北师大版数学八年级下册 6.2 平行四边形的判定知识讲解及例题演练

1、平行四边形的判定定理【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用 ,会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：1这些判定方法是学习本章的根底 ,必须牢固掌握 ,当几种方法都能判定同一个行四边形时 ,应选择较简单的方法.2这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据 ,也可作为“画

2、平行四边形的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图 ,点A、B、C在正方形网格的格点上小正方形的边长为单位11在图中确定格点D ,并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形2假设以C为原点 ,BC所在直线为x轴 ,建立直角坐标系 ,那么你确定的点D的坐标是_.【思路点拨】1分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时 ,画出图形 ,根据A、B、C的坐标求出即可；2在1的根底上 ,把y轴向左平移了一个单位 ,根据平移性质求出即可【答案与解析】1解：从图中可知A-3 ,2 ,B-4 ,0C-1 ,0 ,以AB为对角线时 ,得出平行四边形ACBD1 ,D1的坐标是-6

3、 ,2 ,以AC为对角线时 ,得出平行四边形ABCD2 ,D2的坐标是0 ,2 ,以BC为对角线时 ,得出平行四边形ABD3C ,D3的坐标是-2 ,-2 ,2解：以C为原点 ,BC所在直线为x轴 ,建立直角坐标系 ,D的坐标是-1 ,2 ,1 ,2 ,-5 ,2 ,故答案为：-1 ,2或1 ,2或-5 ,2【总结升华】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用 ,主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算 ,注意：一定要进行分类讨论举一反三【变式】2019呼伦贝尔如图 ,分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE ,：BAC=30° ,EFAB ,垂

4、足为F ,连接DF1试说明AC=EF；2求证：四边形ADFE是平行四边形【答案】证明：1RtABC中 ,BAC=30° ,AB=2BC ,又ABE是等边三角形 ,EFAB ,AB=2AFAF=BC ,在RtAFE和RtBCA中 ,RtAFERtBCAHL ,AC=EF；2ACD是等边三角形 ,DAC=60° ,AC=AD ,DAB=DAC+BAC=90°又EFAB ,EFAD ,AC=EF ,AC=AD ,EF=AD ,四边形ADFE是平行四边形2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位 ,再向左平移2个单位 ,相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+-2=1

5、假设坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a向右为正 ,向左为负 ,平移|a|个单位 ,沿y轴方向平移的数量为b向上为正 ,向下为负 ,平移|b|个单位 ,那么把有序数对a ,b叫做这一平移的“平移量；“平移量a ,b与“平移量c ,d的加法运算法那么为a ,b+c ,d=a+c ,b+d解决问题：1计算：3 ,1+1 ,2；1 ,2+3 ,1；2动点P从坐标原点O出发 ,先按照“平移量3 ,1平移到A ,再按照“平移量1 ,2平移到B；假设先把动点P按照“平移量1 ,2平移到C ,再按照“平移量3 ,1平移 ,最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC证明四边形OABC是平行

6、四边形3如图2 ,一艘船从码头O出发 ,先航行到湖心岛码头P2 ,3 ,再从码头P航行到码头Q5 ,5 ,最后回到出发点O请用“平移量加法算式表示它的航行过程【思路点拨】1此题主要是类比学习 ,所以关键是由给出的例题中找出解题规律 ,即前项加前项 ,后项加后项2根据题中给出的平移量找出各对应点 ,描出各点 ,顺次连接即可3根据题中的文字表达列出式子 ,根据1中的规律计算即可【答案与解析】解：13 ,1+1 ,2=4 ,3；1 ,2+3 ,1=4 ,32画图最后的位置仍是B证明：由知 ,A3 ,1 ,B4 ,3 ,C1 ,2OC=AB= ,OA=BC= ,四边形OABC是平行四边形3从O出发 ,

7、先向右平移2个单位 ,再向上平移3个单位 ,可知平移量为2 ,3 ,同理得到P到Q的平移量为3 ,2 ,从Q到O的平移量为-5 ,-5 ,故有2 ,3+3 ,2+-5 ,-5=0 ,0【总结升华】此题考查了几何变换中的平移变换 ,解答此题关键是仔细审题 ,理解题目给出的信息 ,对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答 ,一定要按照题目给出的思路求解 ,克服思维定势举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位 ,再向左平移2个单位 ,相当于向右平移3个单位用实数加法表示为 5+-2=3假设平面直角坐标系xOy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a向右为正 ,向左为负 ,平移|a

8、|个单位 ,沿y轴方向平移的数量为b向上为正 ,向下为负 ,平移|b|个单位 ,那么把有序数对a ,b叫做这一平移的“平移量规定“平移量a ,b与“平移量c ,d的加法运算法那么为a ,b+c ,d=a+c ,b+d1计算：3 ,1+1 ,2；2假设一动点从点A1 ,1出发 ,先按照“平移量2 ,1平移到点B ,再按照“平移量-1 ,2平移到点C；最后按照“平移量-2 ,-1平移到点D ,在图中画出四边形ABCD ,并直接写出点D的坐标；3将2中的四边形ABCD以点A为中心 ,顺时针旋转90° ,点B旋转到点E ,连结AE、BE假设动点P从点A出发 ,沿AEB的三边AE、EB、BA平

9、移一周 请用“平移量加法算式表示动点P的平移过程【答案】解：13 ,1+1 ,2=4 ,3；2B点坐标为：1+2 ,1+1=3 ,2；C点坐标为：3-1 ,2+2=2 ,4；D点坐标为：2-2 ,4-1=0 ,3；如下图：D0 ,33点A至点E ,向右平移1个单位 ,向下平移2个单位；点E至点B ,向右平移1个单位 ,向上平移3个单位；点B至点A ,向左平移2个单位 ,向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：1 ,-2+1 ,3+-2 ,-13、如图 ,平行四边形ABCD的对角线相交于点O ,直线EF经过点O ,分别与AB ,CD的延长线交于点E ,F求证：四边形AECF是平行

10、四边形【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种 ,选择哪一种解容许先分析题目中给的哪一方面的条件多些 ,此题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形 ,可证OF=OE ,OA=OC ,根据条件在图形中的位置 ,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形来解决【答案与解析】证明：四边形ABCD是平行四边形 ,OD=OB ,OA=OC ,ABCD ,DFO=BEO ,FDO=EBO ,在FDO和EBO中 ,FDOEBOAAS ,OF=OE ,四边形AECF是平行四边形【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种 ,应用时要认真领会它们之间的联系与区别 ,同时要根据条件合理、灵活地选择方法类型二、平行四

11、边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图 ,ABC中AB=AC ,点D从点B出发沿射线BA移动 ,同时 ,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动 ,已点知D、E移动的速度相同 ,DE与直线BC相交于点F1如图1 ,当点D在线段AB上时 ,过点D作AC的平行线交BC于点G ,连接CD、GE ,判定四边形CDGE的形状 ,并证明你的结论；2过点D作直线BC的垂线垂足为M ,当点D、E在移动的过程中 ,线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论【思路点拨】1由题意得出BD=CE ,由平行线的性质得出DGB=ACB ,由等腰三角形的性质得出B=ACB ,得出B=DGB ,证出BD=GD=CE

12、 ,即可得出结论；2由1得：BD=GD=CE ,由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM ,由平行线得出GF=CF ,即可得出结论【答案与解析】解：1四边形CDGE是平行四边理由如下：如图1所示：D、E移动的速度相同 ,BD=CE ,DGAE ,DGB=ACB ,AB=AC ,B=ACB ,B=DGB ,BD=GD=CE ,又DGCE ,四边形CDGE是平行四边形；2BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由1得：BD=GD=CE ,DMBC ,BM=GM ,DGAE ,GF=CF ,BM+CF=GM+GF=MF【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰

13、三角形的性质 ,并能进行推理论证是解决问题的关键举一反三【变式】如图 ,四边形ABCD为平行四边形 ,AEBD于E ,CFBD于F1求证：BE=DF；2假设 M、N分别为边AD、BC上的点 ,且DM=BN ,试判断四边形MENF的形状不必说明理由【答案】解：1四边形ABCD是平行四边形 , AB=CD ,ABCD ,ABD=CDB ,AEBD于E ,CFBD于F ,AEB=CFD=90° ,ABECDFAAS ,BE=DF；2四边形MENF是平行四边形证明：由1可知：BE=DF ,四边形ABCD为平行四边形 ,ADBC ,MDB=NBD ,DM=BN ,DMFBNE ,NE

14、=MF ,MFD=NEB ,MFE=NEF ,MFNE ,四边形MENF是平行四边形5、如图 ,在平行四边形ABCD中 ,E、F是对角线BD上的两点 ,BE=DF ,点G、H分别在BA和DC的延长线上 ,且AG=CH ,连接GE、EH、HF、FG1求证：四边形GEHF是平行四边形；2假设点G、H分别在线段BA和DC上 ,其余条件不变 ,那么1中的结论是否成立？不用说明理由【思路点拨】1先由平行四边形的性质 ,得AB=CD ,ABCD ,根据两直线平行内错角相等得GBE=HDF再由SAS可证GBEHDF ,利用全等的性质 ,证明GEF=HFE ,从而得GEHF ,又GE=HF ,运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证2仍成立可仿照1的证明方法进行证明【答案与解析】1证明：四边形ABCD是平行四边形 ,AB=CD ,ABCD ,GBE=HDF又AG=CH ,BG=DH又BE=DF ,GBEHDFGE=HF ,GEB=HFD ,GEF=HFE ,GEHF ,四边形GEHF是平行四边形2解：仍成立证法同上【总结升华】此题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形举一反三【变式】如图 ,ABCD中 ,对角线AC ,BD相交于O点 ,AEBD于E ,CFBD于