2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题31点直线与圆的位置关系试题

1、点直线与圆的位置关系一.选择题1. （2018 重庆市B卷）（4.00分）如图， ABC中，/A=30° ,点。是边AB上一点，以点。为圆心，以OB为半径作圆，。恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分/ ABC AD喳, 则线段CD的长是（）【分析】 连接OD得RtOAD由/ A=30° , AD=2/5,可求出OD.AO勺长；由BD平分/ ABGOB=OM 得OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论.【解答】解：连接OD.OD是。的半径，AC是。的切线，点 D是切点， ODL AC在 RtAAOD, . /A=30° , AD=2/3, .

2、OD=OB=2 AO=4 ./ ODBh OBD 又BD平分/ ABG ./ OBDh CBD ./ ODBh CBD .OD/ CB, ，四望 CD OBgp|2V3CD 2.CD=/3.【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30。角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明/ C=90 ,禾J用/ A=30。，AB=6,先得AC的长，再求CD遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线.2. （2018?广安？ 3分）下列命题中：如果a>b,那么a2>b2一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等关于x的一元二次方程

3、ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a< 1其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3 D. 4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案.【解答】 解：如果a>b,那么a2>b2,错误；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是aw 1且aw 0,故此选项 错误.故选：A.【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键.3. （2018 江苏常州 2分）如图，AB是。的直

4、径，MNI。的切线，切点为 N,如果/ MNB=52,贝U/ NOA勺度数为（）A. 76° B. 56° C. 54° D, 52°【分析】先利用切线的性质得/ ONM=90,则可计算出/ ONB=38,再利用等腰三角形的性质得到/ B=/ ONB=38° ,然后根据圆周角定理得/ NOA勺度数.【解答】 解：.MN>。的切线， .ONI NM，/ONM=90 , / ONB=9 0 - / MNB=90 - 52° =38° ,. ON=OB .-/ B=/ ONB=38 , . . / NOA=2 B=76

5、76; ,故选： A.【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.二.填空题1. （2018 浙江省台州 5分）如图，AB是。0的直径，C是。0上的点，过点C作。0的切 线交AB的延长线于点 D.若/A=32° ,则/ D= 26 度.【分析】连接OQ根据圆周角定理得到/ COD=2 A,根据切线的性质计算即可.【解答】解：连接OC由圆周角定理得，/ COD=2A=64° ,.CD为。0的切线， .OCL CD/ D=90 - / COD=26 ,故答案为：26.【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

6、径是解题的关键.三.解答题1. (2018 广西贺州 10分)如图，AB是。0的弦，过 AB的中点E作EC!OA垂足为 C,过点B作直线BD交CE的延长线于点 D,使得DB=DE(1)求证：BD是。0的切线；(2)若 AB=1Z DB=5 求4AOB的面积.【解答】（1）证明：OA=OB DB=DE/ A=Z OBA / DEBW DBE. ECL OA /DEBW AEC/A+/ DEB=90 , . / OBA+DBE=90 ,/ OBD=90 ,.OB是圆的半径，.BD是。0的切线；(2)过点D作D。AB于点F,连接OE点E是AB的中点，AB=12,，AE=EB=6 OEL AB又,.

7、DE=DBDF，BE DB=5, DB=DE，EF=BF=3，DF=:1=4, / AECW DEF/ A=Z EDF. OEL AB, DF± AB, /AEOW DFE=90 , .AE6 ADFE. EO AEFE DF即旦得 EO=4.5,3 4 .AOB的面积是： °)= 12 >4 B =27.-<E ： Hjr7d2. （2018 广西梧州10分）如图，AB是。M的直径，BC是。M的切线，切点为 B, C是 BC上（除B点外）的任意一点，连接 CM交。M于点G过点C作DOL BC交BG的延长线于 点D,连接AG并延长交BC于点E.（1）求证： AB

8、mBCD（2）若 MB=BE=1求CD的长度.【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似;（2）利用勾股定理和面积法得到 AG GE根据三角形相似求得 GH得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD.【解答】（1）证明：BC为。M切线/ ABC=90 .DOL BC/ BCD=90 / ABCW BCD.AB是。M的直径/ AGB=90即：BGLAECBDWA .ABm ABCD.AB=2AE=,:由（1）根据面积法AB?BE=BG?AE BG，jBG-5由勾股定理:AG一5GE=5. GH/ AB.GH GE.GH=_E又 GH AB叁.EC -NIB同理：地，BC-DC+，得

9、HC+BH _GH GHBC -MB C二一八H-十二MB DC. .CD上3【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似.解答时，注意根据条件构造相似三角形.3. (2018 湖北江汉 8分)如图，在。0中，AB为直径，AC为弦.过BC延长线上一点 G作GDLAO于点D,交AC于点E,交。0于点F, M是GE的中点，连接 CF, CM(1)判断CM与。0的位置关系，并说明理由；(2)若/ ECF=2 A, CM=6 CF=4,求 MF的长.【分析】(1)连接OC如图，利用圆周角定理得到/ ACB=90 ,再根据斜边上的中线性质得MC=MG=M所以/ G=Z 1,接着证

10、明/ 1+7 2=90° ,从而得到/ OCM=90,然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为。0的切线；(2)先证明/G=ZA,再证明/EMC =4,则可判定 EFS ECM 利用相似比先计算出 CE, 再计算出EF,然后计算ME- EF即可.【解答】解：(1) CMOO相切.理由如下：连接OC如图，. GDL AO于点 D,/ G+/ GBD=90 ,.AB为直径,，/ACB=90 , M点为GE的中点, .MC=MG=ME ，/G=Z 1, .OB=O C.B=/ 2, .Z 1+7 2=90° ,OCL CMCM为。0的切线;(2) . /1+/3+/4=9

11、0° , Z 5+Z 3+7 4=90° , / 1=75,而/ 1=/G / 5=/A, /4=2/A, ，/4=2/G而/ EMC= G+Z 1=2/G, ./EMC =4,而/ FECh CEM .EFS AECIM，-=-=-CE ME CJftEF=CE=4.CE=4 EF±MF=ME EF=6-=EB§4. (2018 湖北十堰 8分)如图， ABC中，AB=AC以AB为直径的。0 交BC于点D,交AC于点E,过点D作FGLAC于点F,交AB的延长线于点 G.(1)求证：FG是。0的切线;(2)若tanC=2,求能的值.GAC【分析】（1）欲

12、证明FG是。0的切线，只要证明 OCL FQ(2)由4GD改4GAD 设 BG=a可得旦L=LL=L,推出AT GD GA 2DG=2a AG=4a由此即可解决问题;【解答】（1）证明：连接AD.OD，/ADB=90 ,即 ADL BG .AC=AB.CD=BD .OA=O B .OD/ AGDF± AG ODL DF, .FG是。0的切线.(2)解：tanC= =2, BD=CDCD .BD AD=1: 2, / GDB+ ODB=90 , / ADO+ ODB=90 , .OA=O D ./ OADgODA ./ GDBg GAQ ,/ G之 G .GD改AGAD 设 BG=a.

13、 BD = BG = DG=1 _=, AE GE GA 2DG=2a AG=4a .BG GA=t 4.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、 三角形中位线定理、 圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型.5. (2018 四川省攀枝花)如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的。0分别与BC.AC交 于点D.E,过点D作D。AC于点F.(1)若。0的半径为3, ZCDF=15 ,求阴影部分的面积；(2)求证：DF是。0的切线；(3)求证：/ EDFh DAC连接OE过O作OM_ AC于M,则/

14、 AMO=90 .DF±AGDFC=90 . /FDC=15 , ./C=180 90° 15° =75°.AB=AC，/ABCW C=75 ,，/BAC=180 /ABC C=3(J , . OM=am=75om必坦. OA=OEOMLAG ，AE=2AM=3百，/ BACWAEO=30 , ，/AOE=180 30° =3兀一430° =120°阴影部分的面积 S=S扇形 aoe- Saao=12Q71； X 3 - X X 3602 a 2(2)证明：连接ODD C AB=AC OB=OD / ABCW C, / AB

15、CW ODB ，/ ODB= C, ，AC/ OD . DF，AC,，DF，OD.OD过O, DF是。0的切线;(3)证明：连接BED C. AB为。0 的直径，AEB=90 , . BHACDF± AGBEE/ DF, . . / FDCW EBC / EBCW DAC / FDCW DAC ,. A.B.D.E 四点共圆，DEF4ABC/ABCW C,，/DECW C.DF± AG/ EDF至 FDC，/ EDF至 DAC 6. (2018 云南省昆明 8分)如图，AB是。0的直径，ED切。0于点C, AD交。0于点F, /AC平分/BAD连接BF.(1)求证：ADL

16、ER(2)若CD=4 AF=2,求。0的半径.A【分析】(1)连接OC如图，先证明OC/ Aq然后利用切线的性质得 OCLDE，从而得到ADLER(2) OC交BF于H,如图，利用圆周角定理得到/ AFB=90 ,再证明四边形CDFW矩形得到FH=CD=4 / CHF=90 ,利用垂径定理得到BH=FH=4然后利用勾股定理计算出AB,从而得到。0的半径.【解答】(1)证明：连接OC如图,. AC 平分/ BAD1=Z2, ,.OA=O C / 1=Z3, .Z2=Z3, .OCI AQ ED切。于点C,OCL DEADL ER(2)解：OC交BF于H,如图, .AB为直径,，/AFB=90 ,

17、 易得四边形CDFHM巨形， .FH=CD=4, Z CHF=90 , .OHL BF, .BH=FH=4.BF=8在RtMBF中，AB诟三而落废7铲2TY，【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必 连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了垂径定理和圆周角定理.7. (2018 云南省曲靖)如图， AB为。0的直径，点C为。0上一点，将弧BC沿直线BC翻 折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接 OC CQ BR过点C的切线与线段BA的延 长线交于点 P,连接AD,在PB的另一侧作/ MPBgADC(1)判断PM与。0的位置关系，并说明理由；

18、(2)若PC=/3,求四边形OCDB勺面积.【解答】解：(1) PIVOO相切.理由如下：连接DO并延长交PM于E,如图，弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,.OC=DP BO=BQ.OC=DC=BO=BD四边形OBD菱形，OELBQ OCDA OBDtB是等边三角形, Z CODN BOD=60 , Z C0P4 EOP=60 , . Z MPBADQ而 / ADCWABCABChMPBPM7 BQoaPM，oe=o只2.pc为。o的切线,.OCLPQ-oc=i-o.OE=OP而 OELPQ二.PM是。0的切线;(2)在 RUOPC中，OC返PC2四边形 OCD的面积=2

19、S。汨8. (2018 云南省9分)如图，已知 AB是。上的点，C是。上的点，点D在AB的延长线上,B BCDh BAC(1)求证：CD是。的切线；(2)若/ D=30 , BD=2求图中阴影部分的面积.【分析】(1)连接OC易证/ BCDW OCA由于AB是直径，所以/ ACB=90 ,所以/ OCA+OCB= / BCD吆OCB=90 , CD是。O的切线(2)设。的半径为 r, AB=2r,由于 / D=30 , / OCD=9 0 ,所以可求出 r=2,/AOC=12 0 , BC=2,由勾股定理可知： AC=2/3,分别计算 OAC的面积以及扇形 OAC的面积即可求出影 响部分面积【

20、解答】解：(1)连接OC-.OA=OC .Z BAC4 OCA / BCDh BAG / BCDh OCA.AB是直径，/ACB=90 , ./ OCA+OCB=BCD吆 OCB=90/ OCD=90 OC是半径， .CD是。O的切线(2)设。O的半径为r ,.AB=2r, / D=30 , / OCD=90 ,，OD=2r, /COB=60，r+2=2r , r=2 , /AOC=120BC=2,，由勾股定理可知：AC=2 ：'易求 S»Aao(=Lx1 相-1SBS扇形OA=3603【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边

21、三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.9. (2018 辽宁省沈阳市)(10.00分)如图，BE是O的直径，点A和点D是。O上的两点, 过点A作。的切线交BE延长线于点.(1)若/ADE=25 ,求/ C的度数；(2)若AB=AC CE=2,求O O半径的长.【分析】(1)连接OA利用切线的性质和角之间的关系解答即可;(2)根据直角三角形的性质解答即可.AC是。O的切线，OA是O O的半径,QAa AC,/ QAC=90 ,AExAE，/ADE=25 ,AQ_ AQE=Z ADE=50 ,/ C=90 - / AQE=90 - 50° =40° ;(2) AB=AC

22、/ B=Z C,八-/ AQC=2 B, .Z AQC=2 C,/ QAC=90 , / AQC它 C=90 , .3/C=90 , ./C=30 ,QA=-QC2设。的半径为r,.CE=2, -r=y(r-n2)，解得：r=2, .OQ的半径为2.【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答.10. (2018 辽宁省盘锦市)如图，在RtABC中，/ C=90，点 D在线段 AB上，以AD为直径的。与BC相交于点E,与AC相交于点F, / B=Z BAE=30 .(1)求证：BC是。的切线；(2)若AC=3求O Q的半径r;(3)在(1)的条件下，判断以A.Q、E.F为顶点的四边

23、形为哪种特殊四边形，并说明理由.【解答】解：(1)如图1,连接QE,QA=QEBAE=Z QEA. /BAE=30 ,，/OEA=30 , . . / AOEh BAE-+Z OEA=60 ,在 BOE中，Z B=30° , . /OEB=180 乙 B- Z BOE=90 ,OEL BC. 点E在OO±,BC是。的切线;(2)如图 21 / B=/ BAE=30 , . . / AECh B+Z BAE=60 ,在 RtACE中，AC=3, sin / AED=90AE=2/3,连接DE1AD是。O的直径,xin/AEC sinSO*RtADE中，/ BAE=30 , c

24、os/DAE=, . AD=理=_=4, .OO的半径AD cos/BAE COS30"r= AD=22(3)以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图 3.在RtABC中，/ B=30° , /BAC=60 ,连接 OROA=OF .AOF是等边三角形，OA=AF / AOF=60 ,连接 EF,OE OE=OF /OEB=90, Z B=30° , . . / AOE=90 +30° =120° ,. /EOF=/ AOE- / AOF=60 . . OE=OF OEF是等边三角形，OE=EF . OA=OE，OA=AF=EF=QE，

25、四边形 OAF比菱形.11. (2018 辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是。的直径，AC =BC, E是OB的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE连接AF交。O于点D,连接BD, BF.(1)求证：直线BF是。的切线;.AB是。O的直径,AC =BC, .ZBOC=90 .E是 OB的中点，OE=BE 在 OC序口4BFE中.密BE Z0EC=ZBEF CEEF,.OCE ABFE (SA9, . / OBF4 COE=9 0 , .直线 BF 是。O 的切O,点D为。上一点，且CD=CB连接DO并延长交CB的延长线于点E.Z ABC=90 ,以AB为直径作。(2)解：. OB=OC=2由(

26、1)得：AOCE BFE, . BF=OC=2 人可/十罚 2=/ + ? 2=4 ,(1)判断直线CD与。O的位置关系，并说明理由;(2)若 BE=4, DE=3 求 AC的长.【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明 ODLC口利用全等三角形的性质即可证明；（2）设。的半径为r .在RtOBE中，卞据 oE=Ed+O民可得（8-r） 2=r2+42,推出r=3 ,由tan / E=E =CD 推出&3 可得CD=BC=6再利用勾股定理即可解决问题；EB DE 4 8【解答】（1）证明：连接OC . CB=CD CO=CO OB=OD.OC军 OCD / ODCW OBC=90 ,

27、.ODL DC .DC是。O的切线.(2)解：设。O的半径为r.在 RtOBE中, OE=Ed+Og,( 8 - r) 2=r2+42,tan /OB CDEB DE3 CD =4 8 .CD=BC=6在 Rt ABC中, ACk/AB2+BcS+e6 .【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解 题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.13. (2018?呼和浩特？ 10分)如图，已知 BC± AG圆心 O在AC上，点 M与点C分别是 AC与。O的交点，点D是M*。的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且幽里L.AP A0(1)求证：P

28、D是。的切线；(2)若 AD=12 AM=MC求里的值.MDB(1)证明：连接 OD.OR CD. J=上工 / A=/ A, 虹1 AO . ADMh APO ./ ADM=APQMD/ PQ1 = /4, / 2=Z 3, .OD=OM / 3=Z4,1 = /2, . OP=OP OD=OC.OD四 OCP ./ ODPh OCPBC± AC,/ OCP=90 , ODL AP, .PD是。O的切线.(2)连接CD由(1)可知：PC=PD .AM=MC .AM=2MO=2R在 RtAAOD, O6+A5=OA, .R+122=9R2,. . R=3x/2 , -OD=3 MC=

29、6 :, J = _ 5AP MO 3 . DP=6, O是MC勺中点,|：C1 二1 - ,MC CB 2 点P是BC的中点，BP=CP=DP=6.MOO O的直径， / BDCh CDM=90 ,在 R1ABCM43,BC=2DP=12 MC=1,.BM=6. BCMh CDMMC BM' 施康， .MD=2.,一二MD 27 214. (2018?乐山？ 10分)如图，P是。O外的一点，PA.PB是。O的两条切线，A.B是切点,PO交AB于点F,延长BO交。O于点C,交PA的延长交于点 Q,连结AC.(1)求证：AC/ PO(2)设D为PB的中点，QD交AB于点E,若O O的半径

30、为3, CQ=2求逆的值. BE(1)证明：: PA.PB是。O的两条切线，A.B是切点，PA=PB且PO平分/ BPA，PCLAB. BC是直径，CAB=90 ,AC± AR . . AC/ PQ(2)解：连结OA.DF,如图， PA.PB是。O的两条切线， A.B 是切点，OAQ=PBQ=90.在 Rt OAGF, OA=OC=3 . . OQ=5由 QA+OA=OQ,彳导 QA=4在 RtPBQ中,PA=PB QB=OQ+OB=8由 qB+pB"=pQ,得 82+P= (PB+4) 2,解得 PB=6,PA=PB=6 -. OP± AB, . . BF=AF

31、=AB.2又. D为 PB的中点，DF/ AP, DF=Lpa=3,2.DF&AQE/=_a 设 AE=4t, DF 3雪二包乌 BE lOt 5FE=3t,贝U AF=AE+FE=7t . . BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t,Q15. (2018?广安？ 9分)如图，已知 AB是。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。于点C, CG是。O的弦，CGI AB,垂足为 D.(1)求证：/ PCA=/ ABC(2)过点A作AE/ PC交。O于点E,交CD于点F,连接BE,若cos / P*, CF=10,求BE5的长【分析】（1）连接半径 OQ根据切线的性质得：Od PC

32、,由圆周角定理得：/ ACB=90 ,所以/ PCA=/ OCB再由同圆的半径相等可得：/OCBh ABC从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明/ CAF=Z ACR 贝U AF=CF=10 根据 cos / P=cos / FAD可得 AD=8, FD=6,5得CD=CF+FD=16设OC=r, OD=r- 8,根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数 cos/EAB上耳，可得AE的长，从而计算 BE的长；Afi方法二：根据平行线的性质得： OCL AE, / P=/ EAO由垂直的定义得：/ OCD=EAOW P, 同理利用三角函数求得： CH=8并设AO=5x, AH=4x

33、,表示OH=3x OC=3x- 8,由OC=OAJ式 可得x的值，最后同理得结论.【解答】证明：（1）连接OC交AE于H,.PC是。O的切线, .OCL PC,/ PCO=90 , ./ PCA吆 ACO=90 , （1 分）.AB是。O的直径，/ACB=90 , （2 分） / ACO廿 OCB=90 , / PCA4 OCB （3 分） .OC=OB ./ OCBh ABC / PCA4 ABQ （4 分）（2）方法一：.AE/ PC,/ CAF=/ PCA .AB± CGAC=AC,Z ACF=/ ABC （5 分） / ABC4 PCACAF之 ACF, .AF=CF=10

34、（6 分） . AE/ PC,/ P=Z FAQcos / P=cosZ FAD”,在 RtMFD中，cos/FAD殁，AF=10,AF .AD=8, （7 分） .CD=CF+FD=16在 RtAOCD,设 OC=r, OD=r- 8,r2= （r 8） 2+162,r=20 ,.AB=2r=40, （8 分）.AB是直径,，/AEB=90 ,在 RtMEB中,cos/EAB&, AB=40, .AE=32 .BE4-=24（9 分） 方法二：AE/ PC, OCL PC, OCL AE, / P=/ EAO （5 分）， / EAO吆 COA=90 , .AB± CG /

35、 OCD廿 COA=90 , ./ OCDW EAOW P, （6 分）在 RtCFH中,cos/HCF孚，CF=10, .CH=8, （7 分）在 RtAOHA, cos/设 AO=5r AH=4x,，OH=3k OC=3x+8由 OC=OA导：3x+8=5x, x=4 , .AO=20，AB=40, （8 分） 在 RtMBE中，cos/EAB&L, AB=40,AB，AE=32,【点评】 本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接 。8勾造直角三角形是解题的关键.16. （2018?莱芜？ 10分）如图，已知 A.B是。上两点， OA的卜角的平分线交。

36、O于另一 点C, CD）± AB交AB的延长线于 D.（1）求证：CD是。的切线；（2） E 为踵的中点，F 为。上一点，EF交 AB于 G 若 tan / AFE=" , BE=BG EG=V!£求。的半径.E【分析】（1）连接OC如图，先证明/ OCB=/ CBD导到OC/ AD,再利用CD±AB得到OCL C口 然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H,如图，利用垂径定理得到OE!AB,再利用圆周角定理得到/ABE=Z AFE 在 RtBEH中禾I用正切可设 EH=3x, BH=4x,贝U BE=5x,所以 BG=BE=5x G

37、H=x 接着在RtEHG中利用勾股定理得到 x2+ （3x）2= （3国）2,解方程得x=3,接下来设。O 的半径为r,然后在RtOHB中利用勾股定理得到方程 （r - 9） 2+122=r：最后解关于r的方 程即可.【解答】（1）证明：连接OC如图,. BC平分/ OBDOBDh CBD-.OB=OC / OBCh OCBOCBh CBD .OC/ AD,而 CDL AB, OCL CD .CD是。的切线；(2)解：连接OE交AB于H,如图,.E为标的中点， OE1AB, / ABE土 AFE, .tan / ABE=tan/ AFE里，4 在 RtBEH中,tan/HBE理且BH 4设 E

38、H=3x, BH=4x,BE=5x,BG=BE=5x .GH=k在 RtAEHG, x2+ (3x) 2= (3.国)2,解得 x=3, .EH=9, BH=12,设。的半径为r,则OH=r- 9,在 RtAOHE, (r9) 2+122=r2,解得 r=生，即。的半径为E【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形.19. （2018?陕西？ 10分）如图，在 RtABC中

39、，/ ACB= 90° ,以斜边 AB上的中线 CD为直径作。O,分另1J与AC.BC相交于点M N.过点N作。的切线NE与AB相交于点 E,求证：NE! AB;（2）连接MD求证：MD= NB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得 AD= CD = DB,从而可得/ DCB= / DBC再由/ DCB= / ONC可推导得出 ON/ AB,再Z合 NE是。O 的切线，ON/AB,继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON/ AB,继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知/CMD= 90°

40、 ,继而可得 MD/ CB,再由D是AB的中点，根据得到 MD= NB.【详解】（1）如图，连接 ON.CD是RtABC斜边AB上的中线，.AD= CD= DB,DCB= / DBCX / OC=ONDCB= / ONCONC= / DBC .ON/ AB, NE是。O的切线，ON是。O的半径， ./ ONE= 90° ,，/NEB= 90° ,即 NEL AB;(2)如图所示，由(1)可知ON/ AB, . OC= OR1.CN= NB= CB, 2又.口是。的直径，/CMD=9°0, . /ACB=90 , /CMD廿 ACB=180 , MD/BC,又. D

41、是AB的中点，MD= ACB,MD= NB.【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018 湖北咸宁 10分）如图，以 ABC的边AC为直径的。恰为 ABC的外接圆, /ABC的平分线交。于点D,过点D作DE/ AC交BC的延长线于点 E.（1）求证：DE是。的切线；（2）若 AB=2q BC=$,求 DE的长.【答案】（1）证明见解析；（2） DE=DE是。的切线;【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出（2）首先过点C作CGL DE,垂足为G,则四边形ODG正方形，得出CG ABtan/C

42、EG=tanZ ACB 一一 ,即可求出答案.GE BC【详解】（1）如图，连接 OD.AC是。的直径， ./ABC=90 , BD平分/ ABG ，/ABD=45 ,/ AOD=90 ,. DE/ AC, / ODE之 AOD=90 , .DE是。的切线；(2)在 RtABC中，AB=2S|, BC=5, -AC=AB2 + Ac'=5,5.OD=,过点C作CGL DE,垂足为G, 则四边形ODGC；正方形，DG=CG=OD=2d DE/ AC, / CEG之 ACB.tan / CEG=tanZ ACB解直角三角形的应用等， 正确添加【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、 辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键21. （2018 辽宁大连 10分）如图，四边形 ABCg接于。