第九章控制系统非线性问题

1、 2010年年控制理论基础控制理论基础( (第九章第九章 ）控制系统的非线性问题控制系统的非线性问题9.1 概述概述9.4 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法9.2 描述函数法描述函数法9.3 相轨迹法相轨迹法9.1 概述概述9.1.1 典型的非线性类型典型的非线性类型9.1.2 分析非线性系统的方法分析非线性系统的方法9.1.1 典型的非线性类型典型的非线性类型 1饱和饱和 2间隙间隙 3死区死区 4继电特性继电特性 5库伦摩擦力库伦摩擦力 9.1.2 分析非线性系统的方法分析非线性系统的方法1线性化近似方法线性化近似方法2逐段线性近似法逐段线性近似法3描述函数法描述函数法4相平面法相

2、平面法5李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法6微分几何和微分代数方法微分几何和微分代数方法7计算机仿真计算机仿真9.2 描述函数法描述函数法9.2.1 定义定义9.2.2 饱和放大器饱和放大器9.2.3 两位置继电特性两位置继电特性9.2.4 死区死区9.2.5 三位置继电特性三位置继电特性9.2.6 间隙间隙9.2.7 利用描述函数法分析非线利用描述函数法分析非线性系统稳定性性系统稳定性9.2.1 定义定义其输出用基波近似，定义描述函数为其输出用基波近似，定义描述函数为式中，式中，N 描述函数；描述函数； X 正弦输入的振幅；正弦输入的振幅； 输出的傅氏级数基波分量的振幅；输出的傅氏级数基波分量的振

3、幅； 输出的傅氏级数基波分量相对正弦输出的傅氏级数基波分量相对正弦输入的相位移。输入的相位移。 11XYN1Y1设非线性环节的正弦输入为设非线性环节的正弦输入为 则输出为则输出为 式中，式中， tXtxsin 10sincosnnntnBtnAAty 20cos1ttdntyAn nnnnnnnBABAYttdntyBarctansin12220 如果非线性环节输出的直流分量等于零，如果非线性环节输出的直流分量等于零，即即 ，则，则 00A 112121111111arctansinsincosBAXBAXYNtYtBtAty其描述函数为9.2.2 饱和放大器饱和放大器设设当当 时，时，当当

4、时，时， tXtxsinsx tkXtysinsx ksty因为输出为奇函数，所以将因为输出为奇函数，所以将y（t）展开成傅氏级数）展开成傅氏级数时，有时，有 取傅氏级数的基波，得取傅氏级数的基波，得 式中，式中， 0nA tBtysin11 ttdtyttdtyBsin4sin14/0201 2222/sinsin02/sinsin011arcsin2112arcsin24sin22cos14sinsinsin41111XsXsXskXXssXssXsXkttdstdtXkttdksttdtkXBXsXsXsXs 21111arcsin20XsXsXskXBXYN饱和环节饱和环节 轨迹轨迹

5、sXksXXsXsXskN当当21arcsin2N19.2.3 两位置继电特性两位置继电特性两位置继电器可以认为是一种特殊的饱和环节，即两位置继电器可以认为是一种特殊的饱和环节，即 借助饱和环节的描述函数借助饱和环节的描述函数N，可走捷径写出两位置，可走捷径写出两位置继电器的描述函数继电器的描述函数.Mksks, 0XMXsXskXsXsXskN421arcsin229.2.4 死区死区 XXXXXkkN01arcsin229.2.5 三位置继电特性三位置继电特性 XXXXMN01429.2.6 间隙间隙222211212111273arcsin22arctan273arcsin21222ar

6、ctanXhXhXhXXhXXXHHNXhXhXhXXhXXhXhNBAXBAXYN9.2.7 利用描述函数法分利用描述函数法分析非线性系统稳定性析非线性系统稳定性jNGjNGjXjXio19.3 相轨迹法相轨迹法9.3.1 相轨迹的作图法相轨迹的作图法9.3.2 奇点奇点9.3.3 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析二阶系统状态空间方程为二阶系统状态空间方程为 （1 1）21222111,xxfdtdxxxfdtdx21121212,xxfxxfdxdx12xgx1x2x9.3.1 相轨迹的作图法相轨迹的作图法将式（将式（1 1）的两式相除，得）的两式相除，得 （2 2） 解式（解

7、式（2 2）可得）可得 以以 为横坐标，以为横坐标，以 为纵坐标，便构成分为纵坐标，便构成分 析系统的相平面。析系统的相平面。1 1解析法解析法 dxxdxdtdxdxxdxdtdxgx gdxxdxgdxxdxCgxx 22例例 单位质量的自由落体运动。单位质量的自由落体运动。 当忽略大气影响时，单位质量的自由落体运当忽略大气影响时，单位质量的自由落体运动方程为动方程为 所以所以 即即 两边积分，得两边积分，得 （C C为常数）为常数） 以以x(x(即即 ）为横坐标，以）为横坐标，以 即即( ( ）为纵坐）为纵坐标作相平面图，如下图所示。标作相平面图，如下图所示。1xx 2x （1 1）当选

8、择）当选择x x作为横坐标，作为横坐标， 作为纵作为纵坐标时，在上半平面，由于坐标时，在上半平面，由于x x的变化率的变化率0,x0,x增加，相轨迹向右移动，箭头向增加，相轨迹向右移动，箭头向右；在下半平面，由于右；在下半平面，由于x x的变化率的变化率0,x0时，时， ，则式（，则式（9-10）变为变为 考虑考虑 ，可得，可得 2AKToom oieeio 2AKeeTiim 0ii 02AKeeTm eeKA112. 9011. 90121121eeeKKeeTeeeKKeeTmm 阶跃输入下系统的相轨迹图阶跃输入下系统的相轨迹图 斜坡输入下系统的相轨迹图斜坡输入下系统的相轨迹图 李雅普诺

9、夫第一方法又称间李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。来判断系统的稳定性。9.4 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第二方法又称直接法，李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。渐停止在平衡状态，系统是稳定的。 例：例：正定。则)(01121412110, 041110, 0101121412110)(321321x xx xVxxxxxxV 例：例：)()(22212122221121xxxxxxxxxx (0,0(0,0）是唯一的平衡状态。设正定的）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为标量函数为2221xx)V(x x 12121 12 2222212112