博弈论基础作业及答案

1、博弈论基础作业 一、名词解释 纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡 贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识 见 PPT 二、问答题 1 .举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。 囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等； 以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因

2、此学生的负担越来越重。 请用同样的方法分析其他例子。 智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略 以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随,大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大 户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析 请用同样的方法分析其他例子。 2 .请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。 破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己

3、决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。 3 .当求职者向企业声明自己能力强时， 企业未必相信。 但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？ 由于口头声明几乎没有成本，因此即使是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样

4、的声明。这样口头声明就不能有效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书，从而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为个人能力的信号。 4 .五个海盗抢得 100 颗钻石，他们为分赃发生了争议，最后达成协议，由抓阉确定出分赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由 1 号海盗提出分赃方案，五人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况），就按 1 号提出的方案分赃，否则 1 号将被

5、扔到海里喂鲨鱼。接着由 2 号提出方案，四人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一 半的情况），就按 2 号提出的方案分赃，否则 2 号将被扔到海里喂鲨鱼，依此类推。如果你是 1 号海盗，你该提什么样的方案？说明理由。 假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪 明，如此等等。 （2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。 （3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。 第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为 97,0,1,0,2,或者 97,0,1,2,00 具体理由自己思考，方

6、法是倒推法。 三、计算题 1 .试计算表 1 中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。 表 1 一个战略式表述博弈 B UA M D 1.2 3,1 2,4 5,6 7,1 2,6 3.1 2,0 7,8 LMR 对 B 而言，战略 M 严格劣于 R;（因为 14,16,08）,因此剔除 B的战略 M 构成新的博弈如下 在新的博弈中, 对于 A而言，战略 U严格劣于 D（因为 13,27）,因此剔除 A 的战略 U,构成新的博弈如下: 对于新的博弈中，已经没有严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。 但是存在弱劣战略。对于 B 而言，战略 L弱劣于 R（

7、因为 6=6,18）,因此剔除 B的弱 劣战略 L,构成新的博弈如下: 2.61.2 2,4 5,6 2,6 3.1 7,8 L R D U A M 5,6 2,6 3,1 7,8 L R M A D 7,8 在新的博弈中，对于 A而言，战略 M严格劣于 D（因为 27）,因此剔除 A的战略 M 构成新的博弈如下: 7,8 因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为 (D,R) （ps:如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略 nash均衡有两个: （M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了） 2.试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。 给定 1 选择 U,

8、给定 1 选择 D, 给定 2 选择 L, 2 的最佳选择是 2 的最佳选择是 1 的最佳选择是 给定 2 选择 R, 1 的最佳选择是 2,2 3,3 4,4 1,2 L R U D R（因为 22）,在相应位置划线 D（理由自己写），在相应位置划线 U（理由自己写），在相应位置划线 联立，得到q1 q2?。自己求解 找两个数字下都划线的，显然有两个纯战略纳什均衡：(U，R)和(D,L) 据 Wilson的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。 设 1 选U的概率为，那么选 D的概率为 1 设 2 选 L的概率为，那么选 R 的概率为 1, 如果存在混合战略，那么 2 选战略 L和 R的期望收益

9、应该应该相等，因此应有UL24(1)UR32(1) ?自己求解(2 分) 同样，1 选战略 U和 D 的期望收益应该应该相等 得混合均衡：？ 3.市场里有两个企业 1 和 2。 每个企业的成本都为 0o市场的逆需求函数为 P=16-Q 其中 P 是市场价格，Q 为市场总产量。 (1)求古诺(Cournot)均衡产量和利润。 (2)求斯坦克尔伯格(Stackelberg)均衡产量和利润。 (1)设两个企业的产量分别为q1，q2,有Qq1q2,因此利润函数分别为： 利润最大化的一阶条件分别为： 因此企业 1 和企业 2 的反应函数分别为： （2）设企业 1 先行，企业 2 跟进。两个企业的产量分别

10、为 q-q2,因此利润函数分别为： 由逆向归纳法，在第二阶段，企业 2 在已知企业 1 的产量的情况下，最优化自己的产量，从而得到企业2 的反应函数： 因此企业 2 的反应函数为：q2一生 2 在第一阶段，企业 1 考虑到企业 2 的反应，从而自己的利润函数为： i（16qiq2）qi16q1q2q16q1q；q/6q1）（2分） 2 要使企业 1 的利润最大，应满足一阶条件：0 q1 得到q1？o 所以q2?。 （PS:古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动 态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡） 4.（1）试给出图 1 中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结

11、果。（2）倘若 2 告诉 1:2 的战略是（c,i,j）,问此时 1 的最优战略是什么？（3）在（2）中，1 和 2 的战略组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？（4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的， 原因是什么?22 cdej (2,1)1(6,3) fg (3,2) li (4,6)(0,2) (4,6)(0,2) 由逆向归纳法，子博弈精炼均衡为(b,g),(c,e,l),均衡结果为(4,6)(1,2) 答：(1) (2)若 2 的战略为(c,i,j),则 1 的最优战略为(b,f) (3)给定 2 的战略为(c,i,j),1的最优战略为(b,f)；反之，给定 1 的战略(b,f),

12、战 略(c,i,j)是 2 的一个最优战略。所以它们构成一个纳什均衡，均衡结果为(6,3)0 (4)因为 2 的战略(c,i,j)中含有不可置信的威胁 i,使 1 在f和 g之间不敢选 g。当 博弈进行到 2 在 l 与 i 之间进行选择的时候，2 必会选 l,给定如此,2 会选 e,这就是子博弈精炼均衡。 5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。 (2.4) P,则“2”选 l 的期望支付为: “2”选 r 的期望支付为 当 13P2P,即 P1时，“2”选 l,而给定“2”选 l,“1” 4 收益为 3,选 R 的收益为 1,因此“1”会选 L。而给定“1”选 L,“2”认为 P01(注 4 11 意：P 是 1 选 L的概率),与P-矛盾。故P-不会有均衡;44 当 13P2P,即P工时，“2”选 r,给定“2”选r,“1”选 L 收益为 0,选 L 的4 1 选 g而不是 f,此时 当“2”看见“1” 未选 R 时，设他认为“1”选 L的概率为 P, “1”选 L的概率为 1 选 L 收益为 2,