高等数学b学习资料-3.1不定积分的概念及其线性法则ppt课件

1、一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、根本积分表二、根本积分表三、不定积分的线性运算法那么三、不定积分的线性运算法那么四、直接积分法四、直接积分法 引例引例 设曲线经过点设曲线经过点 (1 , 2) , (1 , 2) , 且其上任一点且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 , , 求此曲求此曲线方程线方程. .解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2ddxxy 2,yxC由曲线经过点由曲线经过点(1 , 2) , , 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函

2、数与不定积分的概念1.1.原函数原函数 设设 f (x) f (x) 在区间在区间 I I 内有定义，假设存内有定义，假设存在可导函数在可导函数 F(x) F(x)使对每一个使对每一个 x xI I 有有F(x)= f(x) 或或 dF(x) = f (x)dx ，那么称那么称 F(x) F(x) 为为 f(x) f(x) 在区间在区间 I I 内的一个原函内的一个原函数数 . .关于原函数有以下三个问题：关于原函数有以下三个问题：1) f(x) 满足什么条件满足什么条件 , 其原函数一定存在？其原函数一定存在？2) 假设假设 f(x) 有原函数有原函数 , 其原函数有多少个？其原函数有多少个

3、？3) f (x) 的全体原函数如何表示的全体原函数如何表示?原函数存在定理原函数存在定理 假设假设 f(x) 在区间在区间 I 内延续内延续 , 那么在区间那么在区间 I 内一定存在内一定存在 f(x) 的原函数的原函数.简言之：延续函数一定有原函数简言之：延续函数一定有原函数.假设假设 f (x)有原函数有原函数 ,那么那么 f (x) 的原函数有无穷多个的原函数有无穷多个.假设假设 F(x) 是是f (x)的一个原函数的一个原函数 ,那么那么 f (x)的全体原的全体原函数可表示为函数可表示为 F (x) +C. (C为恣意常数为恣意常数)恣意常数恣意常数积分号积分号被积函数被积函数2.

4、 不定积分的定义：不定积分的定义：CxFxxf )(d)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量假设假设 F(x) 是是 f (x) 在区间在区间 I 内的一个原函数内的一个原函数 ,那么那么 f (x) 在区间在区间 I 内的全体原函数称为内的全体原函数称为 f (x) 在区间在区间 I 内的不定积分内的不定积分,.d)( xxf记记为为例例 求求.d5xx 例例2 2 求求.d112 xx3. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标一样的点且在横坐标一样的点处每条曲线上的切线斜率相等都为处每条曲线上的切线斜率相等都为f (x) , 即

5、在横即在横坐标一样的点处各切线相互平行坐标一样的点处各切线相互平行.y=F(x) 为平面上的为平面上的 一条曲线一条曲线.y=F(x)+C 为平面上的为平面上的 一族曲线一族曲线.设设 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数的一个原函数 , 那么那么函数函数 f (x) 的原函数的图形称为积分曲线的原函数的图形称为积分曲线., )(d)(xfxxf ,d)(d)(dxxfxxf 或或,)(d)(CxFxxF .)()(dCxFxF 或或结论：结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的求不定积分的运算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分不定积分与微分(导数导数)的关系的关系由此根据微分公式可得

6、积分公式由此根据微分公式可得积分公式.二、二、 根本积分表根本积分表 P172P172 xkd)1( k 是常数是常数) ;)1(d)2( xx xxd)3(Cx arctan xxd11)5(2Cx arcsin xxd11)4(2Ckx Cx 11 ;|lnCx Cx arccotCx arccos xxdcos)6(;sinCx xxdsin)7(;cosCx xx2cosd)8( xxdsec2;tanCx xx2sind)9( xxdcsc2;cotCx xxxdtansec)10(;secCx xxxdcotcsc)11(;cscCx xexd)12(;Cex xaxd)13(;l

7、nCaax xxdsinh)14(;coshCx xxdcosh)15(;sinhCx 例例 求积分求积分.d2xxx 解解xxxd2 xx d23 Cx 123123.5225Cx 三、三、 不定积分的线性运算法那么不定积分的线性运算法那么 xxkfd)()1(.d)( xxfk).0( k xxgxfd)()()2( .d)(d)( xxgxxf ),(为不全为零的常数为不全为零的常数 (性质可推行到有限多个函数线性组合的情况性质可推行到有限多个函数线性组合的情况)四、直接积分法四、直接积分法 直接积分法直接积分法 根据不定积分的运算性质和根本积根据不定积分的运算性质和根本积分公式分公式

8、, , 直接求出不定积分的方法直接求出不定积分的方法. .例例1 1 求以下不定积分：求以下不定积分：.d)(. 13 xxxx.d. 23xxxx .d)210(. 3 xexx.d)32(. 42 xxx.d)3sin2(. 5 xexxx.d)112(. 6242xxxx .dsincos2cos. 7xxxx .dsincos1. 822xxx .d2sin. 92xx .d.101 xex阐明阐明 以上几例中的被积函数都需求进展恒等变形以上几例中的被积函数都需求进展恒等变形才干运用根本积分表才干运用根本积分表.d)(. 13 xxxx解解 xxxxd)(3 xxxd)(3423.73

9、523725Cxx .d. 23xxxx 解解 xxxxd3 xxxd)(253.32123Cxx .d)210(. 3 xexx解解 xexxd)210(.210ln10Cexx 4. 4. 求积分求积分解解.d)32(2 xxxxxxd)32(2 xxxxxd)33222(22 xxxxd)9624(.9ln96ln624ln4Cxxx 5. 5. 求积分求积分解解xexxxd)3sin2( .3ln3cos2Ceexxx .d)3sin2( xexxxxexxxd)3(dsin2 6. 6. 求积分求积分解解.d)112(242xxxx xxxxd)112(242 xxxxxd111d1

10、2242 xxxxxd)1(d11arcsin222.31arctanarcsin23Cxxxx 7. 7. 求积分求积分解解.dsincos2cos xxxx xxxxdsincos2cos xxxxxdsincossincos22 xxxd)sin(cosCxx cossin8. 8. 求积分求积分.dsincos122 xxx解解 xxxdsincos122 xxxxxdsincossincos2222 xxxdcscsec22.cottanCxx 9. 9. 求积分求积分解解.d2sin2 xx xxd2sin2 xxd2cos1.2sinCxx .d.101 xex求求积积分分解解

11、xexd1 xeexd1.1Cex 在求在求 f (x) 的一切原函数中的一切原函数中,有时需求确定一有时需求确定一个满足条件个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线的积分曲线 .即求经即求经过点过点(x0 , y0)的积分曲线的积分曲线 .这个条件普通称为这个条件普通称为初始条件初始条件,它可以独一确定积分常数它可以独一确定积分常数 C 的值的值.例例 2 2 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的 切线斜率为切线斜率为 xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与 y 轴轴 的交点为的交点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 例例2 已已知知一

12、一曲曲线线)(xfy 在在点点)(,(xfx处处的的 切切线线斜斜率率为为 xxsinsec2 ，且且此此曲曲线线与与 y 轴轴 的的交交点点为为)5 , 0(，求求此此曲曲线线的的方方程程. 解解,sinsecdd2xxxy xxxyd)sin(sec2,costanCxx ,5)0( y,6 C故所求曲线方程为故所求曲线方程为.6costan xxy例例3 3解解1cos2)(sin2 xxf由由,sin232x ,23)(2xxf 得得)(xf xxd)23(2Cxx 3323. )(,1cos2)(sin2xfxxf求求已已知知 例例4 4解解.d)(,010)( xxfxxxexfx

13、求求设设, ),()( Cxf.),()(上上可可积积在在 xf xxfxFd)()(令令,0时时当当 x xexFxd)(1Cex ,0时时当当 x xxxFd)1()(2221Cxx , ),()( CxF, )00()00()0( FFF有有,121CC 即即 xxfxFd)()(.02102 xxxxexCC 1留意留意:1) 导数是独一的导数是独一的 , 但原函数不独一但原函数不独一.2) 任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数 , 且导数普通也为且导数普通也为初等函数初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示用初等函数来表示 .

14、这些不定积分的原函数存在这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函但不能用初等函数来表示数来表示 .dsin,dsin,d:22等等例例如如 xxxxxxex3) 不定积分与变量符号无关不定积分与变量符号无关.根本积分表根本积分表不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：)(d)(xFxxf 求微分与求积分是互逆关系求微分与求积分是互逆关系四、四、 小结小结C 思索题思索题符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内能否存在原函数？为什么？内能否存在原函数？为什么？),( 思索题解答思索题解答不存在

15、不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),( )(xf结论结论每一个含有第一类延续点的函数都每一个含有第一类延续点的函数都没有原函数没有原函数.一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方

16、程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族CxFy )( )(是是任任意意常常数数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题6 6、 dxxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

17、 _ _； 7 7、 xxdx2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 8 8、 dxxx)23(2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 9 9、 dxxx)1)(1(3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 1 10 0、 dxxx2)1(= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . . 二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、 dxxx221 2 2、 dxxxx325323 3、 dxx2cos2 4 4、 dxxxx22sincos2cos5 5、 dxxxx)11(26 6、 xdxxxx2222sec1sin 三三、一一曲曲线线通通过过点点)3,(2e，且且在在任任一一点点处处的的切切线线的的斜斜 率率等等于于该该点点横横坐坐标标的的倒倒数数，求求该该曲曲线线的的方方程程 . .四四、证证明明函函数数xxexexeexxxxsinhcoshcoshsinh,212 都都是是和和的的原原函函数数 . .一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全