中考中的动点问题教学策略

1、中考中的动点问题教学策略 冷水江二中 刘智斌一、 中考题的压轴题为什么喜欢出动点问题 这几年的中考后两道的压轴题，基本上都有一题出现“几何动态”问题。所谓的几何动态指的是以运动的观点探究几何图形的变化规律问题。这种题目包揽了知识的全面性，它的特点决定审题思考的复杂性和解题时的多样性，突出了运用知识的灵活性，能够真实地考查学生的知识水平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的选拔能力；同时依托图形的变化，能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质，体现开放性，对初中出现的重要的数学思想方法如：分类，函数，方程，相似，勾股定理等在一题中就能考察到。二、 动点问题的类型 可以分成三类:动点、动线、动

2、形；详细一点地说动态问题的“动点”，是说点的运动。指的是在三角形、矩形、圆等一些几何图形上，设计一个或者几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变化关系、图形的特殊状态、图形的特殊关系等进行研究。动态问题的“动线”通常讲的是直线（线段），比较多的时候是考察直线和圆的位置关系。通过直线的移动跟圆形成的位置关系形成的特殊图形，观察所形成的等量或不等量关系来解决问题。动态问题中的“动形”主要指三角形、四边形、圆等图形，它的运动形式有平移、旋转、翻折（轴对称）等，它既可以是规则运动，也可以是不规则运动。经常是给定的图形（或其中一部分）实行某种位置关系，然后在新的图形中分析有关图形之间的关

3、系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考查学生动手能力、观察能力、探索与实践能力。不管是动态问题的哪一类问题，通常我们解这类问题的关键是“寓动于静”，即寻找运动中的不变量或图形的特殊位置，把动态问题转化为静态问题来研究，从而找到解题的突破口。三、动点问题教学策略 1、做好学生思想工作，树立克服困难的勇气与信心在教学过程，每次碰到动点的题目，有的学生就总是怕，甚至干脆就放弃。其实你可以跟学生说，不要把它想成是在动的，就当成是某个位置时的点。或者，你就想象成一个人在那条路上走啊，人停留在路边的某个点上，想成自己熟悉的东西，应该会比较好理解些。运动的时间、速度要转化成线段的长度问题，所以运动过

4、的线段的长度其实就是点“走”过的路程啊，这样就可以用时间来表示线段的长了，抓住了这一核心关键解决动点问题的思路就好办多了。2、复习主线，概括总领单点运动双点运动（线运动）面运动教学价值：复习主线对图形运动问题的发展方式进行了梳理，避免盲目性，而且主线的内容也能让学生初步认识此类问题的形成方式。3、经典例题，温故知新通过对经典例题的讲解，让学生摸清解决此类问题的基本方法与技能，达到举一反三，触类旁通的教学效果类型一：单点运动问题例1 已知：如图1，在中，AC=8cm，BC=9cm，AB=12cm.点Q是BC边上一点，且BQ3cm。点P从点Q开始，以2cm/s的速度沿着Q-C-A-B-Q的路线运动

5、到点Q停止，问在此运动过程中，点P、Q和ABC的某个顶点组成的三角形何时与ABC相似？APQBC图1 教学价值：单点运动是图形运动问题中最简单的类型这样由浅入深地设置问题串，符合学生的认识规律。在解决图形运动问题中，首先应该模拟运动路线，画出所有符合情况的图形，同时注意遵循点的运动轨迹，避免遗漏任何一种情形；由于运动产生的多样性，所以还要根据情况进行分类讨论；最后采用合适的方法解决问题，虽然例1比较简单，但囊括了图形运动问题的一般解题过程，并渗透了此类问题中最常见的分类思想，为后继解决较复杂的题目作出了良好的示范作用。AP1QBC图2P4P3P2教法建议：通过亲身体验的探究才能获得真正的经验。

6、因此教师要留出足够的时间让学生思考、探究。由于例1的分类较多，学生可能找不全所有情况，这时可以鼓励学生互相交流，并验证彼此结论的正确性，最后归纳出四种情形，如图2解题后，可以引导学生自我反思，并进行归纳：要求学生检查自己是否找全了所有的情况？如果是，归纳出方法；如果不是，则思考运用什么样的方式才能获得正确的分类情况？借此环节向学生展示解决图形运动问题的一般步骤，并说明分类讨论的重要作用类型2：双点运动问题（线动）ABCPQ图3例2（异方向运动的点）如图3，在ABC中，AB=12 cm，BC=9 cm，点P从点A开始沿AB边向B点开始以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1cm/s

7、的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过多少时间后，BPQ与BAC相似？ 教学价值：需要运用相似，相似是将几何问题转化为代数问题最常用的工具；同时，在求线段BP、BQ长度时，要用变量t表示，这正是运动问题中运用方程思想解决问题的数量基础。本例不仅能让学生实践在例1中所学到的解题知识，又在其基础上向学生进一步扩充：“方程思想”的运用和用相似搭建几何与代数的桥梁作用。 在运动问题中，“用变量表示线段长度”是学生的难点，这是由于函数知识的抽象性造成的，此时适宜用一个简单的载体说明问题。而本例中的双点运动问题是对例1的拓展，对学生来讲，不仅背景熟悉，而且较容易找到解题的切入点，达到良好的复习效

8、果。 教学建议：在解题过程中，应该讲清楚以下几个问题：（1）运用题目中所给出的时间t和两点P、Q的运动速度能求出什么量，哪些量，同时提醒学生注意点的运动方向（2）由于运动的不确定性，线段BP、BQ的长度是随着时间t的变化面变化的，因此这两条线段都是关于t的函数，所以列出BP=12-2t，BQ=t事实上就是关于t的函数表达式。这种“运用变量表示不确定量”是图形运动问题中常见的手段。（3）要救出其中的未知量t，我们需要找到相应的等量关系，建立方程。本题中，这个等量关系就是是由两个相似三角形得到的对应边成比例关系。这就是“相似”把几何问题转化成代数问题的表现。AEBFGDC例3（同方向运动的点）如图

9、4，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s，当点F追上点Q（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动，设移动后第t秒时, EFG的面积为S（cm2）(1) 当t=1秒时，S的值是多少？图4(2) 写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围。(3) 若点F要矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由教学价值：分类是数学中最常用的数学思想，设计本题是为了避免分类不完整，让学生在问题解决中，进一

10、步领悟分类的本质，总结解决分类问题的经验，形成有序分类的解题策略，当点的运动变化引起所求的图形形状的变化时，需要根据这个变化来分类讨论。第（2）问就是体现了这种运动变化，学生通过经历此题的解决过程，感受分类讨论的情形与点的运动路径之间的关系，掌握点的运动变化类型该如何分类讨论的一般方法。第（3）步让学生进一步运用当题目条件不明确时需分类讨论的方法。B教学建议：先让学生独立思考，当学生出现思维障碍时，根据点的运动情况。给学生直观展示点E在AB边上、点F在BC边上、点G在CD边上；点E在AB边上、点F在CD边上、点G在CD边上时相应三角形的形状变化，再分类画出相应的图形。对这一方法要点拨到位，让学

11、生画出不同情形的图形，同时要注意引导学生发现关键点或特殊点，从而求出自变量的取值范围。类型3：面的运动QP例4如图5，在ABC中，AC=8cm，高BD=8cm，点P是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），且PQAC，以PQ为边向点BMN有异侧做正方形PQMN，设PQ=xcm,正方形PQMN与ABC的重合部CDA分的面积为S，求出S与此同时x的函数关系式，并求S的最大ADCBMNQP（2）ADCBMNQP（3）ADCBMNQP图6（1）图5值。教学价值：本题除了具有梳理所学知识的责任外，也担负着介绍运动问题中其他考查方式的责任，增加了新的问题情境：在面的运动中，重合部分（面）的属性发生了变化，

12、导致计算方法不同，如图6（1），重合部分是正方形，面图6（3）重合部分是矩形教学建议：应鼓励学生思考：当发现图形的属性发生变化时，应采取怎样的处理措施？，分类讨论时，应该如何划分各个类别范围？无法判断什么位置是所求问题的最值时，可以采取什么方法求解？并帮助学生归纳；重合部分的不同属性要采用不同的计算方式进行求解，求解出的答案通常表现为分段函数；而分段函数范围的界定方法，应先找到两种属性的临界位置（如图6（2），计算出相关数据，才能正确划分两种属性各自的范围；当无法从图象直观看出所求问题的最值时，我们可以通过分析、计算等方法进行求解；运动问题看似充满了变化，但“变”中蕴涵着“不变”，如本例中尽管生命部分的面积在变化，但其边表示的方式不变。只要在变化中抓住其