第十四讲 线性空间的同构；商空间 ；总结ppt课件

1、第十四讲5 线性空间的同构满足的双射到如果存在从上的两个线性空间，是域与：设定义,112121VVFVV3exp1:RX 三三 维维 几几 何何 空空 间间向向 量量坐坐 标标.,),()()2(,),()()() 1 (2111是同构的与此时称是同构映射则称VVFkVkkV(,).xyzxyza a aa ia ja knnxxXFV111对应：对应）（的双射到是坐标是唯一11nFV).()()()()(),()()(.,1111kkXxkkYXyxyxyxYXniiiTnnniiii则设算且这个映射保持线性运1exp2:,()()nnnVFVF设设 ，是是的的一一组组基基，任任，1niii

2、x 有有令令.)(17nnFFV同构于：定理.11)(0000) 1 (）（）（）（）（）（）（）（）（，）（同构映射的性质：FkFVkkiniininiiii),()()(.)2(11对任不变同构映射保持线性关系.)(,)()(,),(,)3(11211关无线性相关无线性相中向量则中向量是设nnnVVni, 10)()(00)(00:111111nnnnnnkkkkkkproof成立。仅当）（是双射同构的线性空间有相同的维数.(4)同构映射的逆映射,还是同构映射.,)(,)(.)(,)(22111记定义设).()()()()()()()()()(1111211121211211211kkkk

3、k(5)两个同构映射的乘积还是同构映射21V1V2V312记为).()()()()()()()()()(1212122121212211221kkkkk1)()(2121112)()(2221212121VVVFVn.dimdim2121VVVVF同构与上两个有限维线性空间定理：数域100111)(1:1expnnnnaaaxaxaxfxFn的多项式次数.), 2 , 1(:2exp1111下在基阶对角阵niEaaaaAniinnnn., 11nxx 在基.,11线性无关线性无关nnXX6 商空间,( mod)WVVWWW 定义12：设是的子空间，如满足则称与模同余 记作模 W 同余是线性空间

4、 V 上的一种等价关系VW),(mod自反性)(mod)(modWW则如对称性).(mod)(mod)(modWWW则如传递性W)()(.,同余类的一个代表叫做这个而的一个同余类称为模的子集合定义的子空间，是：设定义WWWVVVW13例21:xyWO.,2的直线是平行是过原点的直线WWWRVW模W的同余类的基本性质:.,)1 (WWW则若.,) 1 (使证WW.,2222右左左，右）（，使同理WWW,)()(,)2(WWWW则而若右；左）（，使WWW1111,.的商集是的集合同余关系所得等价类上按模线性空间VVWVWV.)(,)()()(WcWcWWWV：中定义加法和数乘如下在商集.)1(),

5、()()2(矛盾，与已知知则由若WWWWWWW./.WVVFV记作的商空间空间，称为上的线性域对于所定义的运算构成则./dim18mnWVmVWnV维子空间，则的是维线性空间，是：设定理若的基，的一组基，扩充为是设证.,:111nmmmVW,0)()()(2211WWkWkWknnmmmm,0)(22112211WkkkWWkkknnmmmmnnmmmmmmnnmmmmlllkkk22112211设,022112211nnmmmmmmkkklll即有nnmmmmyyxxVWVW1111,/由于又设线性无关。WWWkkknmmnmm,. 02121.)(.)(1111WyyWWyynnmmnnm

6、m故),()()()(221111WyWyWyWyyWnnmmmmnnmm故33().()/VRWzVVRWL LZexp：中，轴是的子空间则商空间轴 ：./dim/,/,21mnWVWVWVWWWWnmm的一组基，是且线性无关，可以表示任XYZWWO./ )(03的基是商空间，有，向量平面上任两个不共线的对WRVWWxy)()(WkWk21),(32132121989LWWP5681402221201111102352115681404573313461212352112131rrrr321321,)(124000000300111110235211124500000300111110235211324224rrrr2dim, 3dim. 4)dim(,2121211321WWWWWW的基，是22113322112121211)dim(dimdimdim令WWWWWW .43212120221122211332211），（，取）利用（则, 0, 1, 0123又的一组基求