第一节排列组合与二项式展开

1、第一节排列组合与二项式定理一、考试要求：1、应用排列和组合数的计算公式计算；2、已知二项式，会求展开式中的任意一项；3、掌握二项式的性质，能用性质解决简单的问题.二、基础知识1、排列：2、组合：3、 n个元素的全排列数： ；4、 n个元素中选k个元素的排列数： ；5、 n个元素可重复选 k次的排列数： ；6、 n个元素中选k个元素的组合数： ；7、 组合的对偶法则组合的增一法则&二项式的展开式：9、二项式展开式的通项： 三、基础练习1、 A9 = ；C9 =；2、 0! = ； Cn = ； Cn =；3、 C94 + C3 =;4、已知Cm CmC5C67，则 C；二cm5、解不等式A 6A

2、9.6、（a- b）2n的展开式共有项.7、（2a-丄）11展开式中含a5项的系数是a8、c；+ c； + c3+ + c9 =9、 （2x2+3）9中的常数项是 .x10、 （a- 2b）10展开式中第三项的系数是 .11、 （d-丄）8的展开式中有理项共有 项.x12、化简（x- 1）4 + 4（x- 1）3+ 6（x- 1）2 + 4（x- 1）+ 1 = 四、典型例题 例题1已知A+A = 4A3，求n的值.思路导引：利用排列的公式计算，先约分后计算，再解方程，但是要注意n的取值范围.解：化简得：（n- 3）2= 4.解得n = 5评注：注意n的范围.类题演练1已知c1o= C3；-2

3、，求n.变式提升1： cX+； + cX+；二丄心3，求x.10例题 2：计算(1) cf + c3 + c4 + + c爲 + g2oo ；(2) C50+ C5l + C52 + C53 + + C；9 思路导引：利用组合的两个性质解: ( 1 )原式=C3 + C32 + c4 + + C；99 + cloooC1000(2)原式=C501 + c；1 + C52 + C53 + + c：9=C60类题演练 2:c3+ C43 + c3+ + G3oo ；变式提升 2: GO + c； + c22 + + G9 ；例题3：求(3x- 2 )6展开式中不出现x的项.Jx思路导引：不出现x的

4、项就是指x的指数为0,只要写出通项公式, 然后令x的指数等于0即可.解：设第k+1项不出现x，根据题意得Tr+1 = c；(3x) & k(-6- 3kT5 = 2160=(-1)k 鬃6- k 2k?Ckx 2 6- 3k = 0 即 k=42评注：不出现x项、不含x项、常数项都是同一含义.类题演练3：求(2x3- 1 )12的展开式中的第四项、中间项和常数项.x变式提升3:求(x2+3x+2)5的展开式中含x的项.例题4：在(匸+的展开式中，奇数项的系数和为128,求展开式中的系数最大项思路导引：先求n再求系数最大的项解：由 C0+ C2+ Cn + .= 2n-1 得2n-1 = 128

5、, n= 8所以（G+展开式的系数最大项是第五项T5= C；(7X)4(二)4 = 70x, x评注：二项式的系数和公式类题演练4:已知（2x- -）n的展开式的二项式系数之和为 32,求此展开式中的x常数项.变式提升4:已知（，X +124 x）n的展开式的前三项的系数成等差数列，求其展开式中的有理项.例题5:设(+ x =a +axi+ax 2 + .+3x 9 (x? R)，且ao+ai+.+ ag = - 1 (1)求k ; (2) 求 q + a2+.+ a 的值.思路导引：x取特殊值1, 0, -1解：(1)令x= 1得9(1 + k) = a0 + a1 + a2 + .+ ag

6、,a0 + 3| + a2 + .+ ag = - 1(1+ k)9 = - 1, k= - 2(2)由(1) 得 (1- 2x)9 = a0 + qx+ a2x2 + .+ a9x9令x = 0得 a0 = 1a0 + a1 + a2 + .+ a9 = - 2类题演练5: 已知(1- 3x)9 =a+ x+ a?x2+ .+ ayx9，求 a + Q + .+ a?变式提升5:(1- 2x)n的展开式中第二项与第七项的二项式系数相等，求展开式各项的系数之和五、课后练习1、1+ 4(x- 1)+ 6(x- 1)2 + 4(x- 1)3 + (x- 1)4 等于()A. (x- 1)4B. x

7、4C. (x+1)4D. (x- 2)42、 在(2 - x)10的展开式中，-C；鬃7 x3是()A.第3项 B.第4项 C.第7项 D .第8 项3、在(a+b)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项是()A .第n项B .第n项和第n+ 1项C.第n+2项D.第n+ 1项和第n+2项4、若(x-；)n的展开式中第三项系数等于6,则n等于()A . 16B. 12C. 8D . 45、 (10+xlgx)的展开式中第4项为106，则x的值为()A . 10B.丄10C . 10或丄D .以上答案均不对10咼 三6、(y- 1)n的展开式中，奇数项系数和为32,则含1项的系数yy是()A .

8、 2B. 20C. 15D. 157、 (1- x)11的展开式中含x奇次幕的项的系数和是 。8、(1+x)+ (1+x)2+(1+x)3+川+(1+X)20的展开式中含x2项的系数是O9、 (a3-右)8展开式中的所有项的系数和等于 。10、 化简 1- 3Cn+9Cn- 27C:+ 川+ (- Dn3nC：=。11、 在(1- x3)(1 + x)10的展开式中，x5的系数是。12、 若Q + xn展开式中有连续三项的二项式系数之比为2: 4: 5,则展开式中系数最大是第 。13、 若 (-x6 o = a)1 + a II2 x+a, + 6则 + aa0 +樹 + . . =一+ a6；14、设 a=2+i