创新杯数学建模北京地铁

1、北京地铁收费模型设计与优化摘要本文系统描述和分析城市轨道交通主要的票价结构、计费方法，对各种计费 方法进行全面比较,论述制定票价应考虑的基本因素；提出应在综合考虑各种因 素的基础上，由政府组织,保证科学合理地制定城市轨道交通的票价。城市轨道交通的发展，必须首先解决自身的经营如何步入良性循环的问题。 本文分析了地铁票制的种类及其优缺点，以及计程票制的计程方法及计价方法 讨论了基本服务价格存在的必要性。地铁的票价应考虑社会的综合效益，建议采 用计程制票价，收取基本服务费。在比较方案一与方案二哪者更合理时.，本文运用分段线性函数来说明两者的 差异，并从起步价、票价率、最高票价以及消费者满意度等方面来

2、阐述两者合者 更合理，经过讨论，本文认为方案二相比方案一而言更合理。同时，在综合考虑城市公共交通发展、消费者承受能力、地铁运营成本等诸 多因素的情况下，为了制定一套合理的定价方案。本文建立三个模型：模型1考 虑考虑盈亏平衡的定价模型，模型2考虑整个社会效益最大化的定价模型，模 型3基于拉姆塞定价理论的定价模型。最终在权衡各种利弊得失后，在三个模 型基础之上确定了一套合理的定价方案，它将时段分为低峰期和高峰期，不同的 时段起步价和封顶价都有所差异。交通的票价政策应当是符合市民收入水平,能够有效引导出行需求，并能为交 通行业的各个参与方（政府、运营公司和乘客）创造最大效益的重要管理工具。在 文章的

3、最后，以通俗的语言向普通大众介绍了本文的研究成果，希望本文对广大 人民群众对地铁票价机制的形成有所了解，并积极支持杭州城市轨道交通的发 展。关键词：地铁票价定价层次分析法最优票价计程制 Ramsey模型6一、问题重述地铁是城市轨道交通的重要组成部分。北京有四通八达的地铁线路，是世界 拥有地铁最长的城市。北京现行地铁票价为2元通票，此种票价设计存在诸多 弊端，低廉的地铁票既给政府造成了巨大的财政补贴压力也因乘客乘坐距离的不 同产生了不公平因素。特别随着北京地铁的急速发展，票价不合理性日益突出。从地铁盈亏平衡角度看，地铁的修建价格为段路每公里6亿，加上场断的建 造费、车辆造价及其他种种费用，这是一

4、笔巨大的开支，像去年国家给北京地铁 补助了 13亿人民币，而地铁票价一一2元每人每次很难满足地铁巨大的花费。 其次乘客无论乘坐那个路段，无论乘坐多远都是2元，明显存在公平性的问题。考虑到现行北京地铁票价系统的弊端，考虑到如何最大限度地实现客流运输 的目标或最大限度地实现运营收入的目标，如何平衡公交运营成本以及社会效益 之间的关系等问题建立模型并评价。二、模型假设1）假设地铁每公里的造价为6亿元人民币。2）短期内，假设为一年.轨道公司的营运成本保持不变。3）在成本核算时不考虑出票价外其他收入的影响。4）不考虑公共交通由于外界原因造成的影响。如天气、环境对公共交通的影响。5）忽略在整个路线中人口分

5、布的不均匀性，假设整个路线中各地区人口分布是均 匀的，也就是假设各个站的客流密度是相同的。6）忽略在整个路线中经济水平的不均匀性，假设整个路线各地区经济水平是均匀 的。7）假设全程票价等于各站票价的和。8）假设仅讨论轨道修建成本还未收回时的票价情形。9）假设轨道修建总成本是固定的，忽略银行贷款利息。10）假设北京地铁的成本回收年限为50年。11）假设北京地铁各路段情况一样。三、符号说明p / p（/）/1（/）/7/）/匕（/）票价/每公里/高峰期/低峰期/正常票价P基础票价dp票价增量C地铁修建成本nc每年运行的固定成本be边际成本N年数Q/Q(l)客流总量/每公里客流量F!FlSIS,开支

6、/每天收入 收入/每天收入四、问题分析考虑到过高的票价会使众多居民不堪负重，从而导致客流量减少，使得铁路 部门因售票情况不佳而损失惨重；过低的票价一方面可能使建设和运营成本难以 收回，导致财政压力过大。因此问题的关键就是如何根据影响票价的诸多因素， 制定合理的价格策略，让政府不需要承受过大财政压力的同时使得人民群众能接 受并保证客流量。一般而言，票价制定需考虑的因素有：(1)时间:乘车高峰期与低峰期票种差异、票卡使用日期或时段限制、特殊票种的 有效期等。空间差异:包括乘坐距离、站点、区间等。服务水平:包括乘坐舒适度、旅行速度和准时性等。(4)交通多模式衔接:使乘客根据自己不同的需要有多重出行模

7、式的选择。(6)安全性:包括乘车安全及站车次序等。人群:制定票价时，充分考虑可能存在的各种乘客群，针对他们的特点和需 求,为同一种服务项目确定不同水平的票价,特定人群可以享受折扣票价甚至免 费服务。运营成本:投资回收及运营设施设备的更新费用、人力费用、能耗费用和维修 费用。票价和客流的关系：随着票价的提升客流量会随之减少。考虑到以上因素初步制定两种基本票价方案：(1)以运营成本为基础现行北京票价系统使得财政支出过大，地铁交通必须兼顾公众、投资者等多 方利益和政府财政的承受能。最优票价应该是既能使地铁充分发挥其运营能力乂 能使公司收益最大化。要使社会效益达到最大，就要在当地经济水平可以承受的 条

8、件下尽可能的提高票价。以成本确定价格是最基本的定价方法，它的核心是价格必须以成本为基础， 其基本计算公式为：总成本二票价水平X客流总量通过提高票价格来提高收益。以票价公平性为基础地铁的客运服务在一定意义上讲是一种特殊的意义的商品，在商品社会里就 应当符合价值规律。地铁票价是为乘客提供客运服务过程中的价值体现，是人们乘坐地铁必须支付的费用。那么人们付出的费用应该是与所获得服务成正比的， 人们在交通出行中获得的服务越多，支付的费用就应该越多。根据这一点我们就 应该实行计程票价制。以公平性为基础，就是制定起步票价，之后随着乘客乘坐地铁距离的增加而 增加票价，其核心公式为：票价水平二起始票价+乘车距离

9、X票价率五、模型的建立与求解一)模型一(1)建立模型为保证票价公平性，我们采用计程票价制，就是票价和乘客所乘坐路程 有关，基础公式为：P(l) = p +1 * dp其中P(l)为乘客坐了/公里所需支付的票价，此票价由基础票价P和乘客坐 /公里多支付的票价，如为票价增额。P为每位乘客上车所需支付的基础票价，为保证收支它的产生由两部分 决定，一方面是由轨道修建成本。要在规定的年限内收回而需缴纳的使用 费；另一方面是由轨道的正常运营而产生的必不可少的相对固定的年固定运 行成本“C。设。为平均每年的总客流量，在考虑基础票价时假设。为常量，则：C + N* nc NQ-其中N为年数。 所以：p(/)=

10、C + N * ncNQ+1 * dp对于总客流量0,由于乘客乘车距离不尽相同，导致了乘客的票费不同，而 决定车票多少的主要因素就是列车经距离。因此引入Pr(/),表示乘车经过/公里的乘客所占的比例。不难得出Pr(1)服从正态 分布，容易得正态分布的均值为15,假设在7«/<23之间所占的客流比例为 99. 9%,且有。=(/-15)/o:N(0J),问题的关键是求方差Pi«)=(4)则有坐/公里的乘客的数量为：Q(/) = Q*Pr(/)乂由于客流量0与票价P有关，因此可得关系式:(6)其中攵。为那些因为种种原因对价格不敏感或者只有唯一选择的乘客流量。乂 因为，当考

11、虑到成本的收回和年运营固定成本的收回，J的取值也是影响客流量 的主要因素之一，因此可将(6)式加以改进：Q = " + k。(7)P由此，得到运营收入S的表达式：s = £ P(OQQ) = £( P +1 * 即+A°)Pr(/)(8)考虑到收支平衡，抛去地铁对福利性质，在成本回收年限内地铁运营需要支 付的成本费用就包括地铁修建总成本C,地铁运营中每年的固定成本c,地铁 运营中的边际成本历。设边际成本与客流量之间存在以下关系：be = k&h(9)因此，我们可以确定出每年要支付的费用歹为：CF = 一 + nc + be(10)N以下从2个角度

12、分别论证并建立模型：(1)考虑考虑盈亏平衡的定价模型：在此模型中，运营仅为收回成本，即收入S与费用户相平衡其临界条件为：F = S(11)即：。二fp(/)Q(/) = £(p + /*d)CPr(/)(12)表1序号线别行车间隔车站数公里数客流量（万）11号线2分05秒2331142.5222号线2分1823143.4435号线2分50秒2328102.2848号线5分15秒4521.52510号线2分55秒2225164.85613号线2分40秒164188.667八通线2分50秒131934.778机场线10分4283.369亦庄线7分45秒132317.6710昌平线10分7

13、2114.431115号线9分30秒82015.0412房山线9分30秒10228.01建设成本线路：地下6亿/公里，高架4亿/公里，地面2亿/公里段场：不用说少说也将10个亿车辆：每列车5000万，每条线基本都要有个 七八十列。表21年份 （年卜全年客流量（亿/人次”日日客流 量J1万/人次八平均成本 阮/人次）户客运成本 （亿元）一平均票价一 阮/人次）。2007。6.54P179.43433.29Q21.58P2Q200812.17。332.4g3.24P39.44523200914,23小389.7的3.348.32"201g18.46505.8843.33。61.52。20

14、11Q21.93。600.77433.43。75.2。2Q2012。24.620672.573'86.1。20表3（2）模型求解从表1综合所有的线路的平均每24公里客流量为71. 28万，以次线路为标 准。由正态分布的均值为15,假设在74/423之间所占的客流比例为99,奖，根 据:23-150.9995=<D ()(13)a通过查表求得：G =2.42(14)-0-15)20 242.422所以：Pr(/) =(15)2.42* 石从表2可知建造24公里需花费。=24*6=144亿元人民币（忽略场段可列车的 花费）。从表3可知按照2012年算得6亿元，按照50Az年收回成本。

15、所以：p =4. 03 元144*108+50*7.6 木 IO'50*365*71.2*1(/由表3的数据得:机=12005(16)根据（12） （15） （16）通过vb编程（附件一）求得可求得:67/7=0. 1849因此，此时的票价模型为：P（/）= 4.03 + 0.1849/（17）此时全程票价为P（24） = 8.4676。此模型保证了乘客的公平性，公司盈亏平衡，政府不需要支付过多的财政支 出。但考虑到到客流存在高低峰期，为保证公平不同时刻票价应该不同，因此 建立基于拉姆塞定价理论的定价模型（Ramsey模型）。2二）模型二基于拉姆塞定价理论延伸出的高峰定价法的前提假设是

16、：从地铁的高峰时段 到平常时段，消费者需求的价格弹性是不同的。具体地说，由于高峰时段人们上 下班更关注于时间的紧迫性，对于价格的敏感程度明显低于非高峰时段，即高峰 时段的需求弹性小于非高峰时段的需求弹性。公共汽车和地铁客运在公共交通方 面存在某些相似性，来自美国的一份公共汽车的价格弹性的资料可以验证这一论 断。在制定统一价格的情况下,为了保证企业的盈亏平衡（假设政府不提供补 贴），这一价格通常比高峰时段企业的平均成本高，而比平时的平均成本低。如 图1所示，这将形成高峰时庶。叫的盈利和平时GA84的亏损。在存在政府规 制且政府不给予补贴的情况下，企业在盈亏平衡点经营处经营,即价格外所导致 的Pq

17、CFP?的盈利与PABPi）的亏损应大致相等，以高峰时的盈利来弥补平时的亏 损。但是，正如前面所说，这种解决方案导致了社会福利的损失和社会效率的浪 费。图1地铁的统一价格定价法采用高峰定价法（见图2）,在高峰时段将票价提高至P2 ,运量从。2降为。、； 而在平时价格降Pi为运量从0增为0；,这时高峰与平时运量的差额为0Q1， 高于统一定价时的差额。在存在收支平衡约束的条件下，虽然价格总比庶有 所降低，会造成一定的亏损，但是这种亏损己由高峰提价增加的利润所弥补。由 于高峰与平时客运量差额的减少,使得地铁运输的社会经济效率得以提高。同时 由于降低了高弹性市场的价格，在收支平衡的情况下，作为社会福利

18、测度的消 费者剩余得以增加，于是也改善了社会福利。当然由于在低弹性市场提高价格, 高峰定价损害了这部分消费者的利益，因此这种方法并不是一种帕累托改进，这 也是与拉姆塞定价原理有所不同的。图2地铁的高峰定价法目前国内的地铁票价大多采取单一票价制或者计程票价制，虽然这在票价上 体现了公平，但是如果利用地铁票价的价格杠杆来引导客流，就可以进一步提高 效率,改善社会福利。应用拉姆塞定价原理采用高峰定价法可以实现这种效果。以拉姆塞定价原则为理论基础，高峰定价法通过确立不同时段的不同价格来 引导需求,实现社会福利的优化。为了在高峰期合理的调配客流量，在高峰期适当的提高票价(调整系数为 X>l)o而在

19、平时相对低峰期，适当调低票价(调整系数为OY(1),以此来增加地铁 的竞争力，增加客流量。合理调整X和Y的值，以此来达到一个平衡点。高峰时之所以提高价格会带来更高的收益是因为在高峰期绝大多数乘客对 票价的高低敏感度会降低，即对价格不敏感，由于提价而损失的客流收入相对于 增加的收益而言是可以忽略的。同时还可以起到调配高峰客流的作用。而在低峰期，由于季节等因素导致客流量骤减,轻轨的运能遭到极大的浪费, 通过降低票价可以刺激消费，增加轻轨的竞争力，从而增加客流量，进而增加运 营收入。为讨论方便将每天的客运情况分为三类高峰、正常和低峰，并假设三者所占的比重分别为a、b、c(a、b、c满足关系因此我们可

20、以求的高峰、正常和低峰时的客流量。=&+2,+。"(18)(Q 是每天客流量总和，心是一天中高峰期客流量，。丁是一天中正常时客流量，&是一天中低峰期客流量)其中：Q.=Q*a(19)Qzc=Q*h(20)Q/=Q*c(21)再讨论高峰、正常和低峰时的票价水平。设P(。为正常情况下的票价，(/)为高峰期情况下的票价，?为低峰期情况下的票价。则高峰时的票价水平为：P*) = X*P(I)(22)同理低峰时的票价水平为：PdQ) = Y*P(O(23)可以求得运营收入为：设8为每天的运营收入，SI,为高峰期情况下的收入，S、,为正常情况下的收(24)(25)(26)入，S。

21、为低峰期情况下的收入。S。= &(/)*2“小匕(,)* &std=PdQ)*2dSt = S' + Stzc + SPg (/) * & + 匕(/) * Q" + 2(/) * 口(27)以下再根据，以往该地区以往的经济统计数据，以及高峰统计数据得出最佳 的X和Y的值,使得Sf达到最大值。根据,宫方调查数据得到如下.条形分等图如图3一 路网平日分时进站量趋势图3对以上分布图分析可得：每天约21. 0526%的时间轻轨是处于高峰期的，约 63.1579%轨道处于正常营运期，而剩余的15.7895%轨道处于低峰期。 从而：St = Stg + Stz( +=(2 * (R (/) * 21.0256% + 匕 *63.1579% +/>,(/)*1 5.7895%)(28)Ft = St(29)rFt365 = + nc + bc(30)N由(28) (29) (30)且x>l, l>y>0通过vb编程(附件二)解得：X=1.04, Y=0.78从而:(31)PK(/) = X *P(l) = 1.04*(4.03 + 0.1849 */)Pd(/) = y*P(Z) = 0.78*(4.03 + 0.1849 *。(32)因此高峰期和低峰期的全程票价分别为：Pj24) =