最全圆锥曲线知识点总结

1、高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义： 平面内一个动点 P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数( 个动点P的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距注意：若PF1PF2动点P的轨迹无图形.(1)椭圆：焦点在x轴上时为参数)，焦点在y轴上时PFiPF22a F1F2 ),这F1F2， 则动点P的轨迹为线段F1F2 ；PFi |PF2 IF1F2，则a2y2a2当 1( a2b2x22 = 1 ( a b b2b2 c2)0 )。acos(参数方程，其中2.椭圆的几何性质：2 2(1)椭圆(以笃与a b两个焦点(c,0);对称性:a b 0)为例)两条对称轴 x:范围:0

2、,y 0，x a, b y b :焦点:一个对称中心(0,0 )，四个顶点(a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b ；离心率：e C，椭圆 0 e 1 , e a越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。2 2(2) .点与椭圆的位置关系：点P(x0, y0)在椭圆外第罄 1 ;a b2222点P(x°,y°)在椭圆上笃 乌=1;点P(x°,y°)在椭圆内卑卑1a ba b3 直线与圆锥曲线的位置关系 ：(1)相交：0直线与椭圆相交；(2)相切： 0直线与椭圆相切；(3) 相离：0直线与椭圆相离；2 2如：直线y kx 仁0与椭圆 匚 1恒有公共

3、点，贝U m的取值范围是 ；5 m4. 焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)5. 弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB = J1 k2 |x X2，若y1, y分别为A、B的纵坐标，则|AB = J 厶血 y?，若弦 kAB所在直线方程设为 x ky b，则AB =1 k2 % y。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆a2b21中，以P(x°,y°)为中点的弦所在直线的斜率k=-聖 a y。22如(1)如果椭圆-1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所

4、在的直线方程是 ；3692 2x y(2)已知直线y= x+1与椭圆21(a b 0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在a b直线L : x 2y=0上，则此椭圆的离心率为 ；2 2(3)试确定m的取值范围，使得椭圆 A 二 1上有不同的两点关于直线 y 4x m对称;43特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 !椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个

5、条件：两个定形条件a, b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:2 2(a b 0), (a c 0)，且(a b可借助右图理解记忆:a, b, c恰构成一个直角三角形的三条边，其中3 如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。a是斜边，b、c为两条直

6、角边。4 .方程Ax2 By2 C(A, B,C均不为零)是表示椭圆的条件2 2方程Ax2 By2 C可化为丛型C C2即CABy2cB1,所以只有 A B、C同号,C cc c且A B时，方程表示椭圆。当-时，椭圆的焦点在X轴上；当-时，椭圆的焦点在y轴上。5 求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。2与椭圆笃a2占1(a b 0)共焦点

7、的椭圆方程可设为2X2 a21(m2b )，此类问题常用待定系数法求解。7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:若把曲线方程中的x换成x，方程不变,则曲线关于y轴对称;若把曲线方程中的y换成y，方程不变,则曲线关于X轴对称;若把曲线方程中的x、y同时换成 x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8.如何求解与焦点三角形厶PF1F2 ( P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦-|PF12x2 y222例3已知P为椭圆1上的一点，M , N分别为圆(x 3)2 y2 1和圆25167(x 3)2 y24上的点，贝U PM PN

8、的最小值为题型2:求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)经过两点 AG 3, 2), B( 2. 3,1)；22经过点(2，- 3)且与椭圆9x 4y36具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4、2 - 4.题型3:求椭圆的离心率例1、ABC中， A 30°, AB 2, Svabc3,若以A,B为焦点的椭圆经过点 C，则椭圆的离心率为定理(或勾股定理)、三角形面积公式 S pf1f2方法进行计算解题。将有关线段 PFi、PF2、FiF2，有关角F1PF2 (PFiPF2、PFi PF2之间的关系.9.如何计算

9、椭圆的扁圆程度与离心率的关系?PF2 sin F1PF2相结合的F1PF2F1BF2)结合起来，建立c长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e -(0 e 1)，因为a用a、b表示为e1 厂)2(0ae 1)。例2、过椭圆的一个焦点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)2例1.已知实数x, y满足42例2.已知点代B是椭圆三m题型5:焦点三角形问题2x例1.已知F1, F2为椭圆一92y2y22n2y41，则 x20,n1的两个焦点,x的范围为uuu0)上两点，且AOp为椭圆上的一点，已知u

10、uuBO,则P, F1, F2为一个直角三显然：当越小时，e(0a椭圆形状越趋近于圆。题型1：椭圆定义的运用e 1)越大，椭圆形状越扁；当-越大，e(0 e 1)越小,a角形的三个顶点，且PF1PF,求辱的值.2| PF2x例1已知F1,F为椭圆252y1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B两点若x2 例2.已知F1, F2为椭圆C:8汽1的两个焦点,在C上满足PF1 PF2的点的个数为例3.已知椭圆的焦点是F)(0, 1),F2(0,1),且离心率e-求椭圆的方程；设点P在椭圆2F2A F>B 12AB上，且PF1PF2 1,求 cos F1PF2.例2如果方程x2 ky22表示

11、焦点在x轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是题型6:三角代换的应用2例1.椭圆162七1上的点到直线l:x y 90的距离的最小值为2 23.椭圆36七1的一条弦被A 4,2平分，那么这条弦所在的直线方程是4.若Fi, F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点若 PF1F2 : PF2F1 : F1PF2 1: 2:3,则此椭x2例2.椭圆1621的内接矩形的面积的最大值为9圆的离心率为题型7:直线与椭圆的位置关系的判断2x5.在平面直角坐标系中，椭圆2ab 0）的焦距为2c,以O为圆心，a为半径的圆,例1当m为何值时,直线y x m与椭圆162-1相交？相切？相离?92过点（皂,0）作圆的两切线互

12、相垂直，则离心率c 1例2 .若直线y kx2 x 1(k R)与椭圆题型8:弦长问题例1求直线y 2x4被椭圆4x-91恒有公共点，求实数 m的取值范围;基本知识点双曲线2x例2.已知椭圆21所截得的弦长y21的左右焦点分别为F1,F2,若过点P （ 0, -2）及F1的直线交椭圆于A,B双曲线标准方程（焦点在x轴）22x2 y21(a 0,b 0)a b标准方程（焦点在 y轴）2 2y2 x21(a0,b 0)a b两点，求"ABF2的面积; 题型9:中点弦问题2 2例1.求以椭圆自亍1内的点A （2,-1）为中点的弦所在的直线方程。例2.中心在原点，一个焦点为F,（0,、50）

13、的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点横坐标为定义求椭圆的方程.I I 2 2例3.椭圆mx ny1与直线x y 1相交于A、B两点，点C是AB的中点.若 AB 22 ,定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于f1f2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MFj |MF22a 2a F1F2OC的斜率为（O为原点），求椭圆的方程.2巩固训练1.如图，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且x则椭圆的离心率为2x 22.设F1, F2为椭圆y 1的两焦点，P在椭圆上，当 F1PF2面积为1时,4PF1yyF2/Px / 、F

14、1x范围对称轴对称中心x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b原点0(0,0)pf2的值为焦点坐标Fd c,0) F2(c,0)F'0, c)F2(0,c)焦点在实轴上，cJa2 b2焦距：|F1F22c顶点坐标(a,0) ( a,0)(0,a,)(0 , a)离心率e1)a V a渐近线bayxyxab方程共渐近线2222x厶 k ( k 0)y_x2 k (k 0)的双曲线2 ab厶2 ab2系方程2 2双曲线x2y21与直线ykxb的位置关系：ab2 2直线和双利用 1 a b转化为一元二1次方程用判别式确定。曲线的位y kx b置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB

15、的弦长AB山k2 J(XX2)24x(x2补充知识点:A.x工1B.x工191692 222C.xy、1(y > 3)D.xy1(y < 3)169169同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为y3x ,则离心率为（）2 2 2 24A. ?B.5C.5或?D. .3343422例2、已知双曲线xy1的离心率为e2，则k的范围为（）4kA. 12 k 1B. k 0C. 5 k 0D. 12 k0同步练习二：双曲线2xa2例3、设P是双曲线笃a双曲线的左、右焦点，若等轴双曲线的主要性质有:（1）半长=半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；

16、（2）其标准方程为x2 y2 C，其中C 0 ；（3）离心率e 2 ；（4）:两条渐近线 y=± x互相垂直；例题分析：例1、动点P与点只（0,5）与点F2（0, 5）满足PFPF26，则点P的轨迹方程为（）2* 1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 2 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x 2y 0 , % F2分别是9PF13，则| PF2的值为同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为（0, 2）,（0 2），且经过点（2, 15），则双曲线的标准方程为。例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）x2(A) -y2和y2 x- =12 x (B)2x =12

17、=1-y =1 和 y -3933322222(C)y2-=1和x2-y =1(D)x-y 2=1 和xy =133393同步练习四：已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1, F2分别为（V5,0）和（石,0）,点P在双曲线上且PF1PF2，且 PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为（)222 222A. 2Ly_1B.x y1C.x2y 12D. xy 123223244例5、与双曲线丄 1有共同的渐近线，且经过点A（ 3,2. 3的双曲线的一个焦点到一条916渐近线的距离是()(A) 8(B) 4( C) 2( D) 1同步练习五：以yJ3x为渐近线，一个焦点是f（0, 2）的双曲线方程为

18、例6、下列方程中，以 x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 222222(a)Ly 1(B) y 1(C) y2 1(D)x2 y 116441622同步练习六：双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0, 3），那么k的值是224. （2011年高考湖南卷文科 6）设双曲线 爲 工 1（a 0）的渐近线方程为3x 2y 0,则a的a 9值为（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 12 25. 【2012高考江苏8】（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 冷 1的离心率为 5 ,m m 4则m的值为.2例7、经过双曲线x2 匕 1的右焦点F2作倾斜角为30。的弦AB,3

19、（1）求 |AB|.（2）Fi是双曲线的左焦点，求 FiAB的周长.2 2xy同步练习七过点（0, 3）的直线l与双曲线一 1只有一个公共点，求直线 l43的方程。高考真题分析1.【2012咼考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于代B两点，AB価;则C的实轴长为（)(A)、/2(B) 22(C)(D)2.【2012咼考山东文11】已知双曲线2 2C ： 0 13 : 2 2 a b1（a 0,b0）的离心率为2.若抛物线C2 :x22py（p 0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2,则抛物线C2的方程为(A)x28品一y (B)32 16由x

20、 y32(C) x 8y2(D) x 16y3.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C : xy 2的左、右焦点，点P 在 C 上,|PFi | 2 | PF2 |，则 cos Fi PF2/、 1/、3/、3/ 、 4(A)-(B)(C)-(D)-4545抛物线抛 物 线y2 2px(p 0)y('2px p 0) 丄x(y 1：2 2pyp 0)lyx(y-to22pyp 0)l_*7"olxo工xlF定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。M到直线l的距离范围x 0, y Rx 0,

21、 y Rx R, y 0x R, y 0对称性关于x轴对称关于y轴对称焦占八、八、（尹(P°)（吒）(O'勺焦点在对称轴上顶点O(0,0)离心率e=1准线 方程x子x子y 1y于准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准 线的距离_p2焦点到准 线的距离p焦半径A(X1,屮)AF x12AFx1 2AF y1 专AFy1 舟焦点弦长 |AB|(X1 X2) p(X1 X2) p(y1 y2) p(y1 y2)p焦点弦|ab|的几条性质A(X1,y1)B(X2,y2)Joy仁迭严y2以AB为直径的圆必与准线1相切若AB的倾斜角为 ，贝U AB2p .2 sin若AB的倾斜角为 ，贝U AB cosp22X1X2丁丫2p411AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切线 方程y°y p(x X0)y°yp(x X0)x°x p(y y。)X0Xp(y y°)1、直线与抛物线的位置关系联立方程法:y kx b2pxk2x2 2(kbp)x b2 0设交点坐标为A(xi, yi),yi y2 kxi b kx2 bB(X2,y2)，则有 0,以及 X2M1X2