高二数学上 7.3 两条直线的位置关系（一）优秀教案

1、两条直线的平行与垂直 一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣训练学生由特殊到一般，定性、定量逐

2、步深入地研究问题的习惯二、教材分析1重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用2难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题公式的记忆与应用3疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据三、活动设计提问、讨论、解答四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一

3、条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形如果l1l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：1=2tg1=tg2即 k1=k2反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tg1=tg2由于0°

4、1180°， 0°180°，1=2两直线不重合，l1l2两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立现在研究两条直线垂直的情形如果l1l2，这时12，否则两直线平行设21(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有1=90°+2因为l1、l2的斜率是k1、k2，即190°，所以20&#

5、176;可以推出 1=90°+2l1l2两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即(三)例题例1 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0， L2： x-2y+5=0求证：l1l2证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合证明：把l1、l2的方程写成斜截式：两直线不相交两直线不重合，l1l2例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程即 2x+3y+10= 0解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=

6、10，故所求直线方程为2x+3y+10=0例3 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0， l2： 2x+y-5=0求证：l1l2l1l2例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程解法1 已知直线的斜率k1=-2所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是 x-2y=0解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0（四）两条直线的夹角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角为了区别这些角，我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角图

7、1-27中，直线l1到l2的角是1，l2到l1的角是2(1+2=180°)l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角，设已知直线的方程分别是l1y=k1x+b1 l2y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么=90°，下面研究1+k1k20的情形由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题设l1、l2的倾斜角分别是1和2(图1-32)，甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角tg1=k1，

8、 tg2=k2=2-1(图1-32)，或=-(1-2)=+(2-1)，tg=tg(2-1)或tg=tg(2-1)=tg(2-1)可得即eq x( )上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆(五)夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角，简称夹角)就可以了，这时可以用下面的公式(六)例题解：k1=-2，k2=1=arctg371°34本例题用来熟悉夹角公式例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B10、B20、A1A2+B1B20)，l1到

9、l2的角是，求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰的顺序无关设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，l1到l2的角是1，l2到l3的角是2，则因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，所以1=2tg2=tg1=-3解得 k3=2因为l3经过点(-2，0)，斜率为2，写出点斜式为y=2x-(-2)，即 2x-y+4=0这就是直线l3的方程讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为锐角，要为钝角都为钝角(四)课后小结(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直