二次型与二次曲面PPT课件

1、2022-2-8南京邮电大学 邱中华1第一节第一节 二次型的基本概念二次型的基本概念定义一、二次型及其矩阵称为一个(n元)二次型.的的二二次次齐齐次次多多项项式式个个变变量量含含有有nxxxn,21),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。 第1页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华2),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 由由于于ijjix

2、xxx ，具具有有对对称称性性，若若令令ijjiaa ，ji ，则则 ijjijiijjiijxxaxxaxxa 2，ji ， 于是上述二次型可以写成如下求和形式 第2页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华3nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxxaxaxxa22322322221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa ,11 ninjjiijxxa),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 ),(21nxxxf 第3页/共91页2022-2-8南

3、京邮电大学 邱中华4 ninjjiijnxxaxxxf1121),(记,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX则上述二次型可以用矩阵形式表示为 ,),(21AXXxxxfTn A称为二次型 的矩阵。 ),(21nxxxf第4页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华5A的秩称为该二次型的秩。,),(21AXXxxxfTn A称为二次型 的矩阵。 ),(21nxxxfA是一个实对称矩阵。 事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。 第5页/

4、共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华6例1设二次型 3231212322213216422),(xxxxxxxxxxxxf 求二次型的矩阵A和二次型的秩。解, A211 1 223 3 1 132311212A 710410311,100410311 所以r(A) = 3，即二次型的秩等于3。第6页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华7例2求二次型 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 的矩阵A和二次型的秩，解其其中中321,aaa不不全全为为零零。 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 2321321),( aaaxxx,),(),(321321

5、321321 xxxaaaaaaxxx所以二次型 f 的矩阵为),(321321aaaaaaA ,232313322212312121 aaaaaaaaaaaaaaa.1)( Ar第7页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华8二、线性变换二、线性变换dcybxyax 222 cossinsincosyxyyxx选选择择适适当当的的 ，消消去去交交叉叉项项, ,可可使使上上面面的的方方程程化化为为 ,22dybxa 上述上述yx ,由由yx ,的线性表达式给出，通常称为的线性表达式给出，通常称为线性线性变换变换。一般有下面的定义。一般有下面的定义。 在平面解析几何中，为了确定二次方程 所

6、表示的曲线的性态，通常利用转轴公式： 第8页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华9定义关系式 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称称为为由由变变量量nxxx,21到到nyyy,21的的一一个个线线性性变变换换。 记,21 nxxxX,212222111211 nnnnnncccccccccC,21 nyyyY则上述线性变换可以写成矩阵形式：.CYX 第9页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华10,22112222121212121111 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx.CYX

7、 C 称为该线性变换的矩阵。 若若0| C，则则此此线线性性变变换换称称为为可可逆逆线线性性变变换换。 如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。 cossinsincosyxyyxx容易验证，转轴公式是一个正交变换。第10页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华11三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系将将可可逆逆线线性性变变换换CYX ， 代代入入二二次次型型AXXxxxfTn ),(21，得得 AXXT)()(CYACYT YACCYTT)( ,ACCBT 其中其中,BYYT 由由于于A是是实实对对称称阵阵，则则ACCBT 也也是是实实对对称称阵阵，于于是是BYYT是是一一个个

8、以以nyyy,21为为变变量量的的实实二二次次型型。 由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。 第11页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华12设设BA,是是两两个个n阶阶矩矩阵阵，如如果果存存在在n阶阶可可逆逆矩矩阵阵C，使使得得 ACCBT ，则则称称A与与B合合同同, ,记记为为 A B. . 定义 与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质。 (1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：对对任任何何方方阵阵A，总总有有 ； A A若若 ，则则有有 ； A BB A若若 , ,且且 , ,则则有有 . . A BB CA C证明只证(3)，其余留作

9、练习。,1T1ACCB ,2T2BCCC 21T1T2)( CACCCC , )()(21T21CCACC 由由于于21,CC均均可可逆逆，所所以以21CC也也可可逆逆. . 第12页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华13本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换CYX ，把二次型，把二次型AXXxxxfTn ),(21化为化为nyyy,21的平方和的平方和2222211nnydydyd ，称，称之为二次型的标准形。之为二次型的标准形。从前面分析可以看出从前面分析可以看出, ,要把一个要把一个二次型化为标准形二次型化为标准形, ,只要找一个

10、可逆阵只要找一个可逆阵C, ,使使ACCT成为对角阵，即成为对角阵，即A与一个对角阵合同。与一个对角阵合同。 第二节 二次型的标准形第13页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华14如果二次型如果二次型 AXXxxxfTn ),(21 通过可逆线性通过可逆线性变换变换CYX ，化为二次型，化为二次型 2222211nnTydydydBYY ， 则称之为原二次型的则称之为原二次型的标准形标准形。 一、二次型的标准形一、二次型的标准形定义实实际际上上，二二次次型型AXXxxxfTn ),(21化化为为标标准准形形的的问问题题，等等价价于于该该二二次次型型的的矩矩阵阵A合合同同于于一一个个对

11、对角角矩矩阵阵的的问问题题。 下面介绍二次型化为标准形的方法。第14页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华151、用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形由由上上节节定定理理可可知知，对对实实对对称称阵阵A，总总可可找找到到正正交交阵阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵， 定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。TPP 1，故故APPAPPT 1。 而由正交阵性质可知， 阵阵P正好用来作为替换正好用来作为替换CYX 中的矩阵中的矩阵C。 当当C是是正正交交阵阵时时， 我我们们称称CYX 是是一一个个正正交交替替换换。 因此这样的正交 第15页/共91页2022-

12、2-8南京邮电大学 邱中华16;, . 1AAXXfT写写出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;, . 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出;, . 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特;),(, , . 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换fCYX, . 5 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：2211nnyyf 第16页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华17例1 用正交变换将二次型 解化为标准形，并求所作的正交变

13、换。323121232221844141417 xxxxxxxxxf 二次型的矩阵 144241422217A, )9()18(2 144241422217| AE23rr 第17页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华18144241422217| AE, )9()18(2 ,91 5424522289AE,2211 ,000110452 ,183,2 44244222118AE,000000221 ,0122 ,1023 第18页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华19,2211 ,0122 ,1023 012 1023 45,54251 4550324545132452

14、5231Q再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，第19页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华20于是所求正交变换为,QYX yyf 标准形为 45503245451324525231Q,91 ,183,2 第20页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华21解化为标准形，并求所作的正交变换。434232413121222222 xxxxxxxxxxxxf 二次型的矩阵 0111101111011110A 111111111111| AE 1111111111111)1( 例2 用正交变换将二次型 第21页/共91页2022-2-8南京邮电大

15、学 邱中华22 1111111111111) 1( 1221)1(2 .)1)(3(3 ,31 1000212022101111)1( 31111311113111133AE 111111111111| AE第22页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华23 31111311113111133AE,0000110001101131 ,11111 ,12 1111111111111111AE,0000000000001111 ,1001,0101,0011432 111111111111| AE第23页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华24正交化，,1001,0101,001

16、1432 00112101013 ,021121 ,02113 第24页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华25,02113 02116100112110014 ,622261 ,31114 ,1001,0101,0011432 第25页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华26,11111 ,00112 ,02113 ,31114 123002112162021121612121121612121Q再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为,QYX .324232221yyyyf 标准形为第26页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华27已已知知二二次

17、次曲曲面面方方程程4222222 yzxzbxyzayx可可以以经经过过正正交交变变换换 Pzyx. . 化化为为椭椭圆圆柱柱面面方方程程4422 , ,求求ba,的的值值. . 例3解二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410, , 原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb, , 第27页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华28由由)(tr)(trBA , ,得得52 a, , 二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410, , 原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb, , 由题意,这两个矩阵相似, 由由|BA , ,得得,0)1(2 b.1 b ;

18、3 a第28页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华29第三节第三节 惯性定理与二次型的规范形惯性定理与二次型的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。 但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩,2222211rrykykykf )0( ik 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。第29页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华30定理(惯性定理)对任意二次型对任意二次型AXXxxxfTn ),(21

19、, , 2211ppydydf ,2211rrppydyd p为正惯性指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.rpqp 2为负惯性指数,prq 设设二二次次型型AXXxxxfTn ),(21通通过过可可逆逆线线性性变变换换CYX 化化为为下下列列标标准准形形 无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定. 证略第30页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华31,22112211rrppppydydydydf ,CYX 继续作可逆线性变换， nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111矩阵形式为,1ZCY ,1011

20、0111 rddC第31页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华32二次型化为,221221rppzzzzf 称之为二次型的规范形.定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.化二次型为规范形时，所作的线性变换不一定是正交变换。第32页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华33定理 任一实对称矩阵 A 与对角阵合合同同，其其中中1 和和1 的的个个数数合合计计为为)(Ar个个，1 的的个个数数由由 A 唯唯一一确确定定，称称为为 A 的的正正惯惯性性指指数数。 001111第33页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华34推论 两个 n 阶实对称

21、矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。第四节 正定二次型与正定矩阵第34页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华35一一、基本概念、基本概念相相应应实实二二次次型型AXXXfT )(, , 定义（1 1）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是正正定定二二次次型型，A称称为为正正定定矩矩阵阵； （2 2）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是负负定定二二次次型型，A称称为为负负定定矩矩阵阵； （4 4）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是半半负负定定二二次次型型，A称称为为半半负负定定矩矩阵阵。 如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型。 设

22、A 为实对称矩阵，对任意非零向量X ，（3 3）若若恒恒有有0)( Xf，则则称称)(Xf是是半半正正定定二二次次型型，A称称为为半半正正定定矩矩阵阵； 第35页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华36二、正定矩阵、正定二次型的判别二、正定矩阵、正定二次型的判别由定义，可得以下结论： （1 1）二二次次型型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是0 id。 充分性是显然的；下面用反证法证必要性： 假设某个假设某个0 kd， 取取1 ky，其其余余)( 0kjyj ， 代入二次型，得 0)0 , 1 , 0( kdf， 与与二二次次型

23、型),(21nyyyf正正定定矛矛盾盾。 第36页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华37(2) (2) 二次型二次型AXXT若正定，经过可逆线性若正定，经过可逆线性变换变换CYX ，化为化为YACCYTT)(，其正定性保持不变。，其正定性保持不变。 这这是是因因为为C是是可可逆逆矩矩阵阵，只只要要 Y，就就有有 X， 于于是是0 AXXT， 即即0)( YACCYTT。 由由变换变换的可逆性，若的可逆性，若YACCYTT)(正定，也可推出正定，也可推出AXXT正定。正定。 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。

24、 （1 1）二二次次型型222221121),(nnnydydydyyyf 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是0 id。 第37页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华38n元元实实二二次次型型AXXfT 正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的正正惯惯性性指指数数等等于于n。 定理准则1实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。第38页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华39解例1 判别二次型是否正定。32212322213212232),(xxxxxxxxxxf 二次型对应的矩阵为 ,310121011 A310121011| AE第39页/共91页

25、2022-2-8南京邮电大学 邱中华40全为正， 因此二次型正定。 求求得得 A 的的特特征征值值为为 32, 2 ， 310121011| AE312122012321 ccc)14)(2(2 第40页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华41n阶阶实实对对称称矩矩阵阵A正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是A的的顺顺序序主主子子式式全全大大于于零零。 （证证略略） 准则2其其中中nnijaA)( 的的k阶阶顺顺序序主主子子式式是是指指行行列列式式 ,|212222111211kkkkkkkaaaaaaaaaA nk, 2 , 1 第41页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱

26、中华42解例2 判别二次型是否正定。323121232221244555xxxxxxxxxf 二次型对应的矩阵为 ,512152225 A它的顺序主子式为： ,05|1 A,0215225|2 A,088512152225|3 A因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。 第42页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华43解例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ 3231212322214225xxxxxxtxxxf f 的矩阵为 ,5212111 ttA顺序主子式为： ,01|1 A,0111|22 tttA,045|23 ttAA解得.054 t第43页/共91

27、页2022-2-8南京邮电大学 邱中华44三、正定矩阵的性质三、正定矩阵的性质1、若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆。 0|21 nA kAAAA,1T 都是正定阵，2、若 A 为正定矩阵,则其中 k 为正整数。矩矩阵阵A与与它它的的转转置置TA有有相相同同的的特特征征值值； 这是因为：;)(1)(1AA ;)(|)(AAA .)()(kkAA 第44页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华453、若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正。 证因为因为 ninjjiijxxaAXXXf11T)(正定，正定， 取取TiX)0 , 1 , 0( ，则则有有 )., 1

28、, 0( , 0)(niaXfiii 。 4、若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵。 证对任意非零向量X ，XBAX)(T BXXAXXTT .0 第45页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华465、 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得 .TPPA 实际上，正定二次型的规范形为,22221nzzz 即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，即存在可逆矩阵P ，使.TTPPEPPA 第46页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华47TT)(AA6 6、设设 A 为为nm 矩矩阵阵，且且 A 的的秩秩nAr )(，则则AAT为为正正定定

29、矩矩阵阵。 证因为,TAA 故故AAT是是 n 阶阶对对称称矩矩阵阵。 又又nAr )(，可知齐次线性方程组，可知齐次线性方程组 AX仅有零解，仅有零解， 所以对任意所以对任意 X，必有，必有 AX， 于是XAAX)(TT)()(TAXAX ,0 即即二二次次型型XAAX)(TT为为正正定定二二次次型型， 即即矩矩阵阵AAT为为正正定定矩矩阵阵。 第47页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华48类似结论有：设设 A 为为 n 阶阶可可逆逆矩矩阵阵, ,则则TT, AAAA为为正正定定矩矩阵阵。 设设 A为为 n 阶阶正正定定矩矩阵阵, ,P 为为mn 矩矩阵阵, ,且且nmPr )(

30、，则则APPT为为正正定定矩矩阵阵。 6 6、设设 A 为为nm 矩矩阵阵，且且 A 的的秩秩nAr )(，则则AAT为为正正定定矩矩阵阵。 第48页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华49 显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论： （2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负； （5）若A负定，则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。2.A的顺序主子

31、式全非负， A也未必是半正定的。 第49页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华50例4 设矩阵 显然A的顺序主子式,100011011 A,01|1 A,01111|2 A,0100011011|3 A但对角元有正有负，显然A是不定的。第50页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华51例5判定下列二次型是否为有定二次型。 解312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf (1) f 的矩阵为 ,401061112 A顺序主子式 ,02 ,0116112 ,038| A所以 f 是负定的。 第51页/共91页2022

32、-2-8南京邮电大学 邱中华52例5判定下列二次型是否为有定二次型。 312123222122462 )1(xxxxxxxf 32212322214432 )2(xxxxxxxf (2) f 的矩阵为 ,320222021 A顺序主子式 ,01 所以 f 是不定的。 ,022221 解第52页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华53.00, 是否为正定矩阵是否为正定矩阵矩阵矩阵试判定分块试判定分块阶正定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 BACnmBA备用例题备用例题1、于是于是不同时为零向量不同时为零向量则则若若维列向量维列向量维和维和是是分别分别其中其中维向量维向量为为设设因为因

33、为, 0,),(, TTTyxznmyxnmyxz yxBAyxCzz00),(TTT,0 TT ByyAxx解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。第53页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华54证2. 2. 设设 A 是是 m 阶实对称阵且正定阶实对称阵且正定, ,B为为nm 实矩阵，实矩阵，试证试证: :ABBT为正定阵的充分必要条件是为正定阵的充分必要条件是nBr )(。 必要性： 设设ABBT为为正正定定阵阵, , 则则对对任任意意实实 n 维维向向量量ox , , 有有 0TT xBABx, , 即即 0)()(T BxABx, , 可可见见 0 Bx, , 这这就

34、就是是说说, ,齐齐次次线线性性方方程程组组0 Bx只只有有零零解解, , 因此因此 B 列满秩列满秩, ,即即nBr )(； 充分性: 因因为为 BABABBTTTT)(ABBT, , 可可见见ABBT为为实实对对称称阵阵. . 将上述过程逆推,即可得证. 第54页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华55四、二次曲面第五节第五节一、曲面方程的概念二、旋转曲面 三、柱面曲面及其方程 第55页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华56一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化

35、简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解:设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 第56页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华57定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面

36、作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 第57页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华58故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx第58页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华59例例2. 研究方

37、程研究方程042222yxzyx解: 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.5)2() 1(222zyx第59页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华60定义2. 一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :第60页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华61建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转

38、所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC第61页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华62思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如何？何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf第62页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华63例例3. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴,

39、半顶半顶角为角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM第63页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华64xy例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z第64页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华65xyz三、柱面三、柱面引例. 分

40、析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解:在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,第65页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华66xyzxyzol定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.xy2212222byax

41、z 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.xyzoo第66页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华67xzy2l一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l第67页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华68四、二次曲四、二次曲面面三元二次方程 适当选取直角坐标系可

42、得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )第68页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华69zyx1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax第69页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华701222222czbyax与)(11czzz

43、的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z第70页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华712. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx第71页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华723. 双曲面双曲面(1)单叶双曲面by 1) 1上的截痕为

44、平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 第72页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华73虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0第73页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华74(2) 双叶双曲双叶双曲面面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平

45、面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面第74页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华754. 椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到。 )xyz第75页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华76r例例8.直线直线1101:zyxL绕

46、z 轴旋转一周, 求此旋转转曲面的方程. 提示: 在 L 上任取一点), 1 (000zyM轴绕为设zMzyxM0),(旋转轨迹上任一点,Lxozy0MM则有00zy z22yx 201y得旋转曲面方程1222zyxr，代入第二方程将zy 0第76页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华77化为标准型，并指出 表示何种二次1),(321 xxxf曲面.323121232221321662355),(xxxxxxxxxxxxf 例9. 求一正交变换，将二次型解,333351315 A, )9)(4(| AE,9, 4, 0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 3

47、21 对应特征向量为第77页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华78.111,011,211 321 再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵,31062312161312161 P,PYX 232294yyf 二次型的标准形.1),(321表表示示椭椭圆圆柱柱面面可可知知 xxxf第78页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华79一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影第六节第六节空间曲线及其方程 第79页/共91页2022-2-8南京邮电大学 邱中华80一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2第80页/共91页2022-2-8南京邮电