球的体积和表面积公式具体推导过程

1、1.3.2球的体积和表面积（1）教学目的：使掌握了解球的体积公式的推导过程，能记住球的体积公式，并会用公式 解决问题。教学重点：掌握球的体积公式及其应用。教学难点：球的体积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？新课糾）设球的半径为R,将半径OAn等分，过这些分点作平 面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的 “小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于R圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底面就n是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径:2 R

2、 2“ R -n(i-1)，(匸 1,2,3，n)第i层“小圆片”的体积为：2 R兀 R31-1 >2 1V碍 =1 -1，(i = 1,2,3， n)nn1 n丿-半球的体积：V半径=Vi + V2 + + Vn(1)2 ： 3 1222-1+( 1 -2 ) + ( 1 -2 )+ 1 -nnn32 2 2-：R312 22(n _1)2、:n2】(注:nn1222 八 n2 = n(n 1)( 2n 1)63n J,.(n-1)n(21)=二 R3(1_FU ) nn6n2-二 R311(1)(2-)1_nn_6当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，式越来越接近于半球的

3、体积，如果n无限变大，就能由式推出半径的体积。1 1事实上，n增大，一就越来越小，当n无限大时，一趋向于0，这时，有nn2 343V 半径 = R3，所以，半径为R的球的体积为：V =R33 31.3.2球的体积和表面积（2）教学目的：使掌握了解球的表面积公式的推导过程，能记住球的表面积公式，并会用公式解决问题。教学重点：掌握球的表面积公式及其应用。教学难点：球的表面积公式推导是教学的难点。教学过程一、复习提问柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么？二、新课球的表面积推导方法（设球的半径为R,利用球的体积公式推导类似方法）（1）分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是 S1

4、，S2,Sn，那么球的表面积为：S= S1 + S2+, + Sn面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后就得到一个以点 0为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么“小锥体”的底面几乎是“平”的,(好象地球一样)，这时，每一个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球的半径Ro(2) 求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为 Vi，V2，,， Vn那么球的体积为：V = Vi + V2 + , + Vn由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体

5、积的近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”顶点的连线为棱。设它的高为 底面面积为 S'于是，它的体积为:1 .V'= hi S'i，(i = 1,2,， n)31这样就有：Vi- hiS'i，(i = 1,2,， n)31 V (m S1 + h2 S'2 + , + hn S'n)3(3) 转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么hi (i = 1,2,， n)就趋向于R，S'i就趋向于S，于是，由1可得：V = RS3F 434312又 V = - R，所以，有-R = rs 即：s=4 nR333例5、图1.3- 10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为 1m,高为 3m的圆柱形物体，上面是一个半球体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花（