2019年自考计算机应用管理信息系统开发ppt课件

1、无无 穷穷 级级 数数 从从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：题展开讨论：级数的收敛性判定问

2、题，级数的收敛性判定问题，把已知把已知函数表示成级数问题，函数表示成级数问题，级数求和问题。级数求和问题。一、问题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积n23 naaaA 21即即 n10310003100310331. 21a21aa naaa 21R二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211一般项一般项(常数项常数项)无穷级数无穷级数级数的部分和级数的部分和 niinnuuuus121部分和数列部分和数列,11us ,212uus ,3213

3、uuus ,21nnuuus 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无无限限增增大大时时, ,如如果果级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列ns有有极极限限s, , 即即 ssnn lim 则则称称无无穷穷级级数数 1nnu收收敛敛, ,这这时时极极限限s叫叫做做级级数数 1nnu的的和和. .并并写写成成 321uuus 如如果果ns没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. . 即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差

4、为为nr )0lim( nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面

5、积为周长为周长为依次类推依次类推第第 次分叉：次分叉：n周长为周长为, 2 , 1)34(11 nPPnn面积为面积为)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn )94(31)94(31)94(31311221 nA, 3 , 2 n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的面积存在极限收敛）雪花的面积存在极限收敛）结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的

6、收收敛敛性性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim 收敛,1时时当当 q nnqlim nnslim 发散时时如果如果1 q,1时时当当 q nasn 发散,1时时当当 q aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散 综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)12

7、1121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛三、基本性质三、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. . 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性性质质2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, , 则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. . 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项

8、相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s ,52s ,93s ,nms .limlimssnnmm 则则注意注意收敛级数去括弧后所成

9、的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. ) 11 () 11 (例例如如 收敛 1111 发散事实上，对级数事实上，对级数 1nnu任意加括号任意加括号 )()()(1111211kkpppppuuuuuu若记若记kkppkuub 11则加括号后级数成为则加括号后级数成为 1kkb记记 1nnu的部分和为的部分和为ns 1kkb的部分和记为的部分和记为k 那么那么kpks 由数列和子数列的关系知由数列和子数列的关系知存在，存在，nns limkk lim必定存在必定存在kk lim存在存在nns lim未必存在未必存在推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散

10、散, ,则则原原来来级级 数数也也发发散散. . 四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun级级数数收收敛敛. 0lim nnu 1nnus证明证明,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . n131211例例如如调调和和级级数数?,0lim但但级级数数是是否否收收敛敛有有 nn

11、u讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和为其和为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 )(210 n便便有有.这这是是不不可可能能的的.级级数数发发散散2项项 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm2项项4项项8项项 项项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .由定积分的几何意义由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分这块面积显然大于定积分nsn1211 以以 1 为底的的矩

12、形面积为底的的矩形面积把每一项看成是以把每一项看成是以 为高为高n1就是图中就是图中 n 个矩形的面积之和个矩形的面积之和nsdxxn 111即即nSn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故调和级数发散故调和级数发散调和级数的部分和调和级数的部分和常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun一般项级数一般项级数4

13、.绝对收敛绝对收敛2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns(1) (1) 比较审敛法比较审敛法(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式( (3 3) ) 极极限限审审敛敛法法0, 0nnvu设设nnvu 与与若若是同阶无穷小是同阶无穷小同同敛敛散散与与则则 nnvu特别特别 nnvu 若若（等价无穷小）（等价无穷小）同同敛敛散散与与则则 nnvu( (4 4) ) 比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )(5) (5) 根值审

14、敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) )3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibniz定理定理绝对收敛，条件收敛绝对收敛，条件收敛附：附：正项级数与任意项级数审敛程序正项级数与任意项级数审敛程序例例1求极限求极限nnnn 2!3lim 解解考察正项级数考察正项级数 nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由检比法由检比法 nnn 2!3收敛收敛由级数收敛的必要条件得由级数收敛的必要条件得02!3lim nnnn二、典型例题二、典型例题例例2 设设 0lim a

15、nann试证试证 na发散发散证证不妨设不妨设 a 0 由极限保号性知由极限保号性知N 时当Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比较法的极限形式得故由比较法的极限形式得 na发散发散例例3 假假设设 nu nv都发散都发散 那那么么A )(nnvu必发散必发散B nnvu必发散必发散C |nnvu必发散必发散D以上说法都不对以上说法都不对例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1li

16、mexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为,)11()2ln(lim n

17、nnn原级数也发散原级数也发散敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？如如果果收收敛敛，是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11发发散散而而 nn,ln1ln)1(11发发散散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上单单增增在在 ,ln1单单减减即即xx ,1ln1时时单单减减

18、当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛 na nc都收敛都收敛 且且nnncba 例例5 设设 试证试证 nb收敛收敛证证由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收敛都收敛 故正项级数故正项级数 )(nnac收敛收敛再由比较审敛法知再由比较审敛法知 正项级数正项级数 )(nnab收敛收敛而而nnnnaabb )(即即 nb可表为两个收敛级数可表为两个收敛级数之和之和 )(nnab na故故 nb收敛收敛例例6 设设 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 假假设

19、设 nb收敛收敛 那那么么 na也收敛也收敛证证由题设知由题设知1111bababannnn nnbbaa11 而而 nb收敛收敛由比较法得由比较法得 na收敛收敛Cauchy积分审敛法积分审敛法设设 0)( xfy单调减少单调减少)(nfun 那那么么 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例7 证证由由 f(x) 单调减少知单调减少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu与与 1)(dxxf同敛散同敛散例例8 设设 nu是单调增加且有界的正数数列是单调增加且有界的正数数列试证明试证明

20、 )1(11 nnnuu收敛收敛证证记记11 nnnuuv那那么么011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而正项级数而正项级数 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu单调增加且有界单调增加且有界故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收敛收敛进而进而 111)(1nnnuuu收敛收敛由比较法得由比较法得 1nnv收敛收敛设正数数列设正数数列 na单调减少，级数单调减少，级数 11)1(nnna发散发散考察考察nnna)11(1 的敛散性的敛散性证证 记记nnnau)11( 由由

21、na单调减少单调减少0 na故由单调有界原理知故由单调有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A假假设设0 A由由Leibniz审敛法得审敛法得 交错级数交错级数 11)1(nnna收敛收敛 与题设矛盾与题设矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由检根法知由检根法知 nnna)11(1 收敛收敛 例例9 知知 nunnln1lnlim0 nu证明证明收敛收敛 nu1 发散发散nu1 的的敛敛散散性性不不定定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知对对1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 证证例例10qnnu1 而而 qn1收敛收敛

22、故由比较法知故由比较法知 nu收敛收敛 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 当,有有1ln1ln rnun nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1发散发散故由比较法知故由比较法知 nu发散发散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收敛收敛时时 nup1发发散散时时 nup1 讨论讨论 1npnna的敛散性的敛散性), 0(常常数数ap 解解对级数对级数 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收敛收敛 1npnna绝对收敛绝对收敛1| a 1npnna发散发散 1np

23、nna发散发散1| a分情况说明分情况说明例例11 1 a级数成为级数成为 11npn1 p收敛收敛1 p发散发散1 a级数成为级数成为 1)1(npnn1 p绝对收敛绝对收敛1 p条件收敛条件收敛例例12 对对 ,的值，研究一般项为的值，研究一般项为 nnnVn 2sin的级数的敛散性的级数的敛散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于当由于当 n 充分大时，充分大时， )sin(n 定号定号故级数从某一项以后可视为交错级数故级数从某一项以后可视为交错级数整数整数当当 为何值为何值无论无论 总有总有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV级数发散级数发散整数整数当当 nVnnsin)1( 时当 n nsin非增地趋于非增地趋于 0 由由Leibniz审敛法知审敛法知 1nnV收敛收敛但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn发散发散故由比较法的极限形式故由比较法的极限形式时当0 1sinnn 发散发散 1nnV条件收敛条件收敛0 0 nV级数显然收敛级数显然收敛 正项级数正项级数 由级数收敛的必要条件要使由级数收敛的必要条件要使 收敛必须收敛必须 nu0nu但在一般项趋于但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的级数中为什么有的收敛有的