2013年北京市中考数学试题(含答案)

1、2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校 姓名 准考证号 1本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 招2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。生3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。须4在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。 知5考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。6转载请注明学而思培优首发。一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北京

2、市提出 了共计约 3 960 亿元的投资计划，将 3 960 用科学记数法表示应为A 39.6 ´1022 - 3 的倒数是4A 43B 3.96 ´103B 34C 3.96 ´104C - 34D 0.396 ´104D - 433在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为A 15B 25C 35D 454如图，直线 a ， b 被直线 c 所截， a b ， Ð1 = Ð2 ，若 Ð3 = 40° ， 则 Ð

3、4 等于A 40° B 50°C 70° D80°5如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A ，在近 岸取点 B ，C ， D ，使得 AB BC ，CD BC ，点 E 在 BC 上， 并 且 点 A ， E ， D 在 同 一条 直线 上， 若测 得 BE = 20 m ， BE = 10 m ， CD = 20 m ，则河的宽度 AB 等于A 60 m B 40 mC 30 m D 20 m6下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是c3a2 14bABEC DABCD7某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时

4、间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A 6.2 小时B 6.4 小时PC 6.5 小时D7 小时8如图，点 P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点， AB = 2 ，设弦 AP 的长为 x ，APO的面积为 y ，则下列图象中，能表示 yA O B与 x 的函数关系的图象大致是yy112212xAy1212 xBy1212 xC12 xD二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9分解因式： ab2 - 4ab + 4a = .10请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式， y =

5、.AMD11如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， M 是 AD 的中点，若 AB = 5 ， AD = 12 ，则四边形 ABOM 的周长为 .O12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l ： y = -x - 1 ，双曲BC线 y = 1 ，在 l 上取一点 A ，过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点x11yB1 ，过 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2 ，请继续操作并探究：过 A2作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2 ，过 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点A3 ，这样依次得到 l 上的点 A1 ， A2 ， A ， An ，.记点 An 的横坐标为 an

6、， 若 a1 = 2 ， 则 a2 = ，a2013 = ；若要将上述操作无限次地进行下云，则 a1 不1B1A2O1xA1 l能取的值是 .三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）C13已知：如图，D 是 AC 上一点，AB = DA ，DE AB ，ÐB = ÐDAE .ED求证： BC = AE .14计算： (1 -3)0 + | -2 | -2 cos 45° + ( 1 )-1 .4 AB 3x > x - 2 ，15解不等式组：16已知 x2 - 4x -1 = 0 ，求代数式 (2x - 3)2 - (x + y)(x - y) - y

7、2 的值.17列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工 人，结果比计划提前 3 小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿 化面积.18已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x + 2k - 4 = 0 有两个不相等的实数根.（1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值.四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19如图，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E ，使 CE = 1 BC ，连接 DE ， CF .2AFD（1）求证：四边形

8、CEDF 是平行四边形；（2）若 AB = 4 ， AD = 6 ， ÐB = 60° ，求 DE 的长.20如图 AB 是 O 的直径， PA ， PC 与 O 分别相切于点 A ，C ，PC 交 AB 的延长线于点 D ，DE PO 交 PO 的延长线 于点 E .（1）求证： ÐEPD = ÐEDO ；（2）若 PC = 6 ， tan ÐPDA = 3 ，求 OE 的长.421第九界中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18BCEPCBAODE日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。第六届至

9、第九届园博会 园区陆地面积和水面面积统计图第九届园博会 植物花园区各花园面积分布统计图43.532.521.510.50第六届 第七届 第八届 第九届 届次3.732.511.70.5陆地紫薇园 面积樱花园 水面面积月季园牡丹园丁香园（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡丹园面积为 平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八 届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车 位数量与日均接待游客量和单日

10、最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。根据小娜的发现，请估计，将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停 车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量（万人次）单日最多接待游量（万人次）停车位数量（个）第七届0.86约3000第八届2.38.2约4000第九届8（预计）20（预计）约10500第十届1.9（预计）7.4（预计）约22阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a (a > 2) 的正方形 ABCD 各边上分别截 取 AE = BF = CG = DH = 1 ，当 ÐAFQ = 

11、08;BGM = ÐGHN = ÐDEP = 45° 时，求正方形MNPQ 的面积。RAFEDQMP NBGEW AQDHHSMP FNCBGCT图1图2小明发现，分别延长 QE ， MF ， NG ， PH 交 FA ， GB ， HC ， ED 的延长线于点 R ， S ，T ，W ，可得RQF ， SMG ， TNH ，WPE 是四个全等的等腰直角 三角形（如图 2）。请回答：A（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ；D（2）求正方形 MNPQ 的面积。R参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边

12、ABC 各边上分别截取 AD = BE = CF ，QF再分别过点 D ， E ， F 作 BC ， AC ， AB 的垂线，得到等边BECRPQ ，若 SEPQ =则 AD r 的长为 。 图3五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = mx2 - 2mx - 2(m 0) 与 y 轴交于点 A ，其对称轴 与 x 轴交于点 B 。（1）求点 A ， B 的坐标；（2）设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（3）若该抛物线在 -2 < x <

13、-1这一段位于直线 l 的上方，并且在 2 < x < 3 这一段位于直 线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。y654321-4 -3 -2 -1 O-1-2-3-4-5-61 2 3 4 x24在ABC 中， AB = AC ，ÐBAC = a（ 0°a60° ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD 。（1）如图 1，直接写出 ÐABD 的大小（用含 a 的式子表示）；（2）如图 2， ÐBCE = 150° ， ÐABE = 60° ，判断ABE 的形状并加以证明；

14、（3）在（2）的条件下，连接 DE ，若 ÐDEC = 45° ，求 a 的值。AADDEBCBC图1图225对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和C ，给出如下定义：若 C 上存在两个点 A, B ， 使得 ÐAPB = 60° ，则称 P 为 C 的关联点。ç 2 2 ÷已知点 D æ 1 , 1 ö ， E (0, -2) ， F (2 3, 0) 。èø（1）当O 的半径为 1 时，在点 D, E, F 中，O 的关联点是；过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G ，使 

15、08;GFO = 30° ，若直线 l 上的点 P (m, n)是O 的关联点，求 m 的取值范围;（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围。y654321-4 -3 -2 -1 O-1-2-3-4-5-61 2 3 4 x一、选择题2013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案飘蓝工作室出品（Peuland） 精英部落QQ群：172077288 部落长期招募一线教师共享资源1B2D3C4C5B6A7B8A二、填空题9 a(b - 2)210 x2 + 1112012 - 3 ， - 1 ，0，-123三、解答题13证明： DE AB

16、ÐCAB = ÐADE在 ABC 与DAE 中ìÐCAB = ÐADEíï AB = DAîïÐB = ÐDAE ADE BAC （ASA） BC = AE14解：原式 = 1 +=52 - 2 ´2 + 4215解：由 3x > x - 2 ，得x > -1由 x + 1 > 2x ，得3x < 15 -1 < x < 1516代数式化简得：4x2 -12x + 9 - x2 + y2 - y2= 3x2 -12x + 9= 3(x2 -

17、 4x + 3) x2 - 4x = 1代入得原式 = 1217设每人每小时的绿化面积为 x 平方米.则有： 180 - 180 = 36x解得 x = 2.5(6 + 2)x经检验： x = 2.5 是原方程的解 答：每人每小时的绿化面积为 2.5 平方米18（1）= 4 - 4(2k - 4) = 20 - 8k方程有两个不等的实根 > 0即 20 - 8k > 0 k < 52（2） k 为整数 0 < k < 5 即 k = 1 或 2，2x1、2 = -1 ±5 - 2k方程的根为整数， 5 - 2k 为完全平方数 当 k = 1时， 5 -

18、2k = 3k = 2 时， 5 - 2k = 1 k = 219（1）在 ABCD 中， ADBC F 是 AD 中点. DF = 1 AD ，又 CE = 1 BC .2 2 DF = CE 且 DF CE四边形 CEDF 为平行四边形（2）过 D 作 DH BE 于 H在 ABCD 中 ÐB = 60° ÐDCE = 60° AB = 4 CD = 4 CH = 2 ， DH = 2 3在 CEDF 中， CE = DF = 1 AD = 32 EH = 1在 RtDHE 中DE =(2 3)2 + 12 = 1320（1） PA 、 PC 与 O

19、 分别相切于点 A 、 C ÐAPO = ÐEPD 且 PA AO 即 ÐPAO = 90° ÐAOP = ÐEOD ， ÐPAO = ÐE = 90° ÐAPO = ÐEDO即 ÐEPD = ÐEDO（2）连结 OC PA = PC = 6 tan ÐPDA = 34在 RtPAD 中 AD = 8 ， PD = 10 CD = 4 tan ÐPDA = 34在 RtOCD 中， OC = OA = 3 ， OD = 5 ÐEPD =

20、 ÐEDO OED DEP PD = DE = 10 = 2OD OE 5 1在 RtOED 中 OE2 + DE2 = 52 OE = 521（1） 0.03（2）陆地面积 3.6 水面面积1.5 图略（3）370022（1） a（2）四个等腰直角三角形面积和为 a2正方形 ABCD 的面积为 a2 S正方形MNPQ = SARE + SDWH + SGCT + SSBF= 4SARE= 4 ´ 1 ´122= 2（3） 2323解：（1）当 x = 0 时， y = -2 . A(0 ，- 2)抛物线对称轴为 x = - -2m = 12m B(1，0)（2）

21、易得 A 点关于对称轴的对称点为 A(2 ，- 2)则直线 l 经过 A 、 B .没直线的解析式为 y = kx + b则ì2k + b = -2íîk + b = 0，解得 ìk = -2íîb = 2直线的解析式为 y = -2x + 2（3）抛物线对称轴为 x = 1抛物体在 2 < x < 3 这一段与在 -1 < x < 0 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在 -2 < x < -1这一段位于直线 l 的上方在 -1 < x < 0 这一段位于直线 l 的下方抛

22、物线与直线 l 的交点横坐标为 -1 ；当 x = -1 时， y = -2x(-1) + 2 = +4则抛物线过点（-1，4）当 x = -1 时， m + 2m - 2 = 4 ， m = 2抛物线解析为 y = 2x2 - 4x - 2 .24解：（1） 30°- 1 a2（2）ABE 为等边三角形 证明连接 AD 、 CD 、 ED线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到线段 BD则 BC = BD ， ÐDBC = 60°又 ÐABE = 60° ÐABD = 60° - ÐDBE = &

23、#208;EBC = 30° - 1 a2且 BCD 为等边三角形.在 ABD 与ACO 中ì AB = ACíï AD = ADîïBD = CD ABD ACD （SSS） ÐBAD = ÐCAD = 1 ÐBAC = 1 a2 2 ÐBCE = 150° ÐBEC = 180° - (30° - 1 a ) - 150° = 1 a2 2在 ABD 与EBC 中AìÐBEC = ÐBADíï

24、ÐEBC = ÐABDîïBC = BDD ABD EBC （AAS）E AB = BEBC ABE 为等边三角形（3） ÐBCD = 60° ， ÐBCE = 150° ÐDCE = 150° - 60° = 90°又 ÐDEC = 45° DCE 为等腰直角三角形 DC = CE = BC ÐBCE = 150° ÐEBC = (180° - 150°) = 15°2而 ÐEBC = 30° - 1 a = 15°2a = 30°25. 解：