2019高数4章习题课ppt课件

1、 第三章 二二 、习题选讲、习题选讲 一、知识点复习一、知识点复习 第四章第四章机动 目录 上页 下页 返回 完毕 习题课习题课二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 不定积分的概念与性质 第四章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数 .则称 F

2、(x) 为f (x) 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .(p176Th1,下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号;)(xf 被积函数;xxfd)( 被积表达式.x 积分变量;(P135)假设, )()(xfxF那么CxFxxf)(d)(

3、C 为任意常数 )C 称为积分常数不可丢 !记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本积分表基本积分表 (P137表表4.1)从不定积分定义可知(p135定义2之后）:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx co

4、tarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 假设假设, )()(1xfkxfinii那么xxfkxxfiniid)(d)(1x

5、xfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 137)2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 换元积分法 第四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 机动 目录 上

6、页 下页 返回 完毕 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxx

7、fdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1

8、xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 返回 完毕 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如二、第二类换元法二、第二类换元法uufd)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(定理定理2 . 设设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt)(1xt机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则有换元公式说明说明:被积函数含有22ax 时, 除

9、采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考书上 P148)taxch或22ax 或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三角代换外, 还可利用公式小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动 目录 上页 下页 返回 完毕 理解，参考华东师范大学编数学分析xxdtan)1

10、6(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 常用基本积分公式的补充(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 ,d)()6(xafx令xat （p143例4.28)（p143例4.27)xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 完毕 （p142例4.25)（p14

11、3例4.26)（p147例4.45)第三节由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 分部积分法 第四章 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v机动 目录 上页 下页 返回 完毕 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循

12、环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .例4 目录 上页 下页 返回 完毕 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第四节 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分 几种特殊函数的积分

13、本节内容: 第四章 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为p160定理1）kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 完毕 四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42)

14、1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xqxpxNxMd. 32)2( d4)2(2)2(22pxpqpxMpNpxM4)2(d4)2(122222pqpxpqpxM)2( d4)2(1)2(22pxpqpxMpN机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 二二 、三角函数有理式的积分、三角函数有理式的积分设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2ta

15、nxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 那么说明说明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便(p164) .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 简便 , 。倒数，求该曲线的方程斜率等于该点横坐标的，且在任

16、一点处的切线一曲线通过点)3 ,(1#1402eAp机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xy1解：由题知：Cxdxxy|ln1)3 ,(2e又曲线过点Ce|ln321 C1|lnxy所以曲线的方程为：dxxxxAp1133)5(3#141224求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdxxxx11) 1(31133222224解：dxxx11322Cxxarctan30sin02)(,)() 1 (4#141xxxxxfdxxfAp其中求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxdxxfxsin)(0时，解：当1cosCxxdxdxxfx2)(0时，当22Cx 处连续由

17、于原函数在0 x211CC010cos)(2xCxxCxdxxf从而.2cos1cos13#1412dxxxBp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxdxxx222cos2cos12cos1cos1解：dxx 1sec212Cxx)(tan21.) 1 (2#1512dxxeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(21222xdedxxexx解：Cex221.)1cos()2(2#1512dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )1 ()1cos(21)1cos(222xdxdxxx解：Cx)1sin(212.lncos)3(2#151dxxx

18、Ap求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(lnlncoslncosxxddxxx解：Cxlnsin.1sin1)4(2#1512dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )1(1sin1sin12xdxdxxx解：Cx1cos.cos)5(2#1512222dxxaxaxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(coscos22222222xadxadxxaxax解：Cxa22sin.)ln21 (1)6(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )ln21 (ln21121)ln21 (1xdxdxxx解：Cx |ln21 |

19、ln21.)7(2#1513dxxeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )3(3233xdedxxexx解：Cex332.sin)8(2#1513xdxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxxxdxsinsinsin23解：)(cos)cos1 (2xdxCxxcoscos313.3cos2sin)9(2#151xdxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdxx)sin(5sin213cos2sin解：xdxxxdsin21)5(5sin101Cxxcos215cos101.cossin)10(2#15142xdxxAp求不定积分机动

20、目录 上页 下页 返回 完毕 xdxxxdxx4242cos)cos1 (cossin解：dxxx)cos(cos64dxxx)22cos1()22cos1(32dxxxx)2(cos81)2(cos812cos818132.cossin)10(2#15142xdxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxx)2(cos81)2(cos812cos818132dxxxdxxx)2cos()2sin1 (8124cos1812cos81812xxx4sin6412sin161161)2(sin(2sin161)2cos(812xdxdxxCxxx2sin4814sin64116

21、13.tan)11(2#1514xdxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdx) 1(sectantan224解：xdxxdxx222tansectandxxxxd) 1(sec)(tantan22Cxxxtantan313.tan)12(2#1513xdxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdx) 1(sectantan23解：xdxxdxxtansectan2)(coscos1)(tantanxdxxxdCxx|cos|lntan212.cos2sin1)13(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxd

22、xxx222cossin2cossincos2sin1解：dxxdxxxsin121cossin212dxxxxdxx2sinsin21sectan21dxxxxx)cos1)(cos1 (sin21sec21.cos2sin1)13(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxx)cos1)(cos1 (sin21sec21dxxxxxxcos1sincos1sin41sec21xxdxxdxcos1)cos1 (41cos1)cos1 (41sec21Cxxx|cos1cos1|ln41sec21.sinlncot)14(2#151dxxxAp求不定积分机

23、动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxcotsincos)sin(ln解：注意到dxxxdxxxsinln)lnsinsinlncot（所以：xxdsinln)lnsin（Cx |sinln|ln.) 1() 1ln(ln)15(2#151dxxxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ) 1(1111)1ln(lnxxxxxx解：注意到：)1ln(ln)1ln(ln) 1() 1ln(lnxxdxxdxxxxx所以Cxx2)1ln(ln21.)ln(ln1)16(2#1512dxxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2)ln(ln1)ln(xxxxxx解：

24、注意到：dxxxxdxxxx2)ln()ln(ln1Cxxxln.1)17(2#15122dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxdxxx22221111解：dxxx)1)(1 (11dxxx)1111(211Cxxx|11|ln21.11)18(2#1513dxeeApxx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxeeeedxeexxxxxx1) 1)(1(1123解：dxeexx) 1(2Cxeexx221.)1 (1)19(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxdxxx2)(112)1 (1解：Cx arctan2.)

25、sin(cos1)20(2#1512dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxdxxx)4(sin21)sin(cos122解：)4()4(csc212xdxCx)4cot(21.sincos1)21(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxdxxx)4sin(21sincos1解：)4()4csc(21xdxdxxxxxx)4cot()4csc()4cot()4)csc(4csc(21.sincos1)21(2#151dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxx)4cot()4csc()4cot()4csc(2

26、1Cxx| )4cot()4csc(|ln21.)(1)22(2#1512/322dxxaAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtadxtaxcos,sin解：令dttatadxxa332/322coscos)(1tdta22sec1Ctatan12Cttacossin12Cxxa2211.75)23(2#1512dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxdxxx17577522解：tdttdxtxtansec57,sec75令tdttttdxxxtansec57tancos757752dtt2tan7dtt) 1(sec72.75)23(2#1512d

27、xxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dtt) 1(sec72Ctt)(tan71751sectan22xtt而175arctan2xtCxx)175arctan-175722（原式Cxx175arctan7-7522.1)24(2#1514dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxdxxx111144解：dxxxxx11) 1)(1)(1(2dxxxxx)111(23Cxxxxx| 1|ln213141234.)25(2#151222dxxaxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtadxtaxcos,sin解：令tdtatatadx

28、xaxcoscossin22222dtta22cos12Ctta)22sin(22Cttta)cossin(22Caxaxaxa)1(arcsin2222Cxaxaxa2222arcsin2.1)26(2#15123dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtdxtx2sec,tan解：令tdtttdxxx2323secsectan1tdttsectan3tdtttsectantan2)(sectan2ttd)(sec) 1(sec2tdtCttsecsec31311tansec22xtt而Cxx1)1(31232所以原式.1)26(2#15123dxxxAp求不定积分机动

29、 目录 上页 下页 返回 完毕 ）（另解：2222311211xdxxdxxx）（222111121xdxx）（2221)111(21xdxxCxx12)1(3221232Cxx2321)1(31.) 1(1)27(2#1512/32dxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,tansec,sectdttdxtx解：令dttttdxx32/32tantansec) 1(1dttt2sincos)(sinsin12tdtCtsin1Ct2cos11Cx2111Cxx12.)1 (1)28(2#1516dxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )()1 (161)1

30、(16666xdxxdxxx解：)(11161666xdxxCxx661ln61.11)29(2#151dxeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtdxetexx21解：令xxxxeedxedxe111tttdt) 1(22dttt)1111(Ctt|11|lnCeexx|1111|ln其中.sin11)30(2#151dxxAp求不定积分.sin11)30(2#151dxxAp求不定积分Cxxdxxdxxxdxxdx)42cot()42()42(csc)42(sin2)2cos2(sinsin1222解三：.sin11)30(2#151dxxAp求不定积分)10203(s

31、in1分）一（西师xdx.51)31(2#15122dxxxAp求不定积分,cos5,sin5tdxtx解：令dttttdxxxcos5sin5cos551222tdt2csc51Ct cot51Ct1csc512Cx15512.51)32(2#1512dxxxAp求不定积分,cos5,sin5tdxtx解：令dttttdxxxcos5sin5cos5512tdtcsc51dttttttcotcsc)cot(csccsc51dtttttcotcsc)cot(csc51Ctt|cotcsc|ln51Cxxx|5155|ln512.51)32(2#1512dxxxAp求不定积分）（另解：22225

32、512151xdxxdxxxtdttttx2)5(1215222dtt512dttt5151521Ctt|55|ln521Cxx|5555|ln52122.432)33(2#1512dxxxxAp求不定积分dxxxxxdxxxx431)43(21432222另解：dxxxxd47)23(121)43(2122Cxxx7)2/3(2arctan7221|43|ln212Cxxx732arctan71|43|ln212.1)34(2#1514dxxxAp求不定积分)() 1)(1(12112224xdxxdxxx解：)(111141222xdxxCxx|11|ln4122.11)35(2#1512

33、dxxxAp求不定积分dxxdxxx22)2/1(4/5111解：dttttxcos2/5cos2/5sin2/52/1dtCt Cx)21(52arcsin.91621)36(2#1512dxxxAp求不定积分dxxdxxxdxxx2229161916189191621解：dxxxdx222)43(1141)916(916191Cxx43arcsin3441916922Cxx43arcsin31916922.cossin)37(2#1513dxxxAp求不定积分)(coscossincossin23xdxxdxxx解：)(coscos1cos2xdxx)(cos)cos1(cosxdxxCx

34、x|cos|lncos212.cos)38(2#1514xdxAp求不定积分dxxxdx24)22cos1(cos解：dxxx)2cos2cos21 (412dxxx)24cos12cos21 (41Cxxxx)4sin41(212sin(41Cxxx4sin1612sin4183.sectan)39(2#15143xdxxAp求不定积分dxxxxxxdxx)sec(tansectansectan3243解：)(secsec) 1(sec32xxdxCxx46sec41sec61dxxxxxdxx)(secsectansectan22343另解：)(tan) 1(tantan23xdxxCxx

35、46tan41tan61.12sin)40(2#1512sindxexApx求不定积分,2sin)(sin2xx解：注意到xxxexddxexdxex222sin2sin2sin1)(sin1)(sin12sin)1 ()(222sinsinsinxxxeeed)(111222sinsinsinxxxedeeCeexx)1ln(ln22sinsinCexx)1ln(sin2sin2.111)41(2#1513dxxAp求不定积分dttttxdxx233) 1(311111解：dttt)363(Cttt|ln36232Cxxx|11 |ln3)11 (6)11 (233323Cxxx|11 |l

36、n313) 1(233332.32)42(2#1512dxxxAp求不定积分tdttttxdxxx22)3(332222解：dttt)22122(24Cttt2245235Cxxx322)3(4)3(5235.1)43(2#1514dxxxAp求不定积分dtttttxdxxx3244411解：dttt2411dttt14442dttt14)44(Cttt| 1|ln4422Cxxx| 1|ln44244.)1 ()44(2#1513/235dxxxAp求不定积分)1 ()1 (31)1 (33/2333/235xdxxdxxx解：dttttx3/23) 1(311dttt)(313/23/5C

37、tt)5383(313/53/8Cxx3/533/83)1 (51)1 (81.11)45(2#1513dxxxAp求不定积分dxxxxxdxxx1) 1)(1(1123解：dxxx) 1(Cxxx2/323221.) 1() 1(1)46(2#151342dxxxAp求不定积分dxxxxxdxxx3342111) 1)(1(1) 1() 1(1解：3331111ttxtxx令3234)1 () 1)(1(1ttxxdtttdx232)1 (6.) 1() 1(1)46(2#151342dxxxAp求不定积分dttttt232423)1 (64)1 (原式dtt223Ct23Cxx31123.

38、)52(3#152dxxchBp求不定积分)52()52(21xdxch解：原式Cxsh)52(21.)42(sin14#1522dxxBp求不定积分)42()42(csc21)42(sin122xdxdxx解：Cx)42(cot212.15#15232dxxxBp求不定积分) 1(113113332xdxdxxx解：Cx| 1|ln313.46#1524dxxxBp求不定积分)(41214244xdxdxxx解：)2()2(1121222xdxCx)2arcsin(212.sin7#1524xdxBp求不定积分dxxxdx24)2cos1 (41sin解：dxxx)2cos2cos21 (4

39、12dxxx)24cos12cos21 (41Cxxx4sin3212sin4183.ln9#152dxxxBp求不定积分)(lnlnlnxdxdxxx解：Cx2/3)(ln32.sec10#1524xdxBp求不定积分)(tansecsec24xxdxdx解：)(tan) 1(tan2xdxCxxtantan313222d)(2123xax.d)(11#15223223xaxxBp求不定积分解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .d

40、)1 (12#152324xxxBp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtdxtxcos,sin解：令ttttxxxdcoscossind)1 (34324tttdcossin24tttdcos)cos1 (222tttd)cos2(sec22ttttd22cos12tanCttt2sin4123tanCxxxxx22121arcsin231.d)4(113#1526xxxBp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )( d)4(161d)4(16666xxxxxx解：)( d411241666xxxCxx|4|ln24166.d) 1 ( 1#1593xexApx求不定积

41、分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(31d33xxexdxex解：dxeexxx333131Ceexxx339131.darctan)2( 1#159xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxxx21arctandarctan解：)1 (1121arctan22xdxxxCxxx)1ln(21arctan2.dsin) 3( 1#1592xxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxxxxcosdsin22解：xxdxxxcos2cos2xxdxxsin2cos2xxdxxxxsin2sin2cos2Cxxxxxcos2sin2cos2.darcs

42、in)4( 1#159xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxxxxd1arcsindarcsin2解：)1d(1121arcsin22xxxxCxxx21arcsin.dcos)5( 1#159xxeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxexxxedcosdcos解：xxexexxdsincosxxexxedsincosxxexexexxxdcossincosCxxex)sin(cos21原式.dsec)6( 1#1593xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxtandsecdsec3解：xxxxxxdtansectantanse

43、cxxxxxdsec) 1(sectansec2xxxxxxdsecdsectansec3xxxxxxdsec|tansec|lntansec3Cxxxx）（原式|tansec|lntansec21.d)1 (1)7( 1#15922xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxxxd)1 ()1 (d)1 (1222222解：xxxxxd)1 (d112222211d21arctanxxxd11121arctan22xxxxxCxxx2121arctan21.dln)8( 1#1592xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxxxxxln2lndln22解：

44、dxxxxx2ln2ln2Cxxxxx2ln2ln2.d) 1ln()9( 1#159xxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2d) 1ln(d) 1ln(2xxxxx解：xxxxxd1122) 1ln(22xxxxxd111212) 1ln(22xxxxxd)111(212) 1ln(2Cxxxx| 1|ln21) 1(412) 1ln(22.d1arctan)10( 1#1592xxxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 221darctand1arctanxxxxxx解：xxxxxd11arctan1222xxxxd11arctan122)45. 4147(

45、|1|lnarctan122例pCxxxx.d)(arcsin)11( 1#1592xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxxxxxd1arcsin2)(arcsind)(arcsin222解：221darcsin2)(arcsinxxxxxxxxxxxd112arcsin12)(arcsin2222Cxxxxx2arcsin12)(arcsin22.dsin)12( 1#1592xxeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxexxxedsindsin22解：xxxexexxdcossin2sin2xxexxed2sinsin2xxexexxd2cos2-

46、2sinxxexxed2cos2-2sinxxexexexxxd2sin42cos22sinxexd2sin而Cxexexxexxx)2cos22sin(51d2sinCxexexexxx)2cos22sin(51sin2原式.d)13( 1#1593xeApx求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dttdxtx233,解：令dttexetx23d3tdet23dtteettt632tttdeet632dteteetttt6632Ceteetttt6632Cxxex)22(33323.dsin)14( 1#159xxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtdxtx2,解

47、：令tttxxdsin2dsinttcosd2ttttdcos2cos2Ctttsin2cos2Cxxxsin2cos2.d1)1ln()15( 1#159xxxAp求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtdxtx2,1解：令ttttxxxdln2d1)1ln(2ttdln4Cttt4ln4Cxxx141ln14Cxxx14)1ln(12dxxxfxfxxAp)()(sin2#159的一个原函数，求积分是已知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2sincos)sin()(xxxxxxxf解：)()(xxdfdxxxfdxxfxxf)()(Cxxxxfsin)(Cxxxxxxxsin

48、sincos2Cxxxxsin2cos13#159nxnnxnnnIexIdxexIAp：，试用分部积分法证明设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xnxnndexdxexI解：xdexnexxnxn11nxnnIexdxxxBplnln1#159求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxddxxxlnlnlnlnln解：tdttxlnlndtttlnCttt lnCxxxlnlnlnlndxxxBp23ln2#159求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxddxxx1lnln323解：dxxxxx223ln3lnxxdxx1ln3ln23dxxxxxxx223ln6ln3l

49、nxxdxxxx1ln6ln3ln23dxxxxxxxx22316ln6ln3lnCxxxxxxx6ln6ln3ln23dxxeBpx2sin3#1592求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxdexdxxe222sin212sin解：dxxexexx2cos412sin222xxdexxe222cos812sin2dxxexexexxx2sin1612cos82sin2222Cxxex）（原式2cos2sin41722dxexeBpxx24#159求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxeexdxexexxxx2)2(2解：22xexddxeexxx2222tdtttte

50、dxeeedxexxxxx222222而dtt)2(1222Ctt2arctan222Ceeexxxx22arctan242422原式dxearceBpxxcot5#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxxxdeearcdxearcecotcot解：dxeeeearcexxxxx21cotdxeearcexxx211cotxxxxxdeeeearce222)1 (21cotxxxxxdeeeearce22211121cotCeeearcexxxx)1ln(21ln21cot22Cexearcexxx)1ln(21cot2xdxxBpnln6#160求不定积分机动 目录 上页

51、下页 返回 完毕 1ln11lnnnxdxnxdxx解：1ln11nxdxndxxnxnxnn11ln11Cxnxnxnn121) 1(1ln1xdxBparccos7#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxxdx21arccosarccos解：)1 (1121arccos22xdxxxCxxx21arccosdBp43sincos8#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 sinsincossincos4243dd解：sinsinsin142dsin)sin1sin1(24dCsin1sin313dxxxBp2)tan1sec(9#160求不定积分机动

52、目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxdxxx222)tan1 (sec)tan1sec(解：dxxx2)tan1 ()tan1 ()tan1 ()tan1 (12xdxCxtan11dxxxBp2coscosln10#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xdxxdxxx22seccoslncoscosln解：xxd tancoslndxxxxxxcossintancoslntandxxxx) 1(seccoslntan2CxxxxtancoslntanxdxBplnsin11#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 tdtetxxdxtsinlnlnsin解：td

53、tetettcossintdtetetetttsincossinCttet)cos(sin21原式Cxxx)lncosln(sin21dxxxxBp21arcsin12#160求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 221arcsin1arcsinxxddxxxx解：dxxxxx22211arcsin1Cxxxarcsin12dxxxAp31#1653求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxdxxx327)93)(3(323解：dxxdxxx3127)93(2Cxxxx|3|ln279233123dxxxxxAp34582#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回

54、完毕 dxxxxxxxxxdxxxxx32233458) 1)(8解：dxxxxxxx)81(32211) 1)(188232xCxBxAxxxxxxxxx（设) 1) 1() 1)(182xCxxBxxxAxx（880AAx令3621BBx令4821CCx令dxxxxxAp34582#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxxdxxxxx)141381(82345Cxxxxxx| 1|ln4| 1|ln3|ln8213123dxxxxAp) 1() 1(13#16522求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 222) 1(11) 1() 1(1xCxBxAxxx

55、解：设) 1() 1)(1() 1(122xCxxBxAx2/11Ax令11Cx令2/10Bx令dxxxxdxxxx) 1(1) 1(21) 1(21() 1() 1(1222Cxx11| 1|ln212dxxAp814#1653求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 422)42)(2(181223xxCBxxAxxxx解：设1)2)()42(2xCBxxxA12/12Ax令3/10Cx令12/11Bx令dxxxxxdxx423/112/)2(1218123dxxxxx4212/512/112/|2|ln1212dxxAp814#1653求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 d

56、xxdxxxxxx3) 1(112542)42(241|2|ln121222Cxxxx31arctan3112542|ln241|2|ln1212dxxxxxAp1125#165334求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1) 12)(1(11233334xxxxxxxx解：) 1)(1(122xxxxx11122xxCBxxAxxxCBxxxA) 1)() 1(23/11Ax令3/10Cx令3/1 B比较平方项系数dxxxxxAp1125#165334求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxxdxxdxxxxx111131) 12(1122334dxxxxxxx1)2

57、/1(2/331| 1|ln3122dxxxxxdxxxxx1) 1(31)23()2/1(121| 1|ln3122222Cxxxxxx| 1|ln31)2/1(32arctan3221| 1|ln3122Cxxxxxx| 1|ln31312arctan31| 1|ln3122dxxxxAp) 1)(1(16#16522求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 11) 1)(1(12222xxDCxxBAxxxx解：设1) 1)() 1)(22xDCxxxBAx1, 1, 0, 1DCBA比较系数得dxxxxdxxxdxxxx111) 1)(1(12222dxxxxAp) 1)(1(16

58、#16522求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdxxx12/12/11) 1(21222dxxxxx2222)23()2/1(121| 1|ln21| 1|ln21Cxxxx)2/1(32arctan3221| 1|ln21| 1|ln2122Cxxxx312arctan31|11|ln2122dxxxxAp) 3)(2)(1(17#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )3(2121) 1(21)3)(2)(1(1xxxxxx解：dxxxxdxxxx)3(2121) 1(21)3)(2)(1(1Cxxx|2|ln| )3)(1( |ln21dxxxxAp)

59、(1(18#16522求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ) 1(21) 1(211)(1(1222xxxxxxx解：dxxxxxdxxxx) 1(21) 1(211)(1(1222Cxxxxarctan21| 1|ln41| 1|ln21|ln2dxxxAp) 1(19#1652求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxxxxdxxx11) 1(122解：Cxx|lnarctandxxApcos3110#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22212,11cos,2tantdtdxttxtx解：令222121131cos31tdtttdxx22tdtCt2a

60、rctan21Cx22tanarctan21dxxxApcossin1111#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 222212,11cos,12sin,2tantdtdxttxttxtx解：令222212111211cossin11tdtttttdxxxtdt1Ct |1 |lnCx|2tan1 |lndxxxAp2cos21tan12#165求不定积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 21,tantdtdxtx解：令2221121cos21tantdtttdxxx23ttdtCt)3ln(212Cx )tan3ln(212dxxxxBp33411#165求不定积分机动 目录