度为L ,在其中点O 处弯成120=角,放在xOy 平面内,求铁丝对O x 轴、Oy 轴、O z 轴的转动惯量。 分析:取微元,由转动惯量的定义求积分可得 解:(1对x 轴的转动惯量为:2022201(sin 6032Lx M J r dm l dl M L L=(2对y 轴的转动惯量为: 20222015(sin 3032296Ly M L M J l dl M L L=+=(3对Z 轴的转动惯量为:22112(32212z M L J M L =3-3 电风扇开启电源后经过5s 达

3、到额定转速,此时角速度为每秒5转,关闭电源后经过16s 风扇停止转动,已知风扇转动惯量为20.5kg m ,且摩擦力矩f M 和电磁力矩M 均为常量,求电机的电磁力矩M 。分析:f M ,M 为常量,开启电源5s 内是匀加速转动,关闭电源16s 内是匀减速转动,可得相应加速度,由转动定律求得电磁力矩M 。 解:由定轴转动定律得:1fM MJ -=,即11252520.50.5 4.12516fM J MJ J N m =+=+=+=3-4 飞轮的质量为60kg ,直径为0.5m ,转速为1000/m in r ,现要求在5s 内使其制动,求制动力F ,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数0.4=,飞轮

4、的质量全部分布在轮的外周上,尺寸如题图3-4所示。题图3-2分析:分别考虑两个研究对象:闸瓦和杆。对象闸瓦对飞轮的摩擦力f 对O 点的力矩使飞轮逐渐停止转动,对飞由轮转动定律列方程,因摩擦系数是定值,则飞轮做匀角加速度运动,由转速求角加速度。对象杆受的合力矩为零。解:设闸瓦对飞轮的压力为N ,摩擦力为f ,力矩为M , 飞轮半径为R,则依题意得, M fR J = 0.4f N N = (0.50.750.5F N += 22600.25J mR = 10002605= 解:式得314F N =3-5 一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端,绳另一端绕在一轮轴的轴上,如题图3-5所示.轴水平且垂

5、直于轮轴面,其半径为r ,整个装置架在光滑的固定轴承之上.当物体从静止释放后,在时间t 内下降了一段距离S .试求整个轮轴的转动惯量(用r t m S 、和表示. 分析:隔离物体,分别画出轮和物体的受力图,由转动定律和牛顿第二定律及运动学方程求解。解:设绳子对物体(或绳子对轮轴的拉力为T , 则根据牛顿运动定律和转动定律得: mg T ma -= J Tr = 由运动学关系有: a r = 由、式解得:2(-J m g a r a = 又根据已知条件 00v = 2 12S at =, 22S a t= 将式代入式得: 2 2(12gtJ mr S=-3-6 一轴承光滑的定滑轮,质量为 2.0

6、0,M kg =半径为0.100,R m =一根不能伸长的轻绳,一端固定在定滑轮上,另一端系有一质量为 5.00,m kg =的物体,如题图3-6所示.已知定滑轮的转动惯量为212J M R =,其初角速度 010.0/,rad s =方向垂直纸面向里.求:(1定滑轮的角加速度的大小和方向; (2 定滑轮的角速度变化到0=时,物体上升的高度;(3 当物体回到原来位置时,定滑轮的角速度的大小和方向 分析:隔离体受力分析,对平动物体由牛顿第二定律列方程, 对定轴转动物体由转动定律列方程。 解:(1 mg T ma -=题图3-4题图3-5题图3-5R J T = R a = (2 222281.7

7、/122m gR m gR m grad s m R Jm M Rm R M R=+方向垂直纸面向外 (2 2202-=当0= 时, rad 612.022=物体上升的高度26.1210 m h R -=(3 10.0/rad s = 方向垂直纸面向外. 3-7 如题图3-7所示,质量为m 的物体与绕在质量为M 的定滑轮上的轻绳相连,设定滑轮质量M=2m ,半径R ,转轴光滑,设00t v =时,求:(1下落速度与时间t 的关系;(24t s =时,m 下落的距离;(3绳中的张力T 。分析:对质量为m 物体应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解:(1设物体m 与滑轮间的拉力大

8、小为T ,则mg T ma -= 212M T R J M R =a R = v at = 解:式得24.9/a m s =,并代入式得 4.9v t =(2设物体下落的距离为s ,则2211 4.9439.222s at m =(3由(1的式得, 4.9T mg ma N =-=3-8 如题图3-8所示,一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成,大盘质量110M kg =,半径0.10R m =,小盘质量24M kg =,半径0.05r m =。两盘边缘上分别绕有细绳,细绳的下端各悬质量122m m kg =的物体,此物体由静止释放,求:两物体12,m m 的加速度大小及方向。分析:分别对物体1

9、2,m m 应用牛顿第二定律,对滑轮应用刚体定轴转动定律 解:设物体12,m m 的加速度大小分别为12,a a 与滑轮的拉力分别为12,T T题图3-7m 图3-61111T m g m a -= 2222m g T m a -= 1a r = 2a R =21M T R T r J =-= 22121122J M R M r =+把数据代入,解上述各式得210.6125/a m s = 方向向上 22 1.225/a m s = 方向向下3-9 如题图3-9所示,一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上,其上装有一个定滑轮,若一根轻绳跨过它,两端分别与质量都为m 的物体1和物体2相

10、连。 (1若不考虑滑轮的质量,求物体1的加速度。(2若滑轮半径为r ,其转动惯量可用m 和r 表示为2J kmr =(k 是已知常量,绳子与滑轮之间无相对滑动,再求物体1的加速度。分析:(1对两物体分别应用牛顿第二定律列方程。(2两物体分别应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解:设物体1、物体2与滑轮间的拉力分别为1T 、2T 它们对地的加速度为a 。(1若不考虑滑轮的质量,则物体1、物体2与滑轮间的拉力1T 、2T 相等,记为T 。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律得,sin 30m g T m a T m g m a-=-=解上两式得:2/4/a g m s =,方向竖

11、直向下。(2若考虑滑轮的质量,则物体1、物体2与滑轮间的 拉力1T 、2T 不相等。则对1、2两物体分别应用牛顿第 二定律,和对滑轮应用刚体定轴转动定律得1m g T m a -=2sin 30T m g m a -= a r = 12M T r T r J =-= 2J kmr =解上述各式得:2/2(2g a m s k =+,方向竖直向下。3-10一飞轮直径为0.3m ,质量为5.0kg ,边缘绕有绳子,现用恒力拉绳子的一端,使其由静止均匀地绕中心轴加速,经 0.5s 转速达每秒10转,假定飞轮可看作实心圆柱体,求:(1飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数;(2拉力及拉力所作的功;(3

12、从拉动后10t s=题图3-8题图3-9时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。分析:利用转动定律,力矩作的功定义,线量与角量的关系求解。 解:(1角加速度为:22102 1.2610/0.5rad s t =转过的角度为:22211 1.26100.515.722t rad =转过的圈数为: 2.52N =圈(2由转动定律M fR J =得 220.550.15 1.261047.10.15J f N R =力矩做的功为:047.10.1515.7111A Md M J =(3角速度为:231.261010 1.2610/t rad s = 边缘一点的线速度为:320.15 1.2610

13、 1.8810/v R m s =边缘一点的法向加速度为:226520.15 1.2610 2.3710/n a R m s =边缘一点的切向加速度为:220.15 1.261018.84/a R m s =3-11 一质量为M ,长为l 的匀质细杆,一端固接一质量为m 的小球,可绕杆的另一端O 无摩擦地在竖直平面内转动,现将小球从水平位置A 向下抛射,使球恰好通过最高点C ,如题图3-11所示。求:(1下抛初速度0v ;(2在最低点B 时,细杆对球的作用力。 分析:由机械能守恒定律、牛顿第二定律、角线量关系求解。 解:(1如图3-11,取向下抛点作势能零点,由机械能守恒定律得,2201122

14、2l m v J M gm gl +=+ J=213M l 0v l = 解得,0v = (2取最低点作势能零点,由机械能守恒定律和牛顿第二定律得,2211222m v J M gl m gl +=+ 2vN mg ml-= v l = 213J M l =题图3-11解:得,1573m M N m g m M+=+3-12 物体质量为3,0kg t =时位于14,6r i m i j m s -=+ ,如一恒力5f j N = 作用在物体上,求3s 后,(1物体动量的变化;(2相对z 轴角动量的变化。分析:写出(t r的表达式及力f 对Z 轴的力矩M。由动量定理、角动量定理求解。 解:(1由

15、动量定理得,动量的增量为: 31515t P f dt j dt j kg m s -=(2由角动量定理得,角动量的增量为:30tt L M dt M dt =而(M r t f =22000015(4(626x y r t x t i y t j x v t i y v t at j t i t t j =+=+=+5f j =把代入解得:(205M t k =+把代入解得:3321(20582.5L M dt t k dt k kg m s -=+=3-13 水平面内有一静止的长为L 、质量为m 的细棒,可绕通过棒一末端的固定点在水平面内转动。今有一质量为12m 、速率为v 的子弹在水平面

16、内沿棒的垂直方向射向棒的中点,子弹穿出时速率减为12v ,当棒转动后,设棒上单位长度受到的阻力正比于该点的速率(比例系数为k 试求:(1子弹穿出时,棒的角速度0为多少?(2当棒以转动时,受到的阻力矩f M 为多大?(3棒从0变为012时,经历的时间为多少?分析:把子弹与棒看作一个系统,子弹击穿棒的过程中,转轴处的作用力的力矩为零,所以击穿前后系统角动量守恒,可求待击穿瞬间棒的角速度。棒转动过程中,对棒划微元计算元阻力矩,积分可得总阻力矩,应用转动定律或角动量定理可求得所需时间。解:(1以子弹和棒组成的系统为研究对象。取子弹和棒碰撞中间的任一状态分析受力,子弹与棒之间的碰撞力f 、'f

17、是内力。一对相互作用力对同一转轴来说,其力矩之和为零。因此,可以认为棒和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为零,则系统对转轴的角动量守恒。22222213m v L m v L J J m L=+=解上述两式得:038v L=(2设在离转轴距离为l 得取一微元d l ,则该微元所受的阻力为:df kvdl kl dl =该微元所受的阻力对转轴的力矩为: dl l k ldf dMf2=则细棒所受到的总阻力矩为:2313L L ffMdMk l dl k L =(3由刚体定轴转动定律得,313fd MJ Jk L dt=-=即上式可化为:313d JkL dt -=对上式两边分别积分得:03213t

18、 d J kL dt -=解上式积分得:33ln 2J t kL=把213J m L =代入上式得:ln 2m t kL=3-14两滑冰运动员,质量分别为70AMkg =,80B M kg =,它们的速率17,A m s -=,18B m s -=在相距1.5m 的两平行线上相向而行,当两人最接近时,便拉起手来,开始绕质心作圆周运动并保持两人间的距离1.5m 不变。求:(1系统总的角动量;(2系统一起绕质心旋转的角速度;(3两人拉手前后的总动能,这一过程中机械能是否守恒,为什么? 分析:利用系统质心公式,两人组成系统前后角动量守恒和动能公式求解。 解:(1设两人相距最近时以运动员A 作原点,由

19、质心公式得,两运动员的质心为:70080 1.50.87080A AB BABM x M x x m MM +=+两人组成的系统对质心的总的角动量为:21(1.57070.8808(1.50.8840A A B B L M v x M v x kg m s-=+-=+-=(2两人拉手过程中,所受力对质心转轴的力矩之和为零,则两人组成系统前后角动量守恒。22(1.5A B L J M x M x =+-22即:840=(700.8+800.7解上式得:10/rad s = (3两人拉手前的动能为:22220111170780842752222K A A B B E M v M v J =+=+=

20、两人拉手后的动能为:222211(700.8800.710420022K E J J =+=因此,系统前后的机械能不守恒。我们可以把两人拉手的过程看作完全非弹性碰撞,因此系统前后机械能不守恒。3-15 如题图3-15所示,一长为2l 、质量为M 的匀质细棒,可绕棒中点的水平轴O 在竖直面内转动,开始时棒静止在水平位置,一质量为m 的小球以速度u 垂直下落在棒的端点,设小球与棒作弹性碰撞,求碰撞后小球的反弹速度v 及棒转动的角速度各为多少? 分析:以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任一状态分析受力,棒受的重力M g 和轴对棒的支撑力N 对O 轴的力矩均为零。小球虽受重力mg 作

21、用,但比起碰撞时小球与棒之间的碰撞力f 、'f 而言,可以忽略不计。又f 、'f 是内力,一对相互作用力对同一转轴来说,其力矩之和为零。因此,可以认为棒和小球组成的系统对O 轴的合外力矩为零,则系统对O 轴的角动量守恒。解:取垂直纸面向里为角动量L 正向,则系统初态角动量为m ul ,终态角动量为J (小棒和m vl -(小球,有角动量守恒定律得m ul J m vl =- 因为弹性碰撞,系统机械能守恒,可得222111222m u m v J =+ 又2211(2123J M l M l =联立式,解得 336(3M m v uM mm u M m l-=+=+3-16 一长

22、为L 、质量为m 的匀质细棒,如题图3-16所示,可绕水平轴O 在竖直面内旋转,若轴光滑,今使棒从水平位置自由下摆。求:(1在水平位置和竖直位置棒的角加速度;(2棒转过角时的角速度。分析:由转动定律求角加速度,由在转动过程中机械能守恒求角速度。 解:(1有刚体定轴转动定律M J =得,细棒在水平位置的角加速度为:232123Lm gM g JL m L =细棒在竖直位置的角加速度为:20013M Jm L=(2细棒在转动的过程中机械能守恒,由机械能守恒定律得, 题图3-16题图3-15221sin 2213L m gJ J m L=又解上述两式得:= 3-17 弹簧、定滑轮和物体如题图3-17

23、所示放置,弹簧劲度系数k 为12.0N m -;物体的质量 6.0m kg 为。滑轮和轻绳间无相对滑动,开始时用手托住物体,弹簧无伸长。求: (1若不考虑滑轮的转动惯量,手移开后,弹簧伸长多少时,物体处于受力平衡状态及此时弹簧的弹性势能;(2设定滑轮的转动惯量为20.5kg m ,半径0.3r m 为,手移开后,物体下落0.4m 时,它的速度为多大?分析:(1不考虑滑轮的转动惯量,由物体受力平衡求伸长量x , 再求弹性势能。(2若考虑滑轮的转动惯量,则弹簧、滑轮、物体和地球 组成的系统机械能守恒解:(1若不考虑滑轮的转动惯量,设弹簧伸长了x 距离 时物体处于受力平衡状态, 则:mg kx =6

24、3(2m g g x g m k =此时弹簧的弹性势能为:222112(3922p E kx g g J =(2若考虑滑轮得转动惯量,设物体下落的距离为h 时,它的速度为v ,滑轮的角速度为,则由机械能守恒定律得,222111222m gh m v J khv r =+=把数据代入上述两式得,221116100.460.520.42220.3v v =+=解上述两式得: 2.0/v m s =3-18一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为0.设它所受阻力矩与转动角速度成正比,即M k =-(k 为正的常数,求圆盘的角速度从0变为012时所需的时间.分析:由转动定律及角加速度的定义,对角速度积分可求解。 解:根据转动定律:M J =题图3-17d Jk dt=- d k dt J =- 两边积分: 021d d t k t J=-得(ln