山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编-专题16-对角互补模型

1、专题16对角互补模型破解策略1全等型之“90°”如图，AOBDCE90°，OC平分AOB，则（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）证明方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N由角平分线的性质可得CMCN，MCN90°所以MCDNCE，从而MCDNCE（ASA），故CDCE易证四边形MONC为正方形所以ODOEODONNE2ONOC所以方法二：如图，过C作CFOC，交OB于点F易证DOCEFC45°，COCF，DCOECF所以DCOECF（ASA）所以CDCE，ODFE，可得ODOEOF所以【拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长

2、线交于点D时，则：（1）CDCE；（2）OEODOC；（3）如图，证明同上2全等型之“120”如图，AOB2DCE120°，OC平分AOB，则：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）证明方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N所以易证MCDNCE（ASA），所以CDCE，ODOE2ONOC方法二：如图，以CO为一边作FCO60°，交OB于点F，则OCF为等边三角形易证DCOECF（ASA）所以CDCE，ODOEOFOC，SOCDSOCESOCFOC 2【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3

3、）SOCDSOCEOC 2如图，证明同上 3、全等型之“任意角”如图，AOB2，DCE180°2，OC平分AOB，则：（1）CDCE；（2）ODOE2OC·cos；（3）SODCSOECOC 2·sincos证明：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N易证MCDNCE（ASA）CDCE，ODOE2ON2OC·cosSODCSOEC2SONCOC 2·sincos方法二：如图，以CO为一边作FCO180°2，交OB于点F易证DCOECF（ASA）CDCE，ODOEOF2OC·cosSODCSOECSOC

4、FOC 2·sincos【拓展】如图，当DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CDCE；（2）ODOE2OC·cos；（3）SODCSOECOC 2·sincos如图，证明同上 4、相似性之“90°”如图，AOBDCE90°，COB，则CECD·tan方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M、N易证MCDNCE，即CECD·tan方法二：如图，过点C作CFOC，交OB于点F 易证DCOECF，即CECD·tan方法三：如图，连接DE易证D、O、E、C四点共圆CDECOE，故CECD

5、83;tan【拓展】如图，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CECD·tan 如图，证明同上 例题讲解例1、已知ABC是O的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD（1）如图1，若BAC120°，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？（2）如图2，若BAC，那么BDCD与AD之间的数量关系是什么？ 解：（1）BDCDAD 如图3，过点A分别向BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F由题意可得ADBADC30°易证AEBAFCBDCD2DEADBDCD2AD×sin如图4，作EADBAC，交DB的延长线于点EDFBE

6、OAC图4则EBADCA，所以BECD，AEAD作AFDE于点F，则FAD所以BDCDDE2DF2AD×sin例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F求证：PAPE；如图2，将中的正方形变为矩形，其余不变，且AD10，CD8，求AP：PE的值；如图3，在的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？图3ADBEPFCADBPCE图2ADPBEC图1解：如图4，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMPN，MPN90°，由已知条件可得APE90&#

7、176;，所以APMEPN，所以APMEPN故APPE图4ADPBECNM如图5，过点P分别作PMAB，PNBC，垂足分别为M，N则PMAD，PNCD所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以易证APMEPN，所以图5ADBPCENMAP：PF的值不变如图，理由同图6ADBEPFCMN进阶训练1如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰RtABD和RtCBD，其中BAD和BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_ABCD第1题图答案：四边形ABCD的面积为2【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则BCABDAABDACD，由“全等型之90°”的结论可得S四边形A

8、BCDAC222在ABC中，ABAC，A60°，D是BC边的中点，EDF120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F第1题图1AEFCDBAEFCDBN第1题图2如图1，DF与AC边相交于点F，求证：BECFAB；如图2，将图1中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF（BECF）答案：略【提示】过点D作DGAC交AB于点G，证DEGDFC，从而BECFBEEGBGAB第1题答图1AEFCDBG过点D作DGAC交AB于点G，同可得BECFABDC，延长AB至点H，使得BH

9、CF，则DHDFDE，从而BECFHEDE×DN2DN，所以BECF（BECF）第1题答图2AEFCDBNHG3在菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，MONBCD180°，MON绕点O旋转，射线OM交BC于点E，射线ON交CD于点F，连结EF如图1，当ABC90°时，OEF的形状是_；如图2，当ABC60°时，请判断OEF的形状，并说明理由；如图3，在的条件下，将MON的顶点移动到AO的中点O'处，MO'N绕点O'旋转，仍满足MO'NBCD180°，射线O'M交直线BC于点E，射线O'N交直线CD于点F，当BC4，且时，求CE的长第3题图1ADBCOMEFN