“函数的表示法”教学设计Word版

1、“函数的表示法”教学设计五、教学过程设计 1用三种表示法表示同一个函数 我们在初中就已经知道函数的三中表示法：解析法，图象法，列表法问题1  某种笔记本的单价是5元，买x（x1，2，3，4，5）本笔记本需要y元试用函数的三种表示法表示函数yf（x）（教科书第19页例3） 设计意图：通过具体例子，让学生用三种不同的表示方法来表示的同一个函数，进一步理解函数概念 这个函数的图象由一些离散的点组成，与以前学习过的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线不同通过本例，进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体函数y5x不同于函数y5x

2、 （x1，2，3，4，5），前者的图象是（连续的）直线，而后者是5个离散的点 由此认识到：“函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等”（教科书例3的边空） 让学生体会到三种表示方法各自的优点为“问题2”（教科书第20页）提供一个具体的事例 解：这个函数的定义域是1，2，3，4，5 （1）用解析法表示为       y5x， x1，2，3，4，5 （2）用列表法表示为  （3）用图象法表示，函数yf（x）的图象如图2所示  图

3、2 问题2 （教科书第20的“思考”） （1）比较函数的三种表示法，各自的有哪些优、缺点？ （2）所有的函数都能用解析法表示吗？举出一个函数，并分别用三种表示法表示 设计意图：通过比较，明确各种表示法的优点；通过举例，让学生通过自己的例子说明怎样用适当的表示法来表示某些函数 不是所有的函数都能用解析法表示，如心电图 讨论中，还可以问学生“函数图象可以是折线吗”让学生举例说明（如y|x|） 1 / 14问题3 图3能表示某个函数的图象吗？为什么？图3 设计意图：这是例3边空的内容“那么判断一个图形是不是函数图象的依据

4、是什么？”通过讨论，进一步理解函数概念中“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应” 组织学生讨论后，归纳出判断方法“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点” 2选择适当方法表示函数，以便分析其特点 问题4  （教科书第20页例4）下表是高一（3）班三位同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表  请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析 设计意图：这里有三个用表格法给出的函数要“对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析”不太方便，因此需要改变函数表示的方法，选择

5、图象法比较恰当 教学中，先不必直接把图象法告诉学生，可以让学生说说自己是如何分析的，选择了什么样的方法来表示这三个函数通过比较各种不同的分析方法，达成共识：用图象法比较好培养学生根据实际需要选择恰当的函数表示法的能力 能够从图象中读出哪些信息也不要直接告诉学生，让学生经过观察、思考获得结论比如总体水平（王伟成绩好）、变化趋势（赵磊的成绩在逐步提高）、与班级平均分的比较，等等培养学生的观察能力、获取有用信息的能力   图4 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况（学习情况）如果将“成绩”与“测试序号”之

6、间的关系用函数图象表示出来，如图4，那么就能比较直观地看到成绩变化情况这对我们进行分析学习情况是有利的 从图4中可以看到，王伟同学的学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况稳定，而且成绩优秀张城同学的学习成绩不够稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度也比较大赵磊同学的学习成绩低于班级平均水平，但是他的成绩呈上升趋势，表明他的成绩在稳步提高 必须提醒学生，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接散点，主要是为了区分这三个函数，直观感受三个函数的图象具有整体性，也便于分析学习情况，加以比较 3分段函数及其表示 问题5  某市出租车资

7、费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加2.4元（不足1公里按1公里计算） 某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象 设计意图：让学生尝试选择适当表达方式来表示实际问题；学习分段函数及其表示 解：设资费为y元，里程为x公里由题意，自变量x的取值范围是（0，6  根据解析式画出的图象如图5所示              

8、                   图5 象问题5这样的函数称为分段函数 所谓分段函数，就是在函数的同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数类似于大陆、台湾是同一个国家的不同地区，社会制度可以不同 生活中有许多需要分段表示的函数，请你举出几个分段函数的例子，并画出它的图象 如分期付款，邮件资费等再如 y|x| 4课堂练习    教科书

9、第23页，练习，1，2，3 5小结    通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？    大致有：函数的表示方法有三种，各有优、缺点；应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质还学习了什么样的函数是分段函数 6课后作业 教科书第24页，习题1.2，7，8函数的单调性教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式

10、当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就

11、是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)同时明确函数的单调性是对定义

12、域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识设计意图从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识2探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需

13、要结合解析式进行严密化、精确化的研究设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数(3) 任取,因为,即，所以在为增函数对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3抽象思

14、维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义(1)板书定义(2)巩固概念判断题：若函数若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数思考：如

15、何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展例 证明函数在上是增函数1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取, 设元求差 变形,断号即函数在上是增函数 定论2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：证明函数在上是增函数问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数设计意图

16、初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等2作业书面作业：课本第60页 习题2.3 第4，5，6题课后探究：(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有 (2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图一、 知识回顾二次函数的图像和特

17、征： 1、名称 ；2、顶点坐标 ；3、对称轴 ；4、当时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x轴的 (除顶点外)；当时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x轴的 (除顶点外)。二、合作学习在同一坐标系中画出函数图像，的图像。（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？（2） 顶点和对称轴有什么关系？（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？三、探究二次函数和图像之间的关系1、 结合学生所画图像，引导学生观察与的图像位置关系，直观得出的图像的图像。教师可以采取以下措施：借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如：（0，0）（-2，0）（

18、2，2）（0，2）；（-2，2）（-4，2）也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。2、 用同样的方法得出的图像的图像。3、请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质. （）的图像的图像。函数的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线x=-m4、做一做 （1）、抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =2(x+3)2y = -3(x-1)2y = -4(x-3)2（2）、填空：、由抛物线y=2x²向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。3、对于二次函数，请回答下列问题：

19、把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。第3题的解答作如下启发：这里的m是什么数？大于零还是小于零？应当把的图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数的大致图像（事先画好函数的图像），借助图像有学生回答问题。五、 探究二次函数和图像之间的关系1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数的图像。首先引导学生观察比较与的图像关系，直观得出：的图像的图像。（结合多媒体演示）再引导学生刚才得到的的图像与的图像之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数的图像。2、做一做：请填写下表：函数解析式图像的对称轴