2019级第14次课第五节函数的微分与应用ppt课件

1、第五节第五节 函数的微分与应用函数的微分与应用一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用上一页下一页返回一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为

2、的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0上一页下一页返回再例如再例如,.,03yxxxxy求函数的改变量求函数的改变量时时为为的改变量的改变量处处在点在点设函数设函数 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函

3、数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?上一页下一页返回二、微分的定义二、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )

4、上一页下一页返回由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).(01x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 上一页下一页返回三、可微的条件三、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证：证：(1) 必要性必要性,)(0

5、可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数上一页下一页返回(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数上一

6、页下一页返回例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy上一页下一页返回四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(如图如图).,对应的增量对应的

7、增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 上一页下一页返回五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 上

8、一页下一页返回dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc上一页下一页返回例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdy

9、xx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 上一页下一页返回六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微微函函数数的的可可即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的

10、不变性dxxfdy)( 上一页下一页返回例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 上一页下一页返回例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdt

11、d ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 上一页下一页返回七、微分在近似计算中的应七、微分在近似计算中的应用用计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值计算函数的近似值计算函数的近似值误差估计误差估计-留作自学留作自学上一页下一页返回1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问问

12、面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 上一页下一页返回2、计算函数的近似值、计算函数的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,36

13、0,30 xx上一页下一页返回.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附近的近似值附近的近似值在点在点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令上一页下一页返回常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xff

14、xf)0()0()( .1nx 上一页下一页返回例例2 2.计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 上一页下一页返回3、误差估计、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有

15、误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差差，我们把它叫做间接测量误差.定义：定义：.,的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaAaA .的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaAa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?上一页下一页返回方法方法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .,的相对误差限的相对误差限叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误

16、差不超过测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差差与相对误差.上一页下一页返回例例3 3.,005. 041. 2误误差差并并估估计计绝绝对对误误差差与与相相对对求求出出它它的的面面积积米米正正方方形形边边长长为为 解解则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为005

17、. 082. 4 y 面面积积的的绝绝对对误误差差为为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 %.4 . 0 上一页下一页返回小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学叫做微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 上一页下一页返回导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的的纵纵坐坐标标增增量量方