2013高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备空间中的垂直关系(含解析)

1、 空间中的垂直关系 【考点导读】 1 掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问 题。 2. 线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于 利用转化思想。 【基础练习】 1. “直线I垂直于平面:-内的无数条直线”是I丄”的 _ 条件。 2 如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。 3. 已知:-、一:是两个平面，直线丨二，1二-.若以I _，I 一：，亠I “中两个为条 件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 2 _ 个。 4. 在正方体中， 与正方体的一条对角线垂直的面对角

2、线的条数是 _6 _ 。 5. 两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系 是 _ 平行、相交或在另一个平面内 _ 。 6. _ 在正方体 ABCD-ABIGU中，写出过顶点 A 的一个平面_ABD _ ，使该平面与正方 体的 12 条棱所在的直线所成的角均相等 (注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所 有可能的情况)。 【范例导析】 例 1.如图，在四棱锥P-ABCD ,底面ABCD是正方形，侧棱PDL底面ABCDPD=DCE是PC的 中点，作EF丄PB交PB于点F. (1) 证明PA/平面EDB (2)证明PB丄平面EFD 解析：本小题考查直线与平

3、面平行，直线与平面垂直基础知识，考查空间想象 能力和推理论证能力. 证明：(1)连结 AC AC交BD于 0,连结EO .底面ABCDE正方形，点O是AC的中点 在PAC中，E0是中位线， PA/ EO 而EO 平面EDB且 PA二平面EDB 所以，PA/ 平面EDB (2) v PDL底面 ABCD1 DC 底面 ABCD： PD _ DC PD=DC可知 PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， DE _ PC. 同样由PDL底面ABCD得PDL BC 底面 ABCDI正方形，有DCL BC - BCL平面PDC 而DE 平面PDC： BC_DE. 由和推得 DE _平面PBC 而

4、PB 平面PBC： DE _ PB 又EF _ PB且DE EF = E，所以PBL平面EFD 例 2 .如图， ABC为正三角形，EC丄平面 ABC, BD / CE , CE = CA = 2 BD , M是EA的中点， 求证：(1) DE = DA ; (2)平面BDM丄平面ECA; :-:*- r?:*Xa;*; w :*:*;:*:II xv:(3)平面DEA丄平面ECA 分析：(1)证明DE = DA，可以通过图形分割，证明 DEFDBA (2)证明面面垂直的关 键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由( 1)知DM丄EA，取AC中点N，连结MN、 NB，易得四边形 MNBD是矩形

5、。从而证明 DM丄平面ECA 证明：(1)如图，取EC中点F，连结DF / EC丄平面ABC, BD / CE，得DB丄平面 ABC。 DB 丄 AB EC 丄 BC 1 / BD / CE , BD = CE = FC , 2 则四边形FCBD是矩形，DF丄EC 又 BA = BC = DF , Rt DEF也 Rt ABD，所以 DE = DA (2)取AC中点N，连结MN、NB , 1 M是EA的中点， MN EC 2 A 由BD竺1 EC，且BD丄平面ABC，可得四边形 MNB是矩形，于是 DM丄MN 2 / DE = DA , M 是 EA 的中点， DM丄 EA .又 EA MN=

6、 M , DM丄平面ECA，而DM二平面BDM，则平面ECA丄平面BDM (3) DM丄平面 ECA, DM 二平面 DEA, 平面DEA丄平面ECA 点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3.如图，直三棱柱 ABC- A1B1C中，AC = BC = 1, / ACB= 90, AA =* 2 , D 是 AB 中点. (1) 求证CD丄平面A1B ； (2)当点F在BB上什么位置时, 会使得AB丄平面CDF ?并证明你的结论。 平面垂直判定定理可得 CD丄平面AB。(2)由(1 )得CD丄AB，只要 过D作AB的垂线，它与BB的交点即为所求的 F点位置。 证明：

7、(1)如图，T ABC-ABC是直三棱柱， 分析: (1)由于CD所在平面ABC垂直平面A B，只要证明0D垂直交线 A B，由直线与 又D是AB的中点， CD丄AB。 AiC = BC = 1，且/ AQB = 90。 AA丄平面ABC , CD u 平面ABC , AA 丄C D , CD 丄平面 AAB Bo (2)解：作 DE丄AB交AB于E，延长 DE交BB于F，连结 CF，则AB丄平面 CDF , 点F即为所求。 C D丄平面 AABB，AB二平面AAB B , Ci D 丄AB .又 AB 丄 DF , DF CD = D , AB丄平面C DF o 点评：本题(1 )的证明中，

8、证得 CD丄AB后，由 AB( Ai B C是直三棱柱知平面 CA B丄 平面AABi B，立得CD丄平面AABi B。(2)是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分 析问题。 备用题.如图，边长为 2 的正方形ABCDK (1 )点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AAEDJDCF分别沿DE ,DF折起，使代C 两点重合于点A ，求证：AD _ EF . 1 (2)当BE =BF = BC时，求三棱锥 A - EFD的体积. B F C F 变式题.如图，在矩形ABCD中，AB =2, AD =1 ,E是CD的中点，以AE为折痕将.DAE 向上折起，使 D为D ，且平面DAE_平面ABC

9、E .求证：AD1EB ; 解：在 Rt BCE 中，BE 二 BC2 CE2 二 2 , 在 Rt AD E 中，AE =、： D A2 D E2 =$2 , / AB2 =2=BE2 AE2 , AE _ BE A 平面AED 平面ABCE，且交线为 AE , BE _ 平面 AED AD 平面 AED , 【反馈演练】 1 .下列命题中错误的是 （3）。 （1 ）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线 （2） 若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直 （3） 若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面 （4） 若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的

10、射影垂直，则它也和这条斜线垂直 2. 设x, y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若 x_z，且y_z,则x/y”为真命题的是 （填所有正确条件的代号） x为直线，y, z为平面 x, y, z为平面 x, y为直线，z为平面 x, y为平面，z为直线 x, y, z为直线 3. 二面角a aB的平面角为 120,在面a内，AB 丄 a 于 B, AB=2 在平面B内，CDLa 于 D, CD=3, BD=1, M 是棱 a 上的一个动点，则 AM+C 啲最啲最小值为 26。 4. 已知三棱锥 P-ABC中，顶点P在底面的射影 0是三角形ABC的内心，关于这个

11、三棱锥 有三个命题：侧棱 PA =PB =PC ;侧棱PA、PB、PC两两垂直；各侧面与底面所成的 二面角相等。其中错误的是 。 5. _ 在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有 _ 4 _ 个。 6. 若AB的中点M到平面:-的距离为4 cm，点A到平面的距离为6cm，则点B到平面:- 的距离为 2 或 14 _ cm。 7. _ 三棱锥P - ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面 ABC内一点S到三个侧面的距离 分另U是2、3、6，那么PS =_ 。 &在球面上有四个点 P、A B、C,如果 PA、PB PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a 那么这个球 面的表面积

12、是3二a2 . 9. 命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题A的等价命题 B可以是：底面为正三角形，且 _ 的三棱锥是正三棱锥。 答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等 ） 10. a、B是两个不同的平面， m n是平面a及B之外的两条不同直线.给出四个论断： mL na丄B n丄B ml a 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论， 写出你认为正确的一个命题： _ 。 答案：ml a , n 丄 B, aLB = ml n 或 ml n, nL a , n 丄3 = a L 3 11. 已知三棱锥 P ABC 中，PC 丄底面 ABC AB=BC

13、 D F 分别为 AC PC 的中点，DE! AP 于 E. （1）求证：AP 丄平面 BDE(2) 求证：平面 BDE (3) 若 AE： EP=1 : 2,求截面 BEF 分三棱锥 P ABC 所成两部分的体积比. 解：.(1 )T PC 丄底面 ABC, BR 平面 ABC 二 PC 丄 BD 由 AB=BC D 为 AC 的中点，得 BDL AC.又 PCA AC=C / BD 丄平面 PAC 又 PAU 平面、 PAC BD 丄 PA 由已知 DEL PA, DEH BD=D 二 AP 丄平面 BDE (2) 由 BD 丄平面 PAC DEu平面 PAC 得 BD 丄 DE 由 D

14、F 分别为 AC PC 的中点，得 DF/AP . 由已知，DEL AP,. DEI DF. BD H DF=D DE!平面 BDF 又丁 DEU 平面 BDE 二平面 BDEL 平面 BDF (3) 设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 hi和 h2.贝U h i : h2=EP： AP=2： 3, VP _EBF _VE_PBF Vp _ABC VA _PBC 3 hi S PBF 2 1 3 2 一 h2 S. PBC 3 故截面 BEF 分三棱锥 P ABC 所成两部分体积的比为 1 : 2 或 2 : 1 点评：值得注意的是,“截面 BEF 分三棱锥 P ABC 所成两部

15、分的体积 比”并没有说明先后顺 序，因而最终的比值答案一般应为两个 ，不要犯这种“会而不全”的错误 12. 在直角梯形 ABCD 中, Z A=Z D=90 , ABCD SDL 平面 ABCD AB=AD=a S D=* 2a，在 线段 SA 上取一点 E (不含端点)使 EC=AC 截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1) 求证：四边形 EFCD 为直角梯形； CD (2) 设 SB 的中点为 M 当C 的值是多少时，能使 DMC AB 为直角三角形？ 请给出证明. 解：(1)v CD/ AB AB二平面 SAB CD/平面 SAB 面 EFCH面 SAE=EF, CD/ EF / . D =90 ,. CD _AD, 平面 BDF 又 SD _面 ABCD - SD _CD . CD 平面