旋转模型专题

1、旋转模型专题飞等线段共点等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形二、按图形分类1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分类1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型4、与勾股定理结合5 、费马点问题例题精讲一、手拉手模型1、已知：如图，点C为线段AB上一点，：ACM、厶CBN是等边三角形. 常见结论：(1) AN 二BM(2) CD =CE(3) CF 平分.AFB(4) CDE是等边三角形.(5) Z AFM=60且保持不变2、如图，在凸四边形 ABCD 中，.BCD =30DAB =60 , AD 二 AB .BA求证：AC2 二CD2 BC23、已知

2、ABC，以AC为边在- ABC外作等腰 ACD，其中AC =AD。如图，若.DAC=：2.ABC, AC=BC，四边形ABCD是平行四 边形，则/ABC =如图，若.ABC =30， ACD是等边三角形，AB=3， BC =4，求BD的长； 如图，若.ACD为锐角，作AH _ BC于H，当B D4 A H B C寸， DAC-2.AB是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。二、角含半角模型4、已知：如图1在Rt ABC中，.BAC=90 , AB =AC，点D、E分别为线段BC 上两动点，若 DAE =45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把

3、AEC绕点A顺时针旋转90，得到:ABE，连结ED，使问题 得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明.图15、在正方形 ABCD中，点E、F分别在边BC、CD 上,且/ EAF= / CEF=45°,(1) 将厶ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到 ABG，如图1，求证： AEGA AEF ;(2) 若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2，求证：EF2 =M

4、E2 NF2(3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系 6、在等边 ABC的两边AB, AC所在直线上分别有两点 M , N, D为ABC外一 点，且.MDN =60 , BDC =120 , BD二CD，探究：当点M, N分别爱直线 AB, AC上移动时，BM , NC, MN之间的数量关系及 AMN的周长与等边 ABC 的周长L的关系.BDFE如图，当点 M , N在边AB, AC上，且DM=DN时，BM , NC, MN之间的数量关系式;此时Q =L如图,当点M , N在边AB, AC上，且DM - DN时，猜想（1）问的两个结

5、论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;如图,当点M , N分别在边AB,CA的延长线上时,AN=x，贝UQ=（用x, L表示）图（1）C图（3）三、对角互补类7、已知：.MAN , AC 平分.MAN .在图 1 中，若.MAN 二/DCB =90，证明： AB AD = . 2AC .在图2中，若.MAN =120 , DCB =60，探究AB、AD、AC三者之间的数量 关系，并给出证明；在图 3 中：若 ZMAN = a （ 0ya <180。），ZDCB =180。-«，J则 AB + AD =AC（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）N8、如图1，正方形ABCD和

6、正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB 于 F，QM 交 AD 于 E .猜想：ME与MF的数量关系如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且.M =/B，其它条件不变， 探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明.如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不 变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由.如图4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且.M = B，AB:BC=m， 其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）NMF图3P.EOF =45，求四、直角三角形斜边中点9、在等腰直角 ABC中，ACB =90'

7、,AC=BC , M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ _MP交AC于点Q ,试说明：MPQ的形状和面积将如何变化.10、等腰直角三角形 ABC , ABC =90 ,AB =2 ,0为AC中点, BEF的周长.11、已知 RtAABC 中，AC=BC , / C=90° D 为 AB 边的中点，/ EDF=90° / EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或延长线）于E、F .当/EDF绕D点旋转到DE丄AC于E时（如图1）,易证_1.S占EF 十 SEF = S出BC当/ EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

8、若成立，请给予证明；若不成立，Sa def , Sacef , Sa abc又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.五、等线段共点12、如图所示，P是等边 ABC内部一点，PC=3,PA=4,PB=5，求.'ABC的边长.S BPC =, S abp = ,S apc =, S. abc =,13、P 为等边 ABC 内一点，APB=113：；，. APCN23；，求证：以 AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数14、如图，P为正方形 ABCD内一点，FA= 1，PD = 2，PC = 3,将 PAD绕着D点按逆时针旋转90至厂QCM的位置(

9、1)求.APD的度数。(2)求正方形的边长MC六、费马点问题15、阅读下列材料对于任意的.IABC，若三角形内或三角形上有一点 P，若PA PB PC有最小值， 则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。 若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于120，则满足条件.APB=. BPC =. APC=120时，点P既 为费马点解决问题：如图，叭BC中，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边, ：ABD、ACE，连接CD、BE交于点P，证明：点P为 ABC的费马点。（即证明.APB =/BPC =/APC =120 ）且PA PB PC =CD

10、如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC若ZABC =30 ， AB =3， BC =4，直接写出 PA PB PC的最小值16、如图，四边形ABCD是正方形，, ；ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN .求证：.AMB也.：ENB 当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由;当AM BM CM的最小值为.3 1时，求正方形的边长.17、阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中，/ ACB=30o，BC=6，AC=5，在厶ABC内部

11、有一点 P，连接PA PB PC,求PA+PB+PC的最小值.图1图2图3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2，将 APC绕点C顺时针旋转60o，得到 EDC连接PD BE贝U BE的长即为所求.(1) 请你写出图2中，PA+P涉PC的最小值为;(2) 参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3,菱形ABCD中，/ ABG=60o,在菱形ABCD内

12、部有一点P,请 在图3中画出并指明长度等于PA+PBPC最小值的线段(保留画图痕迹， 画出一条即可)；若中菱形 ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PBPC值最小时PB的长.七、最值问题18、已知：PA=*2 , PB =4，以AB为一边作正方形ABCD，使p、D两点落在直 线AB的两侧.如图，当.APB =45时，求AB及PD的长；当.APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应.APB的大小.DPB19、如图，已知ABC是等腰直角三角形，.BAC=90°,点D是BC的中点.作 正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG .试猜想线段BG和AE的数量关系

13、，请直接写出你得到的结论.将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或 等于360。），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？ 如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.若BC =DE =2，在的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.BDCEGEBDC八、综合应用20、已知：在 Rt ABC 中，AB =：BC，在 Rt ADE 中，AD 二 DE，连结 EC，取 EC 的 中点M，连结DM和BM . 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM 的关系并给予证明； 如果将图中的 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的 结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.C21、已知：如图， OAB与OCD为等腰直